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直线方程——点斜式和斜截式


直线方程——点斜式与斜截式 直线方程——点斜式与斜截式 ——点斜式 教学目标: 掌握由一点和斜率导出直线方程的方法, 教学目标:⒈掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的 点斜式方程, 点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例 ; 能通过待定系数( ⒉能通过待定系数(直线上的一个点的坐标 ( x1 , y1 ) 及斜率 k ,或者 求直线方程; 直线的斜率 k 及在 y 轴上的截距 b )求直线方程; 掌握斜率不存在时的直线方程 在时的直线方程, ⒊掌握斜率不存在时的直线方程,即 x = x1 . 教学重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 教学重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 教学难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 教学难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 教具:三角板 教具: 教学方法:问题解决教学 教学方法:

教学过程: 教学过程:一、复习引入:⒈确定直线的两个几何条件是什么? 复习引入: 确定直线的两个几何条件是什么? ⒉直线的倾斜角和斜率的定义是什么?请写出两点的斜率公式。 直线的倾斜角和斜率的定义是什么?请写出两点的斜率公式。 ⒊求值:⑴已知直线 l 过点 A ( 3, 4 ) , B (1,0 ) ,直线 l 的斜率 k ; 求值: 的值。 ⑵已知直线 l 过点 A ( 3, 4 ) , B ( 2, y ) ,斜率 k = 2 ,求 y 的值。 的关系式。 ⑶已知直线 l 过点 A ( 3, 4 ) , B ( x, y ) ,斜率 k = 2 ,求 x, y 的关系式。 ⑷已知直线 l 的斜率为 k ,且过定点 P ( x0 , y0 ) ,点 P ( x, y ) ,求关 1 的方程。 于 x, y 的方程。 ⒋求满足下列条件的方程: 求满足下列条件的方程: ⑴已知直线 l 的斜率为

1 , 且 过 定 点 P ( 2,3) ; ⑵ 直 线 过 两 点 1 2

P (1,1) , P2 ( 5,3) ;⑶直线过两点 P (1,1) , P2 (1,3) ; 1 1
⑷直线过两点 P (1,3) , P2 (1,3) ;⑸已知直线 l 的斜率为 1

1 ,且过定 2

点 P ( 0,3) ;⑹已知直线 l 的斜率为 ,且过定点 P ( 2,0 ) ; 1 1
1

1 2

⑺已知直线 l 的斜率为 k ,且过定点 P ( 0, b ) ; 1 ⒌回答下列问题: 回答下列问题: ⑴直线方程的点斜式和斜截式与一次函数有何关系? 直线方程的点斜式和斜截式与一次函数有何关系? ⑵直线方程的点斜式有什么特点? 直线方程的点斜式有什么特点? ⑶直线方程的点斜式能否表示平面上的所有直线吗? 直线方程的点斜式能否表示平面上的所有直线吗 轴所在直线的方程是什么? 轴所在直线的方程是什么? ⑷ x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么? 轴上的截距是什么? ⑸直线 y = kx + b 在 x 轴上的截距是什么? ⒍画出下列方程的图像并观察回答两条直线的位置关系: 画出下列方程的图像并观察回答两条直线的位置关系: 并观察回答两条直线的位置关系 ⑴ l1 : y = x + 1, l2 : y = x ;⑵ l1 : y = 2 x + 1, l2 : y = 2 x ;

( 3) l1 : y = 1, l2 : y = 2; ( 4 ) l1 : x = 1, l2 : x = 2; ( 5 ) l1 : y = kx + b1 , l2 : y = kx + b2 ( b1 ≠ b2 )
由此题的结论,你发现什么? 由此题的结论,你发现什么? ⒍画出下列方程的图像并观察回答两条直线的位置关系: 画出下列方程的图像并观察回答两条直线的位置关系: ⑴ l1 : y = x + 1, l2 : y = ? x ;⑵ l1 : y = 2 x + 1, l2 : y = ?

1 x; 2

( 3) l1 : y = 1, l2 : x = 2; ( 4 ) l1 : y = kx + b1 , l2 : y = ?
由此题的结论,你发现什么? 此题的结论,你发现什么? ⒎求满足下列条件的直线方程: 求满足下列条件的直线方程:

1 x + b2 k

(1) P1 (1,1) , P2 ( 3,2 ) ; ( 2 ) P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ; ( 3) P1 (1,0 ) , P2 ( 0,1) ; ( 4 ) P1 ( a,0 ) , P2 ( 0, b )( a ? b ≠ 0 )
⒏回答下列问题: 回答下列问题:
2

⑴方程 y ? y1 =

y2 ? y1 y ? y1 x ? x1 = , 这 ( x ? x1 ) 可以导出方程 x2 ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1

两者所表示的直线的范围是否相同? 两者所表示的直线的范围是否相同?⑵哪些直线不能用直线的两点 式表示? 的直线, 式表示?⑶若要包含倾斜角 0 为或 90 的直线,应把直线的两点式 变成什么形式? 变成什么形式? 二、直线方程的几种形式: 直线方程的几种形式: ⒈ 点 斜 式 : 已 知 点 P ( x0 , y0 ) , 斜 率 为 k , 则 直 线 方 程 为
0 0

y ? y0 = k ( x ? x0 ) 。
注:1 k =
0

y ? y0 不等价; 与 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 不等价; x ? x0

20 适用范围: α ≠ 900 的所有直线; 适用范围: 的所有直线;

30 特殊直线:设直线过点 P ( x0 , y0 ) ,则 特殊直线:
⑴倾斜角为 α = 90 时,直线方程为 x = x0 ;
0

⑵倾斜角为 α = 0 时,直线方程为 y = y0 。
0

轴的直线方程为___; 如,①过点 ( 2,1) 且平行于 x 轴的直线方程为___; 轴的直线方程为___; ②过点 ( 2,1) 且平行于 y 轴的直线方程为___; 斜率是 ______ 、 倾斜角是 ______ 、 ③方程 y + 1 = ? 3 (x ? 3 ) 表示过点 ______ 、 的直线。 在 y 轴上的截距是 ______ 的直线。

40 已知直线的方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,则此直线过定点 ( x0 , y0 )
,斜率为 k 。例,直线 y = kx + 2k + 1恒过定点 练习: 求直线恒经过的定点; 练习:⑴已知直线 y = kx + 3k + 1。①求直线恒经过的定点; 轴上方, 的取值范围。 ② 当 ?3 ≤ x ≤ 3 时 , 直线上的点都在 x 轴上方, 求实数 k 的取值范围。 ⑵ 求直线 y = ? 3( x ? 2) 绕点 ( 2,0 ) 按顺时针方向旋转 30 所得的
0
3

直线方程。 直线方程。⑶求过点 ( 2,1) 且倾斜角 α 满足 sin α =

4 的直线方程。 的直线方程。 5

⒉斜截式:已知斜率为 k ,且在 y 轴上的截距为 b ,则直线方程为 斜截式:

y = kx + b 。
轴上的截距; 适用范围: 的所有直线。 注: 1 b 是 y 轴上的截距; 2 适用范围: α ≠ 90 的所有直线。
0 0

0

30 截距与距离的区别:距离只能为正;截距可正可负可为零。 截距与距离的区别:距离只能为正;截距可正可负可为零。
40 把求出的直线方程写成形如 Ax + By + c = 0 的形式。 的形式。
例,⑴已知直线 l 过点 P ( 3, 4 ) ,它的倾斜角是直线 y = x + 1 的两倍, 的两倍, 的方程为( 则直线 l 的方程为( ). A. y ? 4 = 2( x ? 3) B. y ? 4 = x ? 3
0

C. y ? 4 = 0

D. x ? 3 = 0

⑵倾斜角是135 ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是 练习: ⒊练习: ⑴ 将 直 线 y = x + 3 ? 1 绕 它 上 面 一 点 1, 3 沿 逆 时 针 方 向 旋 转

(

)

150 ,得到的直线方程是
2 1 -2 -1 o -1 -2 1 2 2 1 x -2 -1 o -1 1 2

.
2 1 1 2 x -2 -1 o -1 -2 1 2 x

( 2 ) 一直线y = ax + b (ya + b = 0 )的图象是(  )y y y
2 1 x -2 -1 o -1 -2

( 3) 设直线 ax + by + c = 0 的倾斜角为α ,若 sin α + cosα = 0 ,则
a,b 满足( 满足(
) B. a ? b = 1 C. a + b = 0 D. a ? b = 0 A. a + b = 1

A

B

-2

C

D

⒋两点式:已知直线过两点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则直线的方程是 两点式: 1

y ? y1 x ? x1 0 = 根据公式的特点进行记忆; 。注:1 根据公式的特点进行记忆; y2 ? y1 x2 ? x1
20 适用范围:倾斜角 α ≠ 00 且α ≠ 900 的所有直线; 适用范围: 的所有直线;
4

30 直线的两点式方程是方程 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) = ( y2 ? y1 )( x ? x1 )
的特殊形式; 的特殊形式;

P96 例题 4。变式求三边的中线所在直线的方程。 变式求三边的中线所在直线的方程。
且过原点的直线方程为___; 练习: 练习:⑴过点 ( 2,1) 且过原点的直线方程为___; 的直线方程为___; ⑵过点 ( 2,1) 且过点 (1, 2 ) 的直线方程为___; ⒌截距式:在 x, y 轴上的截距分别为 a, b ( a ? b ≠ 0 ) ,则直线方程为 截距式:

x y + = 1。 a b

注:1 记住a, b分别x, y轴的截距;
0

20 适用范围:倾斜角 α ≠ 00 且α ≠ 900 及不过原点的所有直线; 适用范围: 及不过原点的所有直线;

30 能灵活运用以上四种形式解题。 能灵活运用以上四种形式解题。
且与两坐标轴的截距相等的直线方程。 例,⑴求过点 P (1, 2 ) 且与两坐标轴的截距相等的直线方程。 且与两坐标轴构成等腰直角三角形的直线方程; ⑵求过点 P (1, 2 ) 且与两坐标轴构成等腰直角三角形的直线方程; ⑶求过点 P (1, 2 ) 且与两坐标轴的正方向所围成的三角形面积为 4 的 直线方程。 直线方程。

x y ? 2 = 1 在 y 轴上的截距是( ) 轴上的截距是( a2 b 2 2 A. b B. b C. ?b D. ±b 轴上的截距为( ⑵过两点 ( ?1,1) 和 ( 3,9 ) 的直线在 x 轴上的截距为( ) 3 2 2 A. ? B. ? C. D. 2 2 3 5 ⑶ 已知 2 x1 ? 3 y1 = 4, 2 x2 ? 3 y2 = 4 , 则过点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的
练习: 练习:⑴直线 的方程是( 直线 l 的方程是( ). A. 2 x ? 3 y = 4 B. 2 x ? 3 y = 0 C. 3 x ? 2 y = 4 D. 3 x ? 2 y = 0

⑷过点 A(4, 2) ,且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
5

且与两轴围成一个等腰直角三角形, ⑸已知直线 l 过点 ( 3, ?1) ,且与两轴围成一个等腰直角三角形,则 l 的方程为 且与两坐标轴构成单位面积的三角形, ⑹已知直线 l 过点 (?2, 2) ,且与两坐标轴构成单位面积的三角形, 的方程。 求直线 l 的方程。 轴上的点, ⑺已知点 A( ?3,8), B (2, 2) ,点 P 是 x 轴上的点,求当 AP + PB 最 的坐标。 小时的点 P 的坐标。 ⒍练习:⑴下面命题中正确的是( 练习: 下面命题中正确的是( )

经过定点 P0 ( x0 ,y0 ) 的直线都可以用方程 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 表 (A ) 示。 (B)经过任意两个不同的点 P ( x1 ,y1 ) , P2 ( x2 ,y2 ) 的直线都可以用 1 表示; 方程 ( y ? y1 )( x2 ? x1 ) = ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 表示; (C)不经过原点的直线都可以用方程

x y + = 1 表示 a b

(D)经过点 A ( 0,b ) 的直线都可以用方程 y = kx + b 表示 不过第三象限, l l ⑵直线 l 不过第三象限, 的斜率为 k , 在 y 轴上的截距为 b ( b ≠ 0 ) , 则有( 则有( ) A. kb < 0 B. kb ≤ 0
0

C. kb > 0

D. kb ≥ 0

再向右平移1个单位, ⑶直线 y = 3 x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位,所得 到的直线为( 到的直线为( )

1 1 B. y = ? x + 1 C. y = 3 x ? 3 D. y = x + 1 3 3 1 ( 4 )已知直线y = kx + 2k + 1与直线y = ? x + 2的交点位于 2 第一象限内,则k的取值范围是(  )
6

1 1 A. y = ? x + 3 3

1 1 1 A.k > ?  B.0<k < C.k < 6 2 2

1 1 D. ? <k < 6 2

两点, ⑸直线 l 过点 P ( ?2,3) 且与 x 轴,y 轴分别交于 A, B 两点, P 恰为 若 的中点, 的方程. 线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 轴后的反射线的方程。 经过点 B ( ?2,6 ) ,求射入 y 轴后的反射线的方程。 发出, 轴反射, 轴反射, ⑹光线从点 A ( ?3, 4 ) 发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线 ⑺直线 l 经过点 P ( ?5, ?4 ) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 5, 的方程。 求直线 l 的方程。 的三个顶点是 ⑻已知 ? ABC 的三个顶点是 A ( 0,7 ) , B ( 5,3) , C ( 5, ?3) ,求(1)三边 所在直线的方程; (2 所在直线的方程。 所在直线的方程; 2)中线 AD 所在直线的方程。 ( 12, ⑼一直线经过点 ( ?3, 4 ) 且在两坐标轴上的截距之和为 12, 求直线的 方程 ⑽经过点 (1, 2 ) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条

三、两条直线的位置关系:平行与垂直 两条直线的位置关系: 当两条直线的斜率存在时, 当两条直线的斜率存在时,设直线 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , 则⒈两条直线平行 ? k1 = k2 且 b1 ≠ b2 ; ⒉两条直线垂直 ? k1 = k2

若l1 ∥ l2 ,l1:x = x1 ? l2:x = x2 ( x1 ≠ x2 )

注:若l1:x = x1 ,l2:x = x2 ( x1 ≠ x2 ) ? l1 ∥ l2 10 20 若l1 ⊥ l2 ,且l1的斜率不存在 ? l2的斜率为0,反之

也成立;若l2的斜率为0,且l1的斜率不存在 ? l1 ⊥ l2
7

30 若l1:y = kx + b,则“直P39例5”

(1) 若l1 ∥ l2,则可设l2:y = kx + m ( m ≠ b )
1 x + m ( k ≠ 0) k 平行的直线方程为______ ______。 例,⑴过点 (1,1) 且与直线 y = 2 x + 1 平行的直线方程为______。

( 2 ) 若l1 ⊥ l2 ,则可设l2:y = ?

垂直的直线方程为______ ______。 ⑵过点 (1,1) 且与直线 y = 2 x + 1 垂直的直线方程为______。 为何值时, ⑶当 a 为何值时, 直线 l1 : y = ? x + 2a 与直线 l : y = a ? 2 x + 2
2

(

)

平行? 平行? 为何值时, ⑷当 a 为何值时, 直线 l1 : y = ( 2a ? 1) x + 3 与直线 l2 : y = 4 x ? 3 垂 直。 互相垂直, ⑸ 已知两条直线 y = ax ? 2 和 y = ( a + 2) x + 1 互相垂直 ,则 a 等于 ( )

A .2 B .1 C .0

D . ?1

⑹过点 (1,0 ) 且与直线 x ? 2 y ? 2 = 0 平行的直线方程是

A. x ? 2 y ? 1 = 0 C. 2 x + y ? 2 = 0

B. x ? 2 y + 1 = 0 D. x + 2 y ? 1 = 0

⑺已知直线 l 的方程为 y = ? 方程。 方程。

1 x + 1,求过点 ( 2,3) 且垂直于 l 的直线 2

⑻ 已知四边形的四个顶点分别为 A(0,1), B (2,0), C (4,3), D (2, 4) , 为平行四形。 试证明四边形 ABCD 为平行四形。 ⑼三角形 ABC 的三个顶点 A ( ?3,0 ) , B ( 2,1) , C ( ?2,3) ,求: 边所在直线的方程; 所在直线的方程; ⑴ BC 边所在直线的方程;⑵ BC 边上中线 AD 所在直线的方程; 的方程. ⑶ BC 边的垂直平分线 DE 的方程.
8



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