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高二理科数学数列专题训练


高二理科数学数列专题训练
1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 =

3 1 , an =2 ? ? n ? 2? , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,且有 2 an?1

Sn n ?1 =1 ? bn . 2 n
(1)证明:数列 ?

? 1 ? ? 为等差数列; ? an ? 1?

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn ?

an ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 1. bn

2.已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 2Sn ? an ? 2n2 ( n ? ?? ) .

?1? 求 an , Sn ;

? 2 ? 若 ak , a2k ?2 , a2k ?1 ( k ? ?? )是等比数列 ?bn ? 的前三项,设
?n ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn ,求 ?n .

1

3. 设数列 {an} 的各项都是正数,记 Sn 为数列 {an}的前 n 项和,且对任意 n∈N*,都有
3 3 3 3 2 . a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 an ( ? 为常数且 ? ? 0 ,n∈N*) ,问是否存在整数 ? ,使 得对任意 n∈N*,都有 bn+1>bn.

4.已知数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1,

2Sn ? n ? an?1 ?1? , n ?N * .
(1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? S1 S2

?

1 7 ? . Sn 4

5.数列{ an }的前 n 项 S n , a1 =3 且 S n = ? (1)求 an (2) bn ?

3 1 ? a n ?1 ( n ?N*) 2 2

an 1 ,数列{ bn }的前 n 项和 是 Tn ,求证 Tn < . 28 ?2an ? 1??2an?1 ? 1?

2

6.对于任意的 n ? N ? ,数列 {an } 满足 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对于 n ? 2 ( n ? N ? )有

a1 ? 1 a2 ? 2 ? ? 2 ? 1 22 ? 1

?

an ? n ? n ?1. 2n ? 1

1 1 ? ? a2 a3

?

1 1 1 ? ? n?1 . an?1 2 2

7.已知各项均为正数的等比数列{an},其公比 q>1,且满足 a2a4=64,a3+2 是 a2,a4 的等差 中项. (1)求 a3 ; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 An ? an?1 ? 2 , Bn ? log2 2 an?1 ,试比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论.

8.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? nan ? 3n(n ? 1) ( n ? N ) ,且 a2 ? 11.
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)设数列 {bn } 满足 bn ?

n ,求证: b1 ? b2 ? Sn

? bn ?

2 3n ? 2 . 3

3

9.数列{ an }满足 a1 ?

1 1 。 , an?1 ? 2 2 ? an

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,证明 S n ? n ? ln(

n?2 ) 2

10.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,a 2 ?

?n ? 1?an 1 ?n ? 2,3,4,?? .S n 为数列 ?bn ? , 且 a n ?1 ? 4 n ? an

的前 n 项和,且 4S n ? bn bn?1, b1 ? 2 ?n ? 1,2,3,?? . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式;
1 2 ? 3an 3

(2)设 cn

? bn ? 2

,求数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Pn ;

(3)证明对一切 n ? N ,有

?

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

4

高二理科数学数列专题训练答案
1.(1)证明:

an =

2an?1 ? 1 ? n ? 2? an?1

? an ? 1 ?

2an?1 ? 1 a ?1 ? 1 ? n?1 an?1 an?1

……1 分

?

? a ?1? ? 1 ? 1 ? 1 n ? 2 a 1 ? n?1 ? n?1 ? ? an ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1
1 1 ? ? 1? n ? 2 ? an ? 1 an?1 ? 1
……3 分

即: ?

∴数列 ?

? 1 ? 1 ? 2 为首项,1 为公差的等差数列. ? 是以 a ? 1 a ? 1 1 ? n ?
? ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 4 ? bn ? ? ? 2 ? bn?1 ? n n ?1 ? ? ?

……4 分

(2)解:当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2 ?

……5 分

bn ?

b b 2n ? 2 2n ? 4 2 2n bn ? bn ?1 ? n ? bn ?1 , 即: n ? ? n ? 2? ……6 分 n n ?1 n n ?1 bn?1 n ? 1
……8 分

?

b b b2 b3 b4 2? 2 2?3 2? 4 2? n ? ? ? ... ? n ? ? ? ? ... ? ? n ? n ? 2n?1 b1 b2 b3 bn?1 1 2 3 n ?1 b1
∴ bn ? n ? 2n ……9 分

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 2 (3)由(1)知:

1 1 n +2 ? 2 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? n ?1 n ?1 an ? 1

……10 分

? cn ?

an n?2 1 1 ? ? ? n n ?1 bn n ? n ? 1? ? 2 n ? 2 ? n ? 1? 2n

……12 分

n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?Tn ? ? ci ? ?1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? 1 ? ?1 ? 1? ? 1 2 ? n ? 1 n n ? n?2 ? n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3? 2 ? i ?1 ? ?

...14 分

2.解: (1)

2 S n ? an ? 2n 2 (n ? N * ) .

? 2 S1 ? a1 ? 2 ,又 S1 ? a1 ,故 a1 ? 2 ;
又 2 S 2 ? a2 ? 8 ,故 4 ? 2a2 ? a2 ? 8 ,得 a2 ? 4 ; 等差数列 { an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 ..……………………..3分 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,
5

Sn ?

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n 2 ? n ..…………………………..5分 2 2

2 (2)由已知有 a2 k ? 2 ? ak ? a2 k ?1 ,

故 4(2k ? 2) ? 2k ? 2(2k ? 1) ,即 2k 2 ? 9k ? 4 ? 0 .
2

解得 k ? 4 ,或 k ?

1 ,又 k ? N * ,故 k ? 4 ..……………………….…..7分 2

? 等比数列 {bn } 的公比为 q ?
所以 bn ? b1q n ?1 ? 8 ? (

b2 a6 2 ? 6 3 ? ? ? ,首项为 b1 ? a4 ? 8 . b1 a4 2 ? 4 2

3 n ?1 ) ..…………………………………….………..9分 2 3 32 3 所以 an bn ? 2n ? 8( ) n ?1 ? n ? ( ) n ..……………………..…………..10分 2 3 2 32 3 3 3 3 ?Tn ? [1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? n ? ( ) n ] . 3 2 2 2 2 3 32 3 3 3 3 Tn ? [1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ( n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ] . 2 3 2 2 2 2 3 32 3 3 3 3 ?Tn ? Tn ? [ ? ( ) 2 ? ? ( ) n ] ? 16n ? ( ) n .……...……..12分 2 3 2 2 2 2 3 3 [1 ? ( ) n ] 1 32 2 2 ? 16n ? ( 3 ) n ? ?32[1 ? ( 3 ) n ] ? 16n ? ( 3 ) n ?? Tn ? ? 3 2 3 2 2 2 1? 2 3 ? ?32 ? (16n ? 32) ? ( ) n . 2 3 ?Tn ? 64 ? 32(n ? 2) ? ( ) n ..………………………………………….……..14 分 2
3.解: (I)在已知式中,当 n=1 时, a1 ? a1
3 2

∵a1>0

∴a1=1………………………………………………………………1 分 ①

3 3 3 3 2 当 n≥2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? S n?1



①-②得, an ? Sn ? Sn?1 ? ? Sn ? Sn?1 ?? Sn ? Sn?1 ?
3 2 2
2 ∵an>0 ∴ an = Sn ? Sn?1 =2Sn-an

∵a1=1 适合上式…………………………3 分.
2 当 n≥2 时, a n ?1 =2Sn-1-an-1 ④ 2 2 ③-④得 an - an ?1 =2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+ an-1= an+ an-1

6

∵an+an-1>0 ∴an-an-1=1 ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an=n………………6 分 (Ⅱ)∵ an ? n ?bn ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2an ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n

? bn?1 ? bn ? [3n?1 ? (?1) n ? ? 2 n?1 ] ? [3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ] ? 2 ? 3n ? 3? (?1) n?1 ? 2 n ? 0
3 ? ? ? ( ) n ?1 ⑤………………………………………………………….8 分 2 3 2k ?2 当 n=2k-1,k=1,2,3,……时,⑤式即为 ? ? ( ) ⑥ 2
∴ (?1)
n ?1

依题意,⑥式对 k=1,2,3……都成立,∴λ<1………………………………10 分
2 k ?1 当 n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为 ? ? ?( )

3 2



依题意,⑦式对 k=1,2,3,……都成立, ∴? ? ? ∴?

3 ……………………………………………………………………12 分 2

3 ? ? ? 1, 又? ? 0 2

∴存在整数 λ=-1,使得对任意 n∈N,都有 bn+1>bn………………………14 分 4. 解:(1)

a1 ? 1,2Sn ? n ? an?1 ?1?

?2a1 ? a2 ?1 ,解得 a2 ? 3 ,同理可得 a3 ? 5 ………………………………2 分
(2) (法一:第一数学归纳法) 由(1)猜想 an ? 2n ?1? n ? N *? …………………………………………3 分 证明:当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,命题成立.……………………………………4 分 假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 ak ? 2k ? 1 .……………………5 分 因为

2Sk ? k ? ak ?1 ?1? ……①

又 2Sk ?1 ? ? k ?1?? ak ?1? ……② ① ? ②得 2ak ? kak ?1 ? ? k ?1? ak ?1 ,即 kak ?1 ? ? k ? 1? ak ? 1 ………………6 分 所以 ak ?1 ?

? k ? 1?? 2k ? 1? ? 1 ? 2k 2 ? k ? 2k ? 1 ……………………………………7 分
k k

所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 综上所述,当 n ? N * 时, an ? 2n ? 1.………………………………………………8 分 (法二:第二数学归纳法)
7

由(1)猜想 an ? 2n ?1? n ? N *? …………………………………………3 分 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,命题成立.……………………………………4 分 假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 ak ? 2k ? 1 .………………………………5 分 则 Sk ?

k ?1 ? 2k ? 1? ? k 2 ………………………………………………………………6 分 2

2Sk 2k 2 ?1 ? ? 1 ? 2k ? 1 ………………………………7 分 由 2Sk ? k ? ak ?1 ?1? 得 ak ?1 ? k k
所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 综上所述,当 n ? N * 时, an ? 2n ? 1.……………………………………………………8 分 (法三:递推法)

2Sn ? n ? an?1 ?1? …………………………①

? 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? n ?1?? an ?1? …………………………②
① ? ②得 2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ?1 ,即 nan?1 ? ? n ? 1? an ? 1…………③ ……4 分

?? n ?1? an?2 ? ? n ? 2? an?1 ?1 ………………………………………………④
④ ? ③得 ? n ?1? an?2 ? nan?1 ? ? n ? 2? an?1 ? ? n ? 1? an 化简得 ? n ?1?? an?2 ? an ? ? 2 ? n ?1? an?1 故有 an?2 ? an ? 2an?1 ? n ? 2? …………………………………………………………6 分 由(1)知 a1 ? a3 ? 2a2 ………………………………………………………………7 分 故数列 ?an ? 构成以 1 为首项, 2 为公差的等差数列.

? an ? 2n ? 1…………………………………………………………………………8 分
(法四:构造新数列)

2Sn ? n ? an?1 ?1? …………………………①
? 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? n ?1?? an ?1? …………………………②
① ? ②得 2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ?1 ,即 nan?1 ? ? n ? 1? an ? 1…………③ 两边同时除以 n ? n ? 1? 得 ……4 分

an?1 a 1 ? n? ? n ? 1? n n ? n ? 1?
8



an?1 a 1 a a 1 1 1 ? n? ? ? n ? ? n ? 2 ? ………………5 分 ,化简得 n ?1 ? ? n ? 1? n n n ? 1 ? n ? 1? n ? 1 n n
a1 a 1 a a 1 ? 1 ? 2 , 2 ? ? 2 ,? 1 ? 1 ? 2 ? ………………6 分 1 2 2 1 2 2

又由(1)可知

故数列 ? 所以

? an 1 ? ? ? 为等于 2 的常数数列…………………………………………7 分 ? n n?

an 1 ? ? 2 ,化得 an ? 2n ? 1 n n

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1…………………………………………8 分 (3)证明:由(2)知, an ? 2n ? 1,? Sn ?

n ? ?1 ? 2n ? 1? ? n2 , n ? N * ………………9 分 2

①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. ……………………10 分 S1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. ……………………11 分 S1 S2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? ? 1 1 1 ? ? ? Sn 12 22 ?

1 1 ? ………………12 分 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? S1 S2

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? S1 S2

?

1 7 ? . …………………………14 分 Sn 4

9

5.解(1)当 n≥2, S n ?1 = ? ∴ an = S n - S n ?1 = ?

3 1 ? an 2 2

………1?

3 1 3 1 ? a n ?1 -( ? ? a n ) 2 2 2 2
(n≥2) ………4?

a n?1 ? 3 an
令 n=1

S1 ? ?

3 1 ? a2 2 2

a2 ? 9
………5?



a2 9 ? ?3 a1 3

∴{ an }是前项 a1 ? 3 公比 q=3 的等比数列 ∴ an ? 3 ? 3n?1 ? 3n (2)由(1) bn ?

………6? ………7?

? 2 ? 3 ? 1? ? 2 ? 3
n

3n

n ?1

? 1?

………8?

=

1? 1 1 ? ? ? ? ? n n ?1 4 ? 2 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? 1?

………11?

1? 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? ? ? ? ??? ? ? …12? ? 2 2 3 n n ?1 4 ? 2 ? 3 ?1 2 ? 3 ?1 2 ? 3 ?1 2 ? 3 ?1 2 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? 1?
=

1?1 1 ? ? ? ? ? 4 ? 7 2 ? 3n?1 ?
1 1 1 ? = 4 7 28

……13?

<

……14?

6.解: (1)由

a ?n a1 ? 1 a2 ? 2 ? 2 ? ? nn ? n ? 1 ---------------------------------------① 2 ?1 2 ?1 2 ?1 得当 n ? 2 时有 a ? n+1 a1 ? 1 a2 ? 2 ? 2 ? ? n -1 ? n ,----------------------------------------② 2 ?1 2 ?1 2n -1 ? 1 a ?n ?1( n ? 2 ) ①-②得 n 2n ? 1
∴ an ? 2n ? n ? 1( n ? 2 ) 又

a1 ? 1 ? 2 ? a1 ? 7 , 2 ?1

∴ an ? ?

?7, (n ? 1)
n ?2 ? n ? 1.(n ? 2)

(2)由(1)知当 n ? 2 时, an ? 2n ? n ? 1,
10



1 1 1 ? n ? n , an 2 ? n ? 1 2 1 1 1 ? ? 2? 3? an?1 2 2

1 1 ∴ ? ? a2 a3

1 1 (1 ? n ) 2 1 2 ?1? 1 . ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 1? 2
……………………2

2 7. 解: ( 1 ) ? a2 a4 ? 64,? a3 ? 64, a3 ? ?8.又? an ? 0,? a3 ? 8,

分 (2)? a3 ? 2是a2 , a4 的等差中项, ∴ 2(a3 ? 2) ? a 2 ? a 4 , 即20 ? 解得 q=2 或 q ?

8 ? 8q, q

……………………………………………3 分

1 (舍去) , 2

∴ 数列 {an }的通项公式为 an ? a3 q n?3 ? 8 ? 2 n?3 ? 2 n. ……………………………5 分 (3)由(2)得 An ? 2 n?1 ? 2,
2 n?1 Bn ? l o g ? (n ? 1)2 , ………………………6 分 22

当 n=1 时,A1=2,B1=(1+1)2=4,A1<B1; 当 n=2 时,A2=6,B2=(2+1)2=9,A2<B2; 当 n=3 时,A3=14,B3=(3+1)2=16,A3<B3; 当 n=4 时,A4=30,B4=(4+1)2=25,A4>B4; 当 n=5 时,A5=62,B5=(5+1)2=36,A5>B5; 由上可猜想,当 1≤n≤3 时,An<Bn;当 n≥4 时,An>Bn. ………………………9 分 下面用数学归纳法给出证明: ①当 n=4 时,已验证不等式成立. ②假设 n=k(k≥4)时,Ak>Bk.成立,即 2 k ?1 ? 2 ? (k ? 1) 2 ,

当n ? k ? 1时, Ak ?1 ? 2 k ? 2 ? 2 ? 2 ? (2 k ?1 ? 2) ? 2 ? 2 ? (k ? 1) 2 ? 2 ? 2k 2 ? 4k ? 4 ? k 2 ? 4k ? 4 ? [(k ? 1) ? 1]2 ? Bk ?1
即当 n=k+1 时不等式也成立, 由①②知,当 n ≥ 4(n ? N * )时, An ? Bn . ………13 分 综上,当 1≤n≤3 时,An<Bn;当 n ≥ 4时, An ? Bn . ………………………………14 分 8.解: (1)由 S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3? 2(2 ? 1) 和 a2 ? 11可得 a1 ? 5 ---------2 分 (2)解法 1:当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn?1
11

得 an ? nan ? 3n(n ?1) ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) ,--------------------4 分

? (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) ? an ? an?1 ? 6(n ? 2, n ? N ? ) ---------------6 分
∴数列 {an } 是首项 a1 ? 5 ,公差为 6 的等差数列, ∴ an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 1 -------------------------------------------------7 分 ∴ Sn ?

n(a1 ? an ) ? 3n 2 ? 2n -----------------------------------------------8 分 2

(3)证明:

bn ?

n 1 2 2 --------------10 分 ? ? ? Sn 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 1 ? 3n ? 2

( 2 3n ? 2 ? 3n ? 1 ) 2 ? = ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) ---------------11 分 ( 3n ? 2+ 3n ? 1)( 3n ? 2 ? 3n ? 1 ) 3
∴ b1 ? b2 ?

2 ? bn ? [( 5 ? 2) ? ( 8 ? 5) ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1)] ------13 分 3 2 2 ? ( 3n ? 2 ? 2) ? 3n ? 2 命题得证.-----------------------------14 分 3 3
a ?1 1 ?1? n , 2 ? an 2 ? an
………… 2 分 ………… 3 分

9.解: (1) an?1 ? 1 ? 所以

2 ? an 1 1 . ? ? ?1 ? an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

………… 4 分

所以

n 1 ? ?n ? 1, 所以 a n ? . n ?1 an ? 1

………… 6 分

(可用观察归纳法求,参照法一给分) (2) 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) , 则 F ?( x) ? ………… 7 分 . ………… 8 分 ………… 9 分 ………… 10 分 ………… 11 分

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

函数 F ( x ) 为 (0, ??) 上的减函数, 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x( x ? 0) , 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

12

所以

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

………… 12 分

所以 Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ?

? [1? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)] … 13 分
……… 14 分



S n ? n ? ln(

n?2 ) 2 .

(可用数学归纳法证明,参照法一给分) 10.解: (1)由已知 b1 ? 2,4S n ?b n bn?1 得 b2 ? 4 , 4S n?1 ? bn?1bn ?n ? 2? ,

4bn ? bn ?bn?1 ? bn?1 ? ,
由题意 bn ? 0 ,即 bn?1 ? bn?1 ? 4(n ? 2) , 当 n 为奇数时, bn ? 2n ;当 n 为偶数时, bn ? 2n . 所以 数列 {bn }的通项公式为 bn ? 2n(n ? N * ) . (2)解法一:由已知,对 n ? 2 有 …………4 分

n ? an 1 n 1 , ? ? ? an?1 ?n ? 1?an ?n ? 1?an n ? 1

两边同除以 n , 得
n ?1

1 1 1 1 1 1? ? 1 , 即 ? ? ? ? ?? ? ?, nan?1 ?n ? 1?an n?n ? 1? nan?1 ?n ? 1?an ? n ?1 n ?

于是,

? ? ka
k ?2

? 1 ?
k ?1

?

n ?1 1? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? = ? ? ? k ? 1 ? k ? = ? ?1 ? n ? 1 ? , ?k ? 1?ak ? k ?2 ? ? ? ?



1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? 3n ? 2 ? 所以 , ? ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? ,n ? 2 , ?= ?n ? 1?an a2 ? n ? 1 ? ?n ? 1?an a2 ? n ? 1 ? n ? 1
1 1 ? , n ? 2 ,又 n ? 1 时也成立,故 a n ? ,n? N . 3n ? 2 3n ? 2
………8 分

an ?

所以 cn ? 2n ? 2 n , Pn ? 4 ? (n ? 1)2 n?2 解法二:也可以归纳、猜想得出 a n ?
2 (3)当 k ? 2 ,有 ak ?

1 ,然后用数学归纳法证明. 3n ? 2

?3k ? 2?

1

2

?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?, ?3k ? 4??3k ? 1? 3 ? 3k ? 4 3k ? 1 ?

所以 n ? 2 时,有
n 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 2 2 a ? 1 ? ak ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? k 3 ?? 2 5 ? ? 5 8 ? ? 3n ? 4 3n ? 1 ?? k ?1 k ?2 n

13

=1 ?

1 7 1?1 1 ? ? ? ? ? 1? ? . 6 6 3 ? 2 3n ? 1 ?
n 7 7 ? 2 . 故对一切 n ? N ,有 ? a k ? . 6 6 k ?1

2 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

………14 分

14


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