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湖北数学2


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湖北省部分学校 2015 届高三毕业生(二)月调研考试 数 学(理 科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、下列函数中,定义域和值域相同的是( ) A. y ? sin x 和 y ? tan x C. y ? x2

和 y ? 2x B. y ? x2 和 y ? x y ? x3 和 y ? log2 x D.
? ?1 ? 3i ? 2、定义 ? ? ? ? ? x ? y x ? ?, y ? ?? ,设集合 ? ? ?0,1? i? , ? ? ?0, ? ,则集合 ? 2?i ?
? ? ? 中元素的个数为(

) B.3 C.2 D.1

A.4

3、某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作,每个地段至少有 1 名学生的分 配方案共有( A.60 种 ) B.90 种 C.150 种 D.240 种

4、 设抛物线 C1 : y 2 ? 2x 与双曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点重合, 且双曲线 C2 的渐近线 a 2 b2

为 y ? ? 3x ,则双曲线 C2 的实轴长为( A. 1 B.
1 2

) C.
1 4

D.

1 16

? ?? ? 5、 把函数 y ? cos ? ? 2 x ? 的图象向右平移 , 得到函数 f ? x ? 的图象, 则函数 f ? x ? 12 ?3 ?
为( ) B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数 A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数

6、某几何体的三视图如图所示,则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为( A.
2 2

) C.
6 2
3 D.

B.

5 2

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7、设 x ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ x ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

a ? 2 恒成立”的( x



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8、某科研所共有职工 20 人,其年龄统计表如下:由于电脑故障,有两个数字在表 格中不能显示出来,则下列说法正确的是( )

A.年龄数据的中位数是 40 ,众数是 38 C.年龄数据的平均数 x ? ?39, 40?

B.年龄数据的中位数和众数一定相等 D.年龄数据的平均数一定大于中位数 )

9、如图所示,若输入的 n 为 10 ,那么输出的结果是( A. 45 C. 90

B. 110 D. 55 2 2 x y x2 y 2 10、设椭圆 ? 2 ? 1 和双曲线 2 ? 2 ? 1 有共同的焦点, 4 a a b 连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一 条渐近线平行,设双曲线的离心率为 e ,则 e2 等于( A.
5 ?1 2



B.

3 ?1 2

C. 3

D. 5

二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) (一)必做题(11—14 题) 11、 已知矩形 ?? CD 中,?? ? 2 ,? C ? 1 , 点 ? 是 ?D 上任意一点, 则 ?? ? ?? ? ?C 的取值范围是 .

?

?

12、在三角形 ?? C 中, ? , ? , C 是三角形 ?? C 的内角,设函数
f ? ? ? ? 2sin ??C ? ?? ?? ? ? 则 f ? ?? 的最大值为 sin ? ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? cos 2 , 2 2? 2? 2 ? ?
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? ?log 2 ? 2 x ? y ? ? 2 13、设 x , y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? y 的最大值为 x ? y ? 1 ? ?



14、已知矩形 ?? CD 的周长为 18 ,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱 柱的体积最大时,它的外接球的表面积为 .

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按 15 题作 答结果计分) 15、 (选修 4-1: 几何证明选讲) 如图, 已知直线 ?? 切圆 ? 于点 ? ,直线 ?? 交圆 ? 于点 ? 、 C ,若 ?C ? 2 ? 3 ,
?? ? 1 ,则圆 ? 的半径长为



16、 (选修 4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 , 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) , 直 线 l 的 参 数 方 程:

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?


2 t 2 ( 为参数) .写出抛物线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方 t 2 t 2
、 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) ?? ? 17、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? cos x 2 3 sin x ? cos x ? a cos 2 ? ? x ? 的一 ?2 ? ? 个零点是 x ? . 12 ?1? 求函数 f ? x ? 的周期;

?

?

? 2 ? 求函数 f ? x ? 单调增区间.
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18、(本小题满分 12 分)已知公比为负值的等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 4 , a4 ? ?1 .

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 设 bn ?
n ?1 n ?1 n ?1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n ? n ? 1?

19、 (本小题满分 12 分)农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两 种杂粮作物,从两块试验田中任意选取 6 颗该种作物果实,测得籽重(单位:克) 数据如下: 甲种作物的产量数据: 111 111 122 107 113 114 乙种作物的产量数据: 109 110 124 108 112 115 ?1? 作出两组数据的茎叶图;

? 2 ? 设 1 颗杂粮作物果实的籽重为 x ,若 x ? ?110,120? ,则称该果实为标准果实,现
从上述 12 颗果实中任选 3 颗,记标准果实的颗数为 ? ,求随机变量 ? 的期望.

20、 (本小题满分 12 分)如图所示,在矩形 ?? CD 中, ?D ? 1 , ?? ? 2 ,点 ? 是线 段 ?? 的中点,把三角形 ?? D 沿 D ? 折起,设折起后点 ? 的位置为 ? , F 是 ? D 的中 点. ?1? 求证:无论 ? 在什么位置,都有 ?F// 平面 ??C ;
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求二面角 ? ? ?C ? D 的余弦值. ? 2 ? 当点 ? 在平面 ??CD 上的射影落在线段 D ? 上时,

21、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 : x2 ? 4 y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,点 ? 是 C1 上任意一点, ? 是坐标原点, ?Q ? ?F 1 ? ?F 2 ,设点 Q 的轨迹为 C2 .

?1? 求点 Q 的轨迹 C2 的方程; 其中 ? ,? 是 C2 上的点, 且直线 ?? ,?? ? 2 ? 若点 ? 满足:?? ? ?? ? 2?? ? ?? ,

1 的斜率之积等于 ? ,是否存在两定点 ? , ? ,使 ?? ? ?? 为定值?若存在,求出 4 这个定值;若不存在,请说明理由.

22、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 2 , a ? R 是常数.

?1? 若函数 y ? f ? x? 的图象在点 ? a, f ? a ??( a ? 0 )与直线 y ? b 相切,求 a 和 b 的值; ? 2 ? 若函数 y ? f ? x? 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

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