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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


忻州一中 2015?2016 学年度第二学期期中考试 高二数学(文科)试题
一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分) 1. 若全集 U ? {1,2,3,4,5},A ? {1 , 2, 3}, B ? {2, 4}, 则 A ? CU B = A. {2,4} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. {1,2,3,

4,5}

2. 已知命题 p : ?x ? 0 ,总有 ( x ? 1)e x ? 1 ,则 ? p 为 A. ?x0 ? 0 ,使得 ( x0 ? 1)e 0 ? 1
x

B. ?x0 ? 0 ,使得 ( x0 ? 1)e 0 ? 1
x

C. ?x ? 0 ,总有 ( x ? 1)e x ? 1 3. 设 z ? 2i(1 ? 3i) ,则 z 的虚部为 A. 2 3 B. ? 2 3 C. 2i

D. ?x ? 0 ,总有 ( x ? 1)e x ? 1

D. 2

4. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为 A.

3 4

B.

11 12

C.

25 24

D.

17 18

5. 通过 4 次试验得到变量 x , y 的数据如右表, 根据表中

? ? 9.4 x ? a ? ,由此当 x ? 6 时, 数据得到回归直线方程 y
y 的估计值为
A. 63.6 B. 65.5 C. 67.7 D.72 x y 2 26 3 39 4 49 5 54 6. 若 2 cos 2? ? sin(

?

? ? ) ,且 ? ? ( ,?) ,则 sin 2? ? 4 2

?

A. 1

B.

15 8
B. [?7,1]

C. ?

15 8

D. ?

7 8

7. 设函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ,如果对任意 x ? R, f ( x) ? 4 ,则 a 的取值范围是 A. (??,?7] ? [1,??) C. (??,?1] ? [7,??) D. [?1,7]

8. 在平面几何中,有“若 ?ABC 的周长 c,面积为 S , 则内切圆半径 r ?

2S ”,类比上 c

述结论,在立体几何中,有“若四面体 ABCD 的表面积为 S ,体积为 V ,则其内切球的 半径 r ? A.

3V S

B.

2V S

C.

V 2S

D.

V 3S
1

9. 若 x 轴为曲线 f ( x) ? x ? ax ?
3

1 的切线,则 a ? 4
1 2
D. ?

A.

3 4

B. ?

3 4

C.

1 2

10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4+

2 ? 3

B. 4+

3 ? 2

C. 6+

2 ? 3

D. 6+

3 ? 2

11. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x , 对任意 x1 , x2 ? (0,??)且当x1 ? x2 时, 2

都有 f ( x1 ) ? ax1 ? f ( x2 ) ? ax2 成立,则实数 a 的取值范围是 A. a ?

1 2

B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ? ?

1 2

12. 如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角 形 边上再连接正方形??,如此继续,若共得到 1023 个正方形,

设初始正方形的边长为

2 ,则最小正方形的边长为 2
C.

A.

1 64

B.

1 16

1 32

D.

1 8

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 不等式 | x | ? | x ? 2 |? 3 的解集为___________.

? x ? y ? ?1 ? 14. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是___________. ? x ? 0, y ? 0 ?
15. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 ? ___________. 16. 已知抛物线 C : x ? 8 y 的焦点为 F ,动点 Q 在 C 上,圆 Q 的半径为 1 ,过点 F 的直
2

2

线与圆 Q 切于点 ? ,则 FP ? FQ 的最小值为___________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , sin A ? sin B ? 2 sin C, a ? 2b (1)证明: ?ABC 是钝角三角形; (2)若 S ?ABC ?

4 15 ,求 c 的值. 3

18.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos? (? 为参数),以 O ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为

O, P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.
19.(本小题满分 12 分) 某数学教师对所任教的两个班级各抽取 20 名学生进行测试,分数分布如右表: (1)若成绩 120 分以上(含 120 分)为优秀,求从 乙 班参加测试的 90 分以上(含 90 分)的同学中,随机 任取 2 名同学,恰有 1 人为优秀的概率; (2)根据以上数据完成下面的 2 × 2 列联表,并判断 在犯错概率小于 0.1 的前提下,你是否有足够的把握 认为学生的数学成绩是 否优秀与班级有关系? 优秀 甲班 乙班 总计 不优秀 总计 分数区间 甲班频 率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 乙班频 率 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1

[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]

]

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

3

P P??K K22≥ ? ?k k00?

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001
K2 ?

?a

,其中 n ? a ? b ? c ? d 20.(本小题满分 12 分 ) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面

ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD 2

(1)求证:平面 PAB ? 平面 PDC (2)求点 C 到平面 PBD 的距离.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E:

x2 y2 ? 3? ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 过点 ?1, ? , 左、 右焦点为 F1 、F2 , 右顶点为 A , 2 a b ? 2?
7 | F1 F2 | . 2

上顶点为 B ,且 | AB |? (1)求椭圆 E 的方程;

(2) 过点 M (?4,0) 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l , 交椭圆 E 于 P、Q 两点,N 为 PQ 中 点,问是否存在实数 k ,使得以 F1 F2 为直径的圆经过 N 点,说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)求 f ( x) 的最小值; (2)比较 f ( x) 与 f ( ) 的大小. 附加题(每小题 5 分,共 15 分) 23. 已知函数 f ( x) ? ?

1 ,曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴. x

1 x

?x3 , x ? a
2 ?x , x ? a

, 若存在实数 b , 使函数 y ? f ( x) ? b 有两个零点, 则a

的取值范围是_________ 24. 已知点 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线左 a2 b2
4

| PF2 | 2 的最小值为 8a , 则双曲线离心率的取值范围是_______. | PF1 | 25. 函数 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数为 f ?( x) ,若对任意 x ? R , 有 f ( x) ? f ?( x) ,且 y ? f ( x) ? 1是奇函数,则不等式 f ( x) ? e x 的解集是_________.
支上的任意一点, 若

5

忻州一中 2015?2016 学年度第二学期期中考试 高二数 学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题(每题 5 分,共 60 分): 1—5:BADBB 6—10:DCAAD 11—12:DC 二、填空题(每题 5 分,共 20 分):

(? 14.

1 5 , ) 2 2

14. 3

15. -6

16. 3

17. (本小题满分 10 分) 解:(1)证明:因 为 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理得 a ? b ? 2c , 又 a ? 2b ,可得 b ?
2 2

2 c, 3
2

???2 分

4 2 2 16 2 c ?c ? c b ?c ?a 1 9 9 所以 cos A ? ? ? ? ? 0, 2 2bc 4 2 ? c2 3
所以 A 为钝角,故 ?ABC 为钝角三角形. (2)由 cos A ? ? ???5 分 ???7 分

15 1 ,得 sin A ? , 4 4

所以 S ?ABC ?

1 1 2 15 4 bc sin A ? ? c 2 ? ? 15 ,解得 c ? 4 ???10 分 2 2 3 4 3

18. (本小题满分 12 分) (1)由圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? cos ? ? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数)可知 ? ? y ? sin ? ? y ? sin ?
???4 分 ???6 分

消去参数化为普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入可得圆的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos? ? 0 ,即 ? ? 2cos ? .
2

? ?1 ? 1 ? ? ? 2cos ? ? ? (2)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,由 ? ,解得 ? ? ? . ???8 分 ? ? ? ? 1 ? ? 3 ? 3 ?

? 2 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 ( ? 2 ,? 2 ) 为点 Q 的极坐标,由 ? , ? ?? ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? 解得 ? ? . ?? 2 ? 3 ?

???10 分
6

∴ | PQ |?| ?1 ? ? 2 |? 2

???12 分

19. (本小题满分 12 分) 解:(1)乙班参加测试的 90 分以上的同学有 6 人,记为 A、B、C、D、E、F. 成绩优秀的记为 A、B.从这六名学生随机抽取两名的基本事件有: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C, D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共 15 个 ???3 分 设事件 G 表示恰有一位学生成绩优秀,符合要求的事件有{A,C},{A,D}, {A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}共 8 个 ???5 分 所以 P (G ) ? (2) 甲班 乙班 总计
2

8 15
优秀 4 2 6 不优秀 16 18 34 总计 20 20 40

???6 分

???8 分

k2 ?

40 ? (4 ? 18 ? 2 ? 16) 40 ? ? 0.7843 ? 2.706 6 ? 34 ? 20 ? 20 51

???10 分

在犯错概率小于 0.1 的前提下,没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有 关系. ???12 分 20. (本小题满分 12 分)
2 2 2 (1)? AD ? 2 ,? PA ? PD ? 2 ,? PA ? PD ? AD ? PD ? AP ,

又? 平面 PAD ? 底面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD = AD 且 AB ? AD , ???4 分 ? AB ? 平面 PAD ,又 PD ? 平面 PAD ,? AB ? PD , ? AP ? AP ? A 又 ,且 AP 、 AB ? 平面 PAB ,? PD ? 平面 PAB , 又 PD ? 平面 PDC ,? 平面 PAB ? 平面 PDC ???6 分 (2)? ?PBD 中, PD ?

2, PB ? 6, BD ? 2 2 ,? PD 2 ? PB 2 ? BD 2 ,

? ?DPB ? 90? , S ?PBD ?

1 PD ? PB ? 3 ,且 S? BCD ? 2 , ???9 分 2 1 2 又 P 到平面 BCD 的距离 h ? 1 ,? VC ?PBD ? VP?BCD = S ?BCD ? h = , 3 3

? C 到平面 PBD 的距离=

3VC ?PBD 2 3 ? S ?PBD 3

???12 分

21. (本小题满分 12 分)

7

(1)? 椭圆 E 过点 ?1, ? ? 将该点代入椭圆方程得

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1 ,① 2 a 4b

由已知 | AB |?

7 7 | F1 F2 | ,? a 2 ? b 2 ? ? 2c ,即 a 2 ? b2 ? 7c 2 ② 2 2
2

又? c ? a ? b
2 2

③,将①②③联立得 ?

? a?2 , ?b ? 3
???5 分

x2 y2 ?1 ? 椭圆方程为 ? 4 3
(2) 证明:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y ) ,线段 PQ 的中点 N ( x0 , y0 ) . 由题意可得直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,且 k ? 0 .

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 联立 ? 4 ,化为 3 x ? 4k ( x ? 4) ? 12 3 ? y ? k ( x ? 4) ?

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ,
由 ? ? (32k ) ? 4(3 ? 4k )(64k ? 12) ? 0 ,可得 k 2 ?
2 2 2 2

1 ,且 k ? 0 . 4
???7 分

∴ x1 ? x2 ? ?

32k 2 64k 2 ? 12 . x . x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ xo ?

x1 ? x2 16k 2 12k , y0 ? k ( xo ? 4) ? ?? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

假设存在实数 k ,使得 F1 F2 为直径的圆过 N 点, 即 F1 N ? F2 N ,则 k F1N .k F2 N ? ?1 , ???9 分

∵ k F1 N

12k 12k 2 y0 y 4k 3 ? 4k 2 ? 12k , ? 0 ? 3 ? 42k ? k ? ? F N 2 16k 2 16k x0 ? 1 1 ? 4k 2 x0 ? 1 ?20k 2 ? 3 ? ? 1 ? ? 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
8



4k 12k 4 2 ? ? ?1 ,化为 80k ? 40k ? 3 ? 0 , 2 2 1 ? 4k ?20k ? 3

???11 分

设 t ? k 2 ,则 80t 2 ? 40t ? 3 ? 0 ∴关于 t 的方程存在正解,这样实数 k 存在. 即存在实数 k ,使得以 F1 F2 为直径的圆过 N 点. 22.(本小题满分 12 分) ???12 分

a 1 1 ? 2 (x ? 0) ,根据题意知 f ?(1) ? 0 ,即 a ? 1 ,? f ( x) ? ln x ? , x x x 1 1 x ?1 ? f ?( x) ? ? 2 ? 2 ,? 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x x x
(1) f ?( x) ? 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;? f ( x)min ? f (1) ? 1. (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( ) = ln x ? ???5 分

1 x

1 1 1 ? [ln( ) ? x] = 2 ln x ? ? x , ???7 分 x x x

g ?( x) ?

2 1 ( x ? 1) 2 ? 2 ?1 ? ? ? 0 ,? g ( x)在( 0, ? ?)上单调递减???9 分 x x x2
1 x

又? g (1) ? 0 ? 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , f ( x) ? f ( ) ; 当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , f ( x) ? f ( ) ; 当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 , f ( x) ? f ( ) . 附加题:(每小题 5 分,共 15 分) ? ?) 1,3] 25.(0, 23. a ? 0或a ? 1 24.(

1 x

1 x

???12 分

9


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