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2011高考数学单元复习训练8:函数的奇偶性、周期性


课时训练 8 函数的奇偶性、周期性 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.对于定义在 R 上的任何奇函数,均有( ) A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)·f(-x)≤0 答案:D 解析:∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0. 2.已知 f(x)=a2 2
x

?1

是奇函数,那么实数 a 的值等于( B.-1
2 2
0

) D.±1

A.1 答案:A

C.0

解析:f(x)为奇函数 ? f(0)=0 ? a-

?1

=0 ? a=1.
2

3.若 a>0,a≠1,f(x)为偶函数,则 g(x)=f(x)·loga(x+ x ? 1 )的图象( A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 答案:C
2



B.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

解析: ∵g(-x)=f(-x)· a(-x+ x ? 1 )=f(x)· a(x+ x ? 1 )-1=-f(x)· a(x+ x ? 1 )=-g(x), log log log
2 2

∴g(x)为奇函数. 4.(2010 湖北八校模拟,6)设函数 f(x)是定义在 R 上,周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,? f(2)= A.a<
2a ? 1 a ?1
1 2

,则(

) B.-1<a<0 D.-1<a<2

且 a≠-1

C.a<-1 或 a>0 答案:C 解析:由题意得,f(-2)=f(1-3)=f(1)<1, ∴-f(2)<1.即2a ? 1 a ?1

<1.∴

3a a ?1

>0,即 3a(a+1)>0.∴a<-1 或 a>0.故选 C.

5.已知 f(x)是周期为 2 的偶函数,且在区间[0,1]是增函数,则 f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关 系为( ) A.f(-6.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-6.5)<f(0) C.f(0)<f(-6.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-6.5) 答案:C 解析:f(-6.5)=f(-3×2-0.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1). ∵f(x)在[0,1]单调递增,∴f(0)<f(0.5)<f(1)即 f(0)<f(-6.5)<f(-1). 6.已知 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,f(a)=0(a>0),那么不等式 xf(x)<0 的解集是( ) A.{x|0<x<a} B.{x|-a<x<0 或 x>a} C.{x|-a<x<a} D.{x|x<-a 或 0<x<a} 答案:B

解析:利用图象法,画出符合条件的函数图象,如下图,由此可知,选项 B 正确.

7.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= A.0 答案:C B.1

1 2

,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于( C.
5 2

) D.5

解析: x=-1,则 f(1)=f(-1)+f(2), f(2)=2f(1)=1; x=3,则 f(5)=f(3)+f(2)= f(1)+f(2)] 令 即 令 [ +f(2)=

5 2

.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2010 全国大联考,14)已知 f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)-g(x)=x2+x-2,则 f(x),g(x)分 别为___________________. 答案:x2-2,-x 解析:∵f(x)-g(x)=x2+x-2,∴f(x)+g(x)=x2-x-2,故 f(x)=x2-2,g(x)=-x. 9.若φ (x)与 g(x)都是奇函数,且 f(x)=aφ (x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在 (-∞,0)上有最____________值,该值等于______________. 答案:小 -1 解析:设 h(x)=f(x)-2, ∴h(x)=aφ (x)+bg(x), ∵φ (x)与 g(x)都是奇函数, ∴h(x)是奇函数,由题可知 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 3;故 h(x)在(-∞,0)上有最 小值,该值为-3,即 f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值为-3,∴f(x)的最小值为-1. 10.试构造一个函数 f(x),x∈D,使得对一切 x∈D 有|f(-x)|=|f(x)|恒成立, 但是 f(x)既不是奇函数 又不是偶函数,则 f(x)可以是______________. 答案:f(x)= ?
? x 2 (| x |? 1 ), ? x (| x | ? 1 ).

(答案不唯一)

解析:f(x)的图象部分关于原点对称,部分关于 y 轴对称,故可以用分段函数来构造. 三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.是否存在实数 a,使得函数 f(x)=log2(x+ x(
a 1
x

x

2

? 2 )-a 为奇函数,同时使函数 g(x)=

?1

+a)为偶函数?证明你的结论.

证明:若 f(x)是奇函数,则 f(x)+f(-x)=0,即 log2(x+ x ? 2 )+log2(-x+
2

x

2

? 2 )-2a=0.
1 2

整理得 log2(x2+2-x2)-2a=0,∴a=

.

若 g(x)为偶函数,则 g(x)-g(-x)=0,即 x(
a 1
x

?1

+a)+x(
a

1
?x

?1

+a)=0.
1 2

化简,得 x(-1+2a)=0,∴a= 综上,存在 a=
1 2

.

满足条件.
1 2

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1,x2∈[0, 有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). (1)设 f(1)=2,求 f(
1 2

]都

),f(

1 4

);

(2)证明 f(x)是周期函数. (1)解析:令 x1=x2= 则 f(x)=f(
x 2 x 2

.

+
1 2

x 2

)=f2(

x 2

)≥0.
1 2

再令 x1=x2=
1 2

,∴f(1)=f2(
1

).

∴f(

)=
1 4

f (1 ) ? 2 2 ;
1 2 1 4
1

令 x1=x2=
1 4

,∴f(

)=f2(

).

∴f(

)=

1 f ( ) ? 24 . 2

(2)证明:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x). 又因 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(x+2)=f(-x), ∴f(x+2)=f(x). 即 f(x)是周期为 2 的周期函数. 13.如果偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞]上是增函数,且 f( 解集. 解析:∵f(
1 2 1 2 1 2

)=0,求不等式 f(logax)>0(0<a≠1)的

)=0,∴f(logax)>f(

).

∵偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞]上是增函数, ∴f(|logax|)>f( 即 logax>
1 2 1 2

),∴|logax|>
1 2

1 2

.

或 logax<-

.
a a

①当 0<a<1 时,0<x< a 或 x>

;

②当 a>1 时,x> a 或 0<x<

a a

.

14. 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a 、 b ∈ R 都 满 足 f(a·b)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0)、f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 解析: (1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0, 由 f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),得 f(1)=0. (2)f(x)是奇函数. 证明:因为 f(1)=f[ (-1)2]=-f(-1)-f(-1)=0, 所以 f(-1)=0,f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).因此,f(x)为奇函数.



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