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高中物理竞赛讲义:电磁感应.


电磁感应 【拓展知识】
1.楞次定律的推广 (1)阻碍原磁通量的变化; (2)阻碍(导体的)相对运动; (3)阻碍原电流的变化。 2.感应电场与感应电动势 磁感应强度发生变化时,在磁场所在处及周围的空间范围内,将激发感应电场。感应电场 不同于静电场: (1)它不是电荷激发的,而是由变化的磁场所激发; (2)它的电场线是闭合的,没有起止点。而静电场的电场线是从正电荷出发终

止于负电 荷; (3)它对电荷的作用力不是保守力。 如果变化的磁场区域是一个半径为 R 的圆形, 则半径为 r 的回路上各点的感应电场的场强大小 为

? r ?B ? 2 ? ?t , r ? R; ? E?? 2 ? R ? ?B , r ? R. ? 2r ?t ?
方向沿该点的切线方向。感应电场作用于单位电荷上的电场力所做的功就是感应电动势。

【试题赏析】
1.如图所示,在一无限长密绕螺线管中,其磁感应强度随时间线性变化(

?B =常数) ,求螺 ?t

线管内横截面上直线段 MN 的感应电动势。已知圆心 O 到 MN 的距离为 h、MN 的长为 L 以及

?B 的大小。 ?t

解:求感生电动势有两种方法。 (1) 根据电动势的定义:某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位

正电荷沿此段运动时所做的功。在 MN 上任选一小段 ?l ,O 点到 ?l 距离为 r,?l 处
? E感 如图 4-4-8 所示,与 ?l 的夹角为θ ,感生电场沿 ?l 移动单位正电荷所做的 的

功为
?A ? E感 ?l cos ? ,
r ?B ?A ? ? ?l cos ? 2 ?t E感 ? r ?B 2 ?t 则



O h? r M

E然

?l
图 4-4-8

?

N



r cos ? ? h
?A ? h ?B ?l 2 ?t



把 MN 上所有 ?l 的电动势相加,
??? 1 ?B 1 ?B ?l ? hl 2 ?t 2 ?t

(2)用法拉第定律求解。连接 OM,ON,则封闭回路三角形 OMN 的电动势等于其 所包围的磁通量的变化率。
1 ? ? BS ? lhB 2 ?? 1 ?B ?? ? hl ?t 2 ?t ? E感 均各自与 OM 和 ON 垂直,单位正电荷 OM 和 ON OM 和 ON 上各点的感生电场

上移动时,感生电场的功为零,故 OM 和 ON 上的感生电动势为零,封闭回路 OMNO 的电动势就是 MN 上的电动势。 电动势的方向可由楞次定律确定。 【总结反思】理解两种电动势的产生机理 【变式训练】

两根长度相度、材料相同、电阻分别为 R 和 2R 的细导线,围成一直径为 D 的 圆环,P、Q 为其两个接点,如图 4-4-9 所示。在圆环所围成的区域内,存在垂直 于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大,变化率为恒定 值 b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设 MN 为圆环上的两点,MN 间的弧 长为半圆弧 PMNQ 的一半。试求这两点间的电压 U M ? U N 。 分析:就整个圆环而言,导线的粗细不同,因而电阻的分布不同,但感应电 动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。 解:根据电磁感应定律,整个圆环中的感应电动势的大小为
E? ?? 1 ? ?D 2 b ?t 4

此电动势均匀分布在整个环路内,方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应 电流为
I? E R ? 2R
Q N R M
D 2

M、N 两点的电压
UM ?U N ? 1 R? ? E ? I ? 2R ? ? 4 2? ?

P

2R

图 4-4-9 由以上各式,可得
UM ?U N ? ? 1 ?D 2 b 48

可见,M 点电势比 N 点低

2、如图所示,固定在上、下两层水平面上的平行金属导轨 MN、M'N'和 OP、O'P'间距都是 l, 二者之间固定有两组竖直半圆形轨道 PQM 和 P'Q'M',两轨道间距也均为 l,且 PQM 和 P'Q'M' 的竖直高度均为 4R,两组半圆形轨道的半径均为 R.轨道的 QQ'端、MM'端的对接狭缝宽度可 忽略不计,图中的虚线为绝缘材料制成的固定支架,能使导轨系统位置固定.将一质量为 m 的金属杆沿垂直导轨方向放在下层导轨的最左端 OO'位置, 金属杆在与水平成θ 角斜向上的恒 力作用下沿导轨运动,运动过程中金属杆始终与导轨垂直,且接触良好.当金属杆通过 4R 的

距离运动到导轨末端 PP'位置时其速度大小 vp=4 gR .金属杆和导轨的电阻、金属杆在半圆 轨道和上层水平导轨上运动过程中所受的摩擦阻力,以及整个运动过程中所受空气阻力均可 忽略不计. (1)已知金属杆与下层导轨间的动摩擦因数为μ ,求金属杆所受恒力 F 的大小; (2)金属杆运动到 PP'位置时撤去恒力 F,金属杆将无碰撞地水平进入第一组半圆轨道 PQ 和 P'Q',又在对接狭缝 Q 和 Q'处无碰撞地水平进入第二组半圆形轨道 QM 和 Q'M'的内侧,求金 属杆运动到半圆轨道的最高位置 MM'时,它对轨道作用力的大小; (3)若上层水平导轨足够长,其右端连接的定值电阻阻值为 r,导轨处于磁感应强度为 B、 方向竖直向下的匀强磁场中.金属杆由第二组半圆轨道的最高位置 MM'处,无碰撞地水平进入 上层导轨后,能沿上层导轨滑行.求金属杆在上层导轨上滑行的最大距离.

(1)金属杆在恒定外力 F 作用下,沿下层导轨以加速度 a 做匀加速直线运动,根 据运动学公式有 vP2=2as…………………………………………1 分 将 vP=4 gR ,s=4R 代入,可解得 a=2g…………………………………1 分 根据牛顿第二定律,金属杆沿下层导轨运动时,在竖直方向和水平方向分别 有

mg-N-Fsinθ =0,Fcosθ -μ N=ma………………………………2 分
解得 F= cos ? ? ? sin ? ………………………………1 分 (2)设金属杆从 PP′位置运动到轨道最高位置 MM′时的速度为 v1, 1 2 1 此过程根据机械能守恒定律有 mvP ? 4mgR ? mv12 …………2 分 2 2 解得 v1 ? 8 gR ……………………………………………1 分 设金属杆在 MM′位置所受轨道压力为 FM, 根据牛顿第二定律有 FM ? mg ? m 解得
v12 ……………………2 分 R
(2 ? ? )mg

FM ? 7 mg ………………………………1 分

? 由牛顿第三定律可知,金属杆对轨道压力的大小 FM ? 7 mg ………1 分

(3) 解法 1: 设金属杆在上层导轨由速度 v1 减速至速度为零的过程中, 磁场给金属 杆的平均安培力为 F ,则 F ? BIl 。

设在 ?t 时间内,金属杆的速度变化量为 ?v ,由动量定理 BIl ?t ? m?v , 设金属杆在上层水平金属导轨上滑行的最大距离为 x ,则 E ?
I? E Blx ? r ?tr BIl ?t ? B
2mr 2 gR Blx B 2l 2 x l ?t ? ? mv 1,将 v1 ? 8 gR 代入,解得 x ? B 2l 2 ?tr r

?? Blx , ? ?t ?t

解法 2: 设在一段短暂的时间 ?t 内,金属杆的速度变化量为 ?v ,由动量定理

BIl?t ? m?v ,即 Bl ?q ? m?v
对于整个滑动过程取和,设通过金属杆的总电量为 Q,则
BlQ ? mvM , Q ?

mvM 2m 2 gR ? , Bl Bl

设金属杆在上层水平金属导轨上滑行的最大距离为 s,则 ?? Bls Q? ? r r 解得
s? 2mr 2 gR B 2l 2

总结反思
(1)直线加速过程,受到拉力、重力、支持力和滑动摩擦力,对直线加速过程运用动能定理列式求解; (2)导体棒沿着圆弧型光滑轨道上滑过程,只有重力做功,机械能守恒,根据守恒定律列式求解出最高点速 度,然后根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解出导体棒所受压力,最后根据牛顿第三定律求解棒对轨道 的压力; (3)对减速过程运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、动量定理列式后联立求解. 本题关键是明确导体棒运动过程中的能量变化情况,然后多次运用动能定理、机械能守恒定律、动量定理列 式求解.

【变式训练】如图,光滑斜面的倾角 ? = 30°,在斜面上放置一矩形线框 abcd,ab 边的边 长 l1 = l m,bc 边的边长 l2= 0.6 m,线框的质量 m = 1 kg,电阻 R = 0.1Ω,线框通 过细线与重物相连,重物质量 M = 2 kg,斜面上 ef 线(ef∥gh)的右方有垂直 斜面向上的匀强磁场,磁感应强度 B = 0.5 T,如果线框从静止开始运动,进入磁

场最初一段时间是匀速的,ef 线和 gh 的距离 s = 11.4 m, (取 g = 10.4m/s2) ,求: (1)线框进入磁场前重物 M 的加速度; (2)线框进入磁场时匀速运动的速度 v; (3)ab 边由静止开始到运动到 gh 线处所用的时间 t; (4) 边运动到 gh 线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到 gh 线的整个过程中产 ab 生的焦耳热。 【解析】 (1)线框进入磁场前,线框仅受到细线的拉力 FT,斜面的支持力和线框重力, 重物 M 受到重力和拉力 FT。对线框,由牛顿第二定律得 FT – mg sinα = ma.

Mg ? mg sin ? =5m/s2 M ?m (2)因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动 所以重物受力平衡 Mg = FT′, 线框 abcd 受力平衡 FT′= mg sinα + FA ab 边进入磁场切割磁感线,产生的电动势 E = Bl1v
联立解得线框进入磁场前重物 M 的加速度 a ? 形成的感应电流 I ?
E Bl1v ? R R

受到的安培力 FA ? BIl1

B 2 l12 v 代入数据解得 v=6 m/s R (3)线框 abcd 进入磁场前时,做匀加速直线运动;进磁场的过程中,做匀速直线运动; 进入磁场后到运动到 gh 线,仍做匀加速直线运动。 进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同,为 a = 5 m/s2
联立上述各式得,Mg = mg sinα + 该阶段运动时间为 t1 ?
v 6 ? s ? 1.2s a 5 l 2 0.6 ? s ? 0.1s v 6

进磁场过程中匀速运动时间 t 2 ?

线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前,所以该阶段的加速度仍为 a = 5m/s2
s ? l 2 ? vt3 ? 1 2 at3 2

解得:t3 =1.2 s 因此 ab 边由静止开始运动到 gh 线所用的时间为 t = t1+t2+t3=2.5s (4)线框 ab 边运动到 gh 处的速度 v′=v + at3 = 6 m/s+5×1.2 m/s=12 m/s 整个运动过程产生的焦耳热 Q = FAl2 =(Mg – mgsinθ)l2 = 9 J 【点评】考查的知识点主要有牛顿定律、物体平衡条件、法拉第电磁感应定律、闭合电 路欧姆定律、安培力、运动学公式、能量守恒定律等。重点考查根据题述的物理情景综合运 用知识能力、分析推理能力、运用数学知识解决物理问题的能力。 电磁感应中的能量问题 电磁感应的过程是的能的转化和守恒的过程,导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路 中产生感应电流,机械能或其他形式的能便转化为电能;感应电流做功,又可使电能转化为 机械能或电阻的内能等。电磁感应的过程总是伴随着能量的转化,因此在分析问题时,应牢 牢抓住能量守恒这一基本规律,分析清楚有哪些力做功,就可知道有哪些形式的能量参与了 相互的转化,然后借助于动能定理或能量守恒定律等规律求解。需要说明的是克服安培力做 了多少功,就有多少其他形式的能转化为电能。 解决这类问题的基本方法是:

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定电动势的大小和方向; (2)画出等效电路,求出回路中电阻消耗电功率的表达式; (3)分析导体机械能的变化,用能量守恒定律得到机械功率的改变与回路中电功率的改变 所满足的方程。 【例 4】如图所示,固定的水平光滑金属导轨,间距为 L,左端接有阻值为 R 的电阻,处 在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中,质量为 m 的导体棒与固定弹簧相连,放在导轨 上,导轨与导体棒的电阻均可忽略.初始时刻,弹簧恰处 于自然长度,导体棒具有水平向右的初速度 v0.在沿导轨 往复运动的过程中,导体棒始终与导轨垂直并保持良好接 触. (1)求初始时刻导体棒受到的安培力。 (2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时,弹簧 的弹性势能为 Ep,则这一过程中安培力所做的功 W1 和电阻 R 上产生的焦耳热 Q1 分别为多少? (3)导体棒往复运动,最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中,电 阻 R 上产生的焦耳热 Q 为多少? 解析:导体棒以初速度υ 0 做切割磁感线运动而产生感应电动势,回路中的感应电流使导体棒 受到安培力的作用?安培力做功使系统机械能减少,最终将全部机械能转化为电阻 R 上产生 的焦耳热.由平衡条件知,棒最终静止时,弹簧的弹力为零,即此时弹簧处于初始的原长状 态. (1)初始时刻棒中感应电动势E=BLv0 ① 棒中感应电流 I=

E R

② 作用于棒上的安培力 F=BIL ③
B 2 L 2v0 R

联立①②③,得 F ?

,安培力方向:水平向左

(2)由功和能的关系,得安培力做功 W1=EP 电阻 R 上产生的焦耳热 Q1=

1 2 mv0 2

1 2 mv0 -EP 2
1 2 mv0 2

(3)由能量转化及平衡条件等,可判断:棒最终静止于初始位置 Q=

方法总结:用能量转化观点研究电磁感应问题,常是导体(或线圈)稳定运动(匀速直 线运动或匀迹速直线运动),对应的受力特点是合外力为零或保持不变,能量转化过程通常 是机械能转化为电阻的内能和摩擦生热(在有摩擦力的条件下)。

如图所示,de 和 fg 是两根足够长且固定在竖直方向上的光滑金属导 轨,

导轨间距 离为 L、电阻忽略不计。在导轨的上端接电动势为 E、内阻 为 r 的电源。一质量为 m、电阻为 R 的导体棒以 ab 水平放置于导轨下端 e、g 处,并与导轨 始终接触良好。导体棒 与金属导轨、电源、开关构成闭合回路,整个装置所处平面与水平匀强磁场垂直,磁场的 磁感应强度为 B,方向垂直于纸面向外。已知接通开关 S 后,导体棒 ab 由静止开始向上加速 运动。求: (1)导体棒 ab 刚开始向上运动时的加速度以及导体棒 ab 所能达到的最大速度; (2)导体棒 ab 达到最大速度后电源的 输出功率; (3)分析导体棒 ab 达到最大速度后的一段时间△t 内,整个同路中能量是怎样转化的? 并证明能量守恒。

24. (20 分)解: (1) 导体棒 ab 刚开始运动时的速度为零,由欧姆定律

I?

E R?r
…………1 分

…………1 分

导 体 棒 ab 所 受 安 培 力

FA ? BIL

由牛顿第二定律 FA ? mg ? ma 导体棒 ab 开始运动时的加速度 a ?

…………1 分

ELB ?g m( R ? r )

…………1 分

设导体棒 ab 向上运动的最大速度为 vmax , 当导体棒所受重力与安培力相等时,达到最大速度,回路电流为 I '

I ' LB ? mg

…………2 分

I'?

mg BL
分 得

由 欧 姆 定 律 I'?

E ? ELv max R?r

… … … … 2

vmax ?

EBL ? mg ( R ? r ) …………2 分 B 2 L2
2

( 2 ) 4 分 ) 电 源 的 输 出 功 率 P ? EI '?I ' r … … … … 2 分 (

P?

Emg mg ? ( )2 r BL BL

…………2 分 (3) 分)电源的电能转化为导体棒的机械能和电路中产生的焦耳热之和 (6 …………1 分

mgE …………1 分 ?t BL EBL ? mg ( R ? r ) 导体棒 ab 增加的机械能 ?E机 ? mgvmax ?t ? mg ?t B 2 L2

?t 时间内:电源的内能 ?E电 ? I ' E?t ?

…………1 分 电路中产生的焦耳热 Q ? I ' ( R ? r )?t ?
2

m2 g 2 ( R ? r )?t B 2 L2

△t 时间内,导体棒 ab 增加的机械能与电路中产生的焦耳热之和为 ?E?

?E ? ? ?E机 ? Q
整理得 ?E ' ?

mgE ?t BL

…………1 分

由此得到 ?E电 ? ?E‘ ,回路另能量定恒


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