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课时跟踪检测(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


课时跟踪检测(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2) )

)

2.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是( A.2x+11y+38=0 C

.2x-11y-38=0 B.2x+11y-38=0 D.2x-11y+16=0

3.(2012· 衡水模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) ) B.(-3,0) D.(0,3)

4.(2013· 佛山模拟)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( ) B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

5.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 C.y=3x-3 1 B.y=- x+1 3 1 D.y= x+1 3

6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实 数 m 的值是( A.-2 C.3 ) B.-7 D.1

7.(2013· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜 率的取值范围是________. 8.(2012· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 ________. 9. (2012· 天津四校联考)不论 m 取何值, 直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点________. 10.求经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程. 11.(2012· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程;

(2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

12.如图, 射线 OA、 分别与 x 轴正半轴成 45° 30° 过点 P(1,0) OB 和 角, 作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 1 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

1.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( π π A.?6,3? ? ? π π C.?3,2? ? ? ) π π B.?6,2? ? ? π π D.?6,2? ? ?

2. (2012· 洛阳模拟)当过点 P(1,2)的直线 l 被圆 C: (x-2)2+(y-1)2=5 截得的弦最短时, 直线 l 的方程为________________. 3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程.





课时跟踪检测(四十八)

A级 1.选 A 因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b=-2-k,于是直 线方程化为 y=kx-k-2,即 y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2). 2.选 B 因为中心对称的两直线互相平行,并且对称中心到两直线的距离相等,故可 |0+11+16| |0+11+C| 设所求直线的方程为 2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 = , 22+112 22+112 解得 C=16(舍去)或 C=-38. 3.选 D ∵l1∥l2,且 l1 斜率为 2,∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得 y=2x+3.令 x=0,得 P(0,3). 4.选 A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程

a c a c 变形为 y=- x- ,易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. b b b b 1 5. A 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 选 得到直线 y=- x, 再向右平移 1 个单位, 3 1 1 1 所得直线的方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 6.选 C 线段 AB 的中点? 1+m ? ? 2 ,0?代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3.

2 7.解析:设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1),在 x 轴上的截距为 1- ,令 k 2 1 -3<1- <3,解得 k<-1 或 k> . k 2 1 答案:(-∞,-1)∪?2,+∞? ? ? 3 3 8.解析:直线 l 过原点时,l 的斜率为- ,直线方程为 y=- x;l 不过原点时,设方 2 2 x y 程为 + =1,将点(-2,3)代入,得 a=1,直线方程为 x+y=1. a a 综上,l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 答案:x+y-1=0 或 3x+2y=0 9.解析:把直线方程(m-1)x-y+2m+1=0,整理得 (x+2)m-(x+y-1)=0,
?x+2=0, ?x=-2, ? ? 则? 得? ? ? ?x+y-1=0, ?y=3.

答案:(-2,3) x y 10.解:设所求直线方程为 + =1, a b

?-a+b=1, 由已知可得? 1 ?2|a||b|=1,
2 2

解得?

? ?a=-1, ?b=-2 ?

? ?a=2, 或? ?b=1. ?

故直线 l 的方程为 2x+y+2=0 或 x+2y-2=0. 11.解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

?

3 ? , 0 ∪(0, 3 ], 3 ?

1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? π π π 2π ∴α∈?6,2?∪?2, 3 ?. ? ? ? ? π 2π 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈?6, 3 ?. ? ? 12.解:由题意可得 kOA=tan 45° =1, kOB=tan(180° -30° )=- 3 , 3 3 x. 3

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n?, ? ? 2 , 2 ?

m- ?m+n=1· 2 3n, ? 2 2 1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得? 2 m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1, 解得 m= 3,所以 A( 3, 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. B级 3). 3+ 3 3 = , 2 3-1

? ?y=kx- 3 , 1.选 B 由? 解得? ?2x+3y-6=0,

?x=3?2+ 3?, 2+3k ?y= ?
6k-2 3 . 2+3k

? ?x>0, 3 ∵两直线交点在第一象限,? 解得 k> . 3 ?y>0, ?

π π ∴直线 l 的倾斜角的范围是?6,2?. ? ? 2.解析:易知圆心 C 的坐标为(2,1),由圆的几何性质可知,当圆心 C 与点 P 的连线与 2-1 直线 l 垂直时,直线 l 被圆 C 截得的弦最短.由 C(2,1),P(1,2)可知直线 PC 的斜率为 = 1-2 -1,设直线 l 的斜率为 k,则 k×(-1)=-1,得 k=1,又直线 l 过点 P,所以直线 l 的方程 为 x-y+1=0.

答案:x-y+1=0 3.解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k- y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是[0,+∞). 1+2k 1+2k ? (3)依题意, 直线 l 在 x 轴上的截距为- , y 轴上的截距为 1+2k, ?- 在 ∴A ,0 , k k ? ? B(0,1+2k). 1+2k 又- <0 且 1+2k>0,∴k>0. k 1 1 1+2k 故 S= |OA||OB|= × (1+2k) 2 2 k 1 1 1 = ?4k+k+4?≥ (4+4)=4, ? 2 2? 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号. k 2 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.


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