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一元二次不等式的解法


个性化教案 授课时间: 年级:课时: 课题: 教学 目标 教学 难点 备课时间: 学员姓名: 授课老师:

掌握一元二次不等式,高次不等式和分式不等式的解法。 正确理解二次方程、二次不等式和二次函数三者的关系,通过二次函数函数图象研究对应不等 式解集的方法。

复习引入:
1.画出一次函数 y ? 2 x ? 7 的图象,并从图像上观察 得到: (1) 当 x 为何值时, y=0? (2)当 x 为何值时, y>0? (3)当 x 为何值时,y<0? 从该题中引出以下三者之间的密切联系
方程的根 函数的零 点 不等式的解集

教学 内容

2.画出二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 的图像, 函数图像与 x 轴的位置关系,并从图像上观察得到: (1 ) 当 x 为何值时, y=0?(2)当 x 为何值时, y>0? (3)当 x 为何值时,y<0?

诚信求质,教育为本第 1 页 共 5 页

若一般形式二次函数: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 对应不等式又如何求解呢?

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a
R

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

思考:不等式 (2 ? x)(x ? 4) ? 0 的解集是



如果二次项系数为负数时,先做等价转化,把二次项系数化为正数,再利用函数图象求解。

归纳:解一元二次不等式的基本步骤:

(1)化为一般式:ax 2 + bx + c,且二次项系数化为正数;(整理化正) (2)判断对应方程是否有实根,如有实根则求出根;(判断求根) (3)根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向,写出不等式的解 集;(大于取两边,小于取中间) (若 a<b,则 ( x ? a)(x ? b) ? 0 <==>x < a 或 x > b, ( x ? a)(x ? b) ? 0 <==>a < x < b)
例:利用数形结合思想写出下列不等式的解集:
1) 3x ? 6 x ? 2 ? 0
2

2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

诚信求质,教育为本第 2 页 共 5 页

题型归纳:
题型一.解一元二次不等式 1.解下列不等式 (1) 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 (2) ? 6 x 2 ? x ? 2 ? 0 (3) 2 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0 (4) x 2 ? 6 x ? 9 ? 0

2.已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为(2,3) ,求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集

题型二.解高次不等式(方法:穿针引线法) 穿针引线法第一步: 通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为 0。 (注意:一定要保证最高次数项的系数为正数)例 3 2 如:将 x -2x -x+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 穿针引线法第二步: 将不等号换成等号解出所有根。例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为:x1=2,x2=1,x3=-1 穿针引线法第三步: 在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。例如:-1 1 2

穿针引线法第四步: 画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一 下依次穿过各根,满足奇穿偶不穿。 (奇穿偶不穿:即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。 2 如(x-1) =0 两个解都是 1 ,那么穿的时候不要透过 1) 穿针引线法第五步: 观察不等号,如果不等号为“>” ,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<” ,则取数轴下方,穿 根线以内的范围。 例如:若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。在数轴上标根得:-1 1 2 画穿根线:由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1<x<1 或 x>2。 可以简单记为秘籍口诀:或“自上而下,从右到左,奇穿偶不穿” 。 例:用穿针引线法求下列不等式的解集

诚信求质,教育为本第 3 页 共 5 页

(1) ( x 2 ? 4)(x ? 6) 2 ? 0 (2) x( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 ( x ? 2) ? 0 (3)x(x2-12)-4x<0

(4)(x+4)2(x-4)2(x+3)<0(5)(x+1)4(x-3)3(x2-3)<0(6)(x-1) (x-2)3(x2-1)≥0

题型三.解分式不等式
方法:

x?a ? 0 ? ( x ? a)(x ? b) ? 0 x?b x?a ? 0 ? ( x ? a)(x ? b) ? 0 x?b

注意:若是≤ 或者 ≥的分式不等式,分母的式子不能为零!
例:解下列不等式

x 2 ? 4x ? 1 x?2 x ?1 ?1 (1) (2) (3) 2 ?0; ?2; 1? x x?2 3x ? 7 x ? 2

(4)

?9

2 +2 +1

<0(5)

+3

( +1) ( +2)

≤ 0(6)

( +1) ( ?4)
2 +2 +1

≥0

(7)

(x+1)(x ?3)(x ?2)2

(?1) ( +2)

≤0

(8)

(x ?4)4 (x ?3)3 (x ?2)2 ?1

≤ 0(9)

(x+7)(x ?6)(x ?5)2

(x ?4)4 (x ?3)3 (x ?2)2

≥0

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【课后练习】 1.完成下列表格
判别式 △= b 2 ? 4ac 二次函数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

△>0

△=0

△<0

的图象 一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的解集
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的解集

2.求下列不等式的解集
(1)x+2>x2(2)4x2+4x<-1(3)(x2-16)2(x2+2x+1)>0

(4)

+3

9 2 +6 +1

> 0(5)

<06) 2 +4 +16 ≤ 0 2 +6 +5

2 ?9

( 2 ?16 )

(7)

2 ?3?10 3?

≤ 0(8) 2 + 30 ? 99 ≥ 0(9) 2 + 28 ? 60 ≥ 0

(10)(x+2) (x-2)3(x2-4)≥0(11)x2-9≤9x2-6x+1(12)x2+9≥6x

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