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甘肃省河西五市2016年部分普通高中高三数学(文)第一次联考


2016 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考

数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试用时 120 分钟.考试结束后,将试题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题.

每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1.已知集合 A ? {x| lg(x ? 1) ? 0} , B={x | ?1 ? x ? 3} ,则 A ? B ? A. [?1,3] B. [?1, 2] C. ( 1,3] ( ) D. (1, 2] ( ) C. ? 1 ? i D. ?1+i ( ) D. 10

2.复数 z 满足 ( 1+i) z ?| 3 ? i | ,则 z = A. 1+ i B. 1 ? i

3.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? A. 5
2

?

?

?

?

? ?

B. 10

C. 2 5
2

4. 已知 p : ?m ? R, x ? mx ? 1 ? 0 有解,q : ?x0 ? N , x0 ? 2x0 ?1 ? 0 ,则下列选项中是假命题 的为 A. p ? q ( )

( q) B. p ?

?

C. p ? q

( q) D. p ?

?

? x? y ?0 ? 5.若不等式 x ? y ? 2 所表示的平面区域为 M ,不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 ? y ? 2x ? 6 ?
2 2

N ,现随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为
A.

( D.



? 8

B.

? 9

C.

? 24

?
6
( )

6.函数 f ( x) ? xe cos x ( x ?[?? , ? ]) 的图象大致是

A.

B.

C.

D.

7 . 正 项 等 比 数 列 {an } 中 的 a1 , a4031 是 函 数 f ( x) ?

1 3 x ? 4x2 ? 6x ? 3 的 极 值 点 , 则 3
( )

log 6 a2016 ?
数学试卷(文科) 第 1 页 共 4 页

A. ?1

B. 1

C. 2

D. 2 ( )

8.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为 A. C.
4 3 5 2

B. 1 D. 5

9.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为

( )

A. 7
2

B. 9

C. 10

D. 11

x2 y 2 10.已知抛物线 y ? ?4 2 x 的焦点到双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的距离为 a b
5 ,则该双曲线的离心率为 5
A.
5 2

( )
10 3

B. 2

C.

D. 5 ? 1

11.面积为

3 3 的正六边形的六个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 到正六边形所在平面的距离 2

为 2 2 .记球 O 的体积为 V ,球 O 的表面积为 S ,则 A. 2 B. 1

V 的值是 S

( D. 2



C. 3

? | log3 x |,0 ? x ? 3 ? 12. 已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? m 有四个不同实根, 则 m 的范围是 ( ? ? cos( x),3 ? x ? 9 ? 3 ?



A. (?1, 2)

1 B. (0, ) 2

C. [1, ??)

D. (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题 ? 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必修作答. 第 22 题 ? 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13.已知 sin? ? 2cos? ,则 cos(

2015? ? 2? ) 的值为 2

.

14.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 , (a ? 0, b ? 0) 平分圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 ,则 值是 .

1 2 ? 的最小 a b

数学试卷(文科)

第 2 页 共 4 页

15. 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 a6 +a10 ? a12 ? 8 ,a14 ? a8 ? 4, 则 S19 = B 16.如右图: A , B 是半径为 1 的圆 O 上两点,且 ?AOB ? 若点 C 是圆 O 上任意一点,则 OA · BC 的取值范围是

.

?
3

. .

C O

A

??? ?

??? ?

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 b 2 , c 2 是关于 x 的一元二次方程
x2 ? (a 2 ? bc) x ? m ? 0 的两根.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设 B =? , ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f (? ) 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 为了调查高一新生中女生的体重情况, 校卫生室随机选 20 名女 生作为样本,测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照 区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到 频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间 (45,50]上 的女生数与体重在区间(55,60]上的女生数之比为 4:3. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求 体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.
a

频率 组距

0.06 b 0.02 O 40 45 50 55 60 产量 /kg 体重 (kg )

(第 18图 题图 3 )

19.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? CA ? AA 1 ?2, 侧棱 AA1 ? 平面 ABC . D , E 分别是棱 A1B1 , AA1 的中点,

1 AB . 4 (Ⅰ)求证: EF || 平面 BDC1 ;
点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (Ⅱ)求三棱锥 D ? BEC1 的体积.
数学试卷(文科) 第 3 页 共 4 页 (第 19 题图)

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1, ( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3 经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点.
已知椭圆 M : (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e sin x ,其中 x ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 M , ?BAC 的平分线分别 交圆 O 和 BC 于点 D , E ,若 MA ? (Ⅰ)求证: AC ?

5 MB ? 15 . 2
(第 22 题图)

5 AB 2

DE 的值. (Ⅱ)求 AE ·
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.
? x ? ?4t ? a 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), 在直角坐标系 ? y ? 3t ? 1

以 o 点为极点,x xoy 中,

轴的非负半轴为极轴, 以相同的长度单位建立极坐标系, 设圆 M 的方程为 ? 2 ? 6? sin ? ? ?8 . (Ⅰ)求圆 M 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 |x ? 2 | ?|x ? 2 |? 18 的解集为 A . (Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)若 ?a, b ? A , x ? (0, ??) ,不等式 a ? b ?

a 的值.

4 x? ?m x

恒成立,求实数 m 的取值范围.

数学试卷(文科)

第 4 页 共 4 页

2016 年 1 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试卷(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

4 13. ? ; 5

14. 3 ? 2 2 ;

15. 228 ;

16. ? ?

? 3 1? , . ? 2 2? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 解答: (Ⅰ)解:在△ABC 中,依题意有: b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ∴ cos A ? 2分 6分

b ?c ?a 1 ? ? ) ,∴ A ? ? ,又 A ? (0 , 3 2bc 2
2 2 2

b c a ? ? ?2 3 sin B sin C sin A 2? 2? ∴ b ? 2sin B ? 2sin ? , c ? 2sin C ? 2sin( ? B) ? 2sin( ?? ) 3 3 2? ? 故 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin ? ? 2sin( ? ? ) 即 y ? 2 3 sin(? ? ) ? 3 3 6

(Ⅱ)解:由 a ? 3 , A?

?

及正弦定理得:

8分 10 分 12 分

由 0 ?? ?

2? ? ? 5? ? ? ? 得: ? ? ? ? ∴当 ? ? ? ,即 ? ? 时, ymax ? 3 3 . 3 6 6 6 6 2 3

18. (本小题满分 12 分) 解答: (Ⅰ) 样本中体重在区间(45,50]上的女生有 a× 5× 20=100a(人), 样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)× 5× 20=100(b+0.02)(人), 依题意,有 100a= 1分 2分 3分 4分 6分

4 4 × 100(b+0.02),即 a= × (b+0.02).① 3 3


根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)× 5=1, 解①②得:a=0.08,b=0.04.

(Ⅱ)样本中体重在区间(50,55]上的女生有 0.04× 5× 20=4 人,分别记为 A1,A2,A3,A4, 体重在区间(55,60]上的女生有 0.02× 5× 20=2 人,分别记为 B1,B2. 从这 6 名女生中随机抽取两人共有 15 种情况:
2016 年河西五市部分学校高三年级第一次联考(文科)数学试卷参考答案第 5 页

7分 8分

(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1), (A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2). 其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有 9 种情况: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2), (B1,B2). 11 分 10 分

记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生 至少有一人被抽中”为事件 M,则 P(M)= 19. (本小题满分 12 分) 解答: (Ⅰ) 证明:设 O 为 AB 的中点,连结 A1O, ∵ AF ?
1 AB ,O 为 AB 的中点,∴F 为 AO 的中点, 4

9 3 ? . 15 5

12 分

又 E 为 AA1 的中点,∴ EF || A1O . 又∵D 为 A1B1 的中点,O 为 AB 的中点,∴A1D=OB. 又 A1 D || OB ,∴四边形 A1DBO 为平行四边形. ∴A1O||BD.又 EF||A1O,∴EF||BD. 又 EF?平面 DBC1,BD?平面 DBC1. ∴EF||平面 DBC1. (Ⅱ) ∵AB=BC=CA=AA1=2, D、E 分别为 A1B1、AA1 的中点,AF= ∴C1D⊥面 ABB1A1. 而 VD? BEC1 ? VC1 ? BDE ,
1 AB, 4

O
(第 18 题图)

6分

S?BDE ? S ABA1B1 ? S?BDB1 ? S?ABE ? S?A1DE
1 1 1 3 = 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 1? 1 ? . 2 2 2 2 ∵ C1 D ? 3 .
1 1 3 3 ∴ VD ? BEC1 ? VC1 ? BDE ? S ?BDE ? C1 D ? ? ? 3 ? . 3 3 2 2

12 分

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 解答: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

4分

2016 年河西五市部分学校高三年级第一次联考(文科)数学试卷参考答案第 6 页

(Ⅱ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D(?1, ), C(?1, ? ) ,

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

5分

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? ? y ? k ( x ? 1)
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

8分

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

10 分

12 3 ?4|k | |k |

?

12 12 3 ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) 2 3 2 12 2 ?4 | k | |k |
12 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3 另解:设直线 l 的方程为: x ? m y ? 1 ?m ? R? ,则

?x ? m y ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得, 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ?x1 , y1 ? , D?x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 所以, S1 ?

6m 9 ? 0. , y1 ? y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

8分

1 1 AB ? y2 , S 2 ? AB ? y1 , 2 2
10 分

S1 ? S 2 ?

12 m 1 1 AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 2 3m 2 ? 4

当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? ?

12 m 12 m ? ? 3 ?m ? R? . 2 3m ? 4 2 3 ? 4m2

2 由 3m ? 4 , 得 m??

2 3 2 3 . 当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? 0 ? 3 从而, 当m ? ? 时, 3 3
12 分

S1 ? S2 取得最大值 3 .
2016 年河西五市部分学校高三年级第一次联考(文科)数学试卷参考答案第 7 页

21 . ( 本小题满分 12 分 ) 解答: (Ⅰ) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ), 4 ? 3? 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 3? 7? x ? (2k? ? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4
(Ⅱ) 令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立,
x

?

2分 4分

而 g ( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
' x

令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ? h ( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) ? 2e cos x
x ' x x x

? x ? [0, ], h ' ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增, 1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
当 k ? 1 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
'

?

?

?

6分

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,
'

?

?
2

] 上单调递减,
8分

g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;
?
'
' '

当 1 ? k ? e 2 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1] 12 分

22.( 本小题满 分 10 分 ) 解答: (Ⅰ)因为 AM 是圆 O 的切线,所以 ?MAB ? ?ACB ,且 ?M 是公共角,

AC AM 5 5 ? ? ,所以 AC ? AB AB MB 2 2 75 63 2 (Ⅱ)由切割线定理得 MA ? MB · MC ,所以 MC = ,又 MB ? 6 ,所以 BC = 2 2
所以 ?ABM ? ?CAM ,所以

5分

2016 年河西五市部分学校高三年级第一次联考(文科)数学试卷参考答案第 8 页

又 AD 是 ?BAC 的角平分线,所以

AC CE 5 5 45 ? ? ,所以 CE ? BE ,所以 CE ? , AB BE 2 2 2 25 405 BE ? 9 .所以由相交弦定理得 AE · DE ? CE · BE ? ? 9 ? 10 分 2 2

23.( 本小题满 分 10 分 ) 解答: (Ⅰ) 因为 ? 2 ? 6? sin ? ? ?8 ? x2 ? y 2 ? 6 y ? ?8 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 所以圆 M 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 1
? x ? ?4t ? a (Ⅱ) 把直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数)化为普通方程得: 3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 ? y ? 3t ? 1

5分

因为直线 l 截圆 M 所得弦长为

到直线 l 的距离 3 , 且 圆 M 的 圆 心 M (0,3)

d=

37 37 |16 ? 3a | 3 1 9 ,所以 a ? 或 ? 12 ? ( )2 = ? a ? 或 a ? 6 6 5 2 2 2

a?

9 2

10 分

注:只要写对圆的方程,可以不化为标准方程,就可得 5 分,其它解法酌给分 24.( 本小题满 分 10 分 )

解答:

x ? ?2 ?2 ? x ? 2 ? ? (Ⅰ)若 |x ? 2 | ?|x ? 2 |? 18 ,则 ? 或? 或 ??( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18 ?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18 x?2 ? ,解得 ?9 ? x ? 9 ,? A ? (?9,9) ? ?( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 18
5分

(-9,9) (Ⅱ) ??a, b ? A ? ?a, b ? ,? a ? b ? (?18,18) ? x ?
?(x ? 4 ? m) min ? m ? 4 ,由题可知, m ? 4 ? 18 ,? m ? 14 x

4 4 ? m ? 2 x? ? m , x x
10 分

2016 年河西五市部分学校高三年级第一次联考(文科)数学试卷参考答案第 9 页


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