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江苏省如皋中学高二文科数学期末模拟试卷


2012-2013 学年度高二文科数学期末复习模拟试卷
一.填空题:

10.若函数 f ( x) ? 3x ? 2xf ?(0) ? f ?(1) ,则 f ?(1) ?



x2 y2 ? ? 1 的焦距为___________. 1.椭圆 25 16

11.下列有关命题的说法正确的是
2

.

3 2.已知经过双曲线的实轴长为 8 ,离心率为 ,则双曲线的标准方程为 2
2

2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

.

B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C :
2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ?

x ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条渐近线与直线 l : a2



12.已知函数 f ( x) ? x3 ? (a ?1) x 2 ? 3x ? b 的图像与 x 轴有三个不同交点,且交点的横坐标 分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率,则实数 a 的取值范围是 .

4.函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 (1, 2) 处的切线方程为

. 13.设 a>0,b>0 ,称

2ab 为 a, b 的调和平均数.如图,C 为线殴 a?b

2 5.存在实数 x ,使得 x ? 4bx ? 3b<0 成立,则 b 的取值范围是

.

AB 上的点, AC=a, 且 CB=b, 为 AB 中点, AB 为直径作半圆. O 以 过 点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a, b 的算术平均数,线 段 的长度是 a, b 的几何平均数 ,线段 调和平均数. 的长度是 a, b 的

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到右焦点 F1 的距离为 11, N 为 MF1 的中点, O 为坐标 25 24 原点,则 ON ? .
6.已知双曲线

7.若双曲线 的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长,则该双曲线 a 2 b2
.

14.设函数 f ( x) ? x3 ? 2ex2 ? mx ? ln x ,记 g ( x) ?

f ( x) ,若函数 g ( x ) 至少存在一个零点,则实数 x

m 的取值范围是
8.若函数 f ( x) ? ( x ? 2)(x 2 ? c) 在 x ? 2 处有极值,则函数 f (x ) 的图象在 x ? 1 处的切线的 斜率为 . 二解答题: 9.把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形



15.已知命题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ?? ?,0?上有意义, 命题 q : 函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域为 R .如果 p ? q 为假, p ? q 为真,则求 a 的取值范围.
2

(如图所示).则第 n 个三角形数是

.
1

16. 如图, 四边形 ABCD 是矩形, 平面 ABCD ? 平面 BCE, ? EC. BE (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF 的值。 BE

19.已知椭圆 C 的一个焦点 F(0,-1) 对应的准线方程为 y= ?2 , , 且一个顶点的坐标为 (0, 2) . 1 (1)求椭圆方程; (2)直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆 C 交于 A, B 两点,以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB ( O 为 坐标原点) .当实数 k 变化时,求点 P 的轨迹方程.

17.两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造 垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为 城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和 城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的 平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系 数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若 存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。 20.已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (Ⅱ)若函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)若存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

18.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x . 2 (1)求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值、最小值;

(2)求证:在区间 (1, ?? ) 上函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) ?

2 3 x 图象的下方. 3

2

答 案 : 1. 6

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 20 16 20 7. 8. ?? ?,0? ? ? 3 ,?? ? 6. 21 2 ? ? 2 ?4 ?
2.

3. 2 -5

4. 9.

4x ? y ? 2 ? 0

5.

11.

D

12.

?? 3,?2?

13.

CD, DE

1 15. p : a ? 1 , q : a ? 2
BC 2 ? 400 ? x 2 , y ?

1 ? a ? 或a ? 1 2

n?n ? 1? 2 1? ? 14. ? ? ?, e 2 ? ? e? ? 1 16.(2) 2

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, ????????????14 分 所以弧 上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂
1 ,··························· 分 ····························1 x

10. ln 3

对城 A 和城 B 的总影响度最小???????????????????????15 分 18.解: (1) f ?( x) ? x ?

17.解: (1)如图,由题意知 AC⊥BC,

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

f ?( x ) 在区间 [1, e] 上满足 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上单调递增,

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9????3 分 所以 y 表示成 x 的函数为

·······3 分 ······
1 1 所以 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值为 f (e) ? e2 ? ln e ? e2 ? 1 ,······ 分 ·······4 2 2
1 1 最小值为 f (1) ? ? 12 ? ln1 ? ;········5 分 ········ 2 2

y?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2 ????????6 分
(2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
2 2

4 9 (2)解法一: y ? 2 ? , x 400 ? x 2

1 2 2 ·················6 x ? ln x ? x3 ,················ 分 2 3

y' ? ?

8 9 ? (?2 x) 18 x ? 8(400 ? x ) ,????????????????10 分 ? ? 3 x (400 ? x2 )2 x3 (400 ? x 2 )2
4
2

所以 F ?( x) ? x ?

1 2 x3 ? x2 ? 1 ( x ?1)(2 x2 ? x ?1) ,·······10 分 ······· ? 2x 2 ? ? ?? x x x

在区间 (1, ?? ) 上 F ?( x) ? 0 , 所以在区间 (1, ?? ) 上函数 F ( x) 为单调减函数,·············12 分 ·············
1 2 1 则 F ( x) ? F (1) ? ?12 ? ln1 ? ?13 ? ? ? 0 ,··············14 分 ·············· 2 3 6

4 2 2 令 y ' ? 0 得 18x ? 8(400 ? x ) ,所以 x ? 160 ,即 x ? 4 10 ,

当 0 ? x ? 4 10 时, 18x ? 8(400 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函数为单调减函数,当 4 6 ? x ? 20
4 2 2

时, 18x ? 8(400 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.
4 2 2

即 f ( x) ? g ( x) 在区间 (1, ??) 上恒成立,················ ·················15 分 所以,在区间 (1, ?? ) 上函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x ) 图象的下方.·····16 分 ····· 19.解: (1)由题意可知,焦点到对应准线的距离为 1,焦点到另一侧长轴顶点的距离为 2 ? 1 , ················2 分 ···············
? a2 ? ? c ? 1, 所以, ? c ? a ? c ? 1 ? 2, ?

4 9 (0 ? x ? 20) 所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 2 ? x 400 ? x 2
有最小值. ??????????????14 分 解法二: 设 m ? x , n ? 400 ? x ,
2 2

4 9 则 m ? n ? 400 , y ? ? ,??????????????????10 分 m n 4 9 4 9m ? n 1 n 4 m 9 1 1 ? ? ( ?) ? [1 3 ?( ? ) ]? ( 1 3 1 2?) 且 仅 当 ? 所以 y? 当 m n m n400 400 m n 400 16

解得, a ? 2, c ? 1 ,························ 分 ·························4
3

所以,椭圆的中心在原点, b ? 1,···················5 分 ··················· 椭圆的标准方程为

由(Ⅱ )知, f ( x ) 在 [ ?1, 0] 上递减,在 [0,1] 上递增, 所以当 x ? [?1,1] 时, ( f ( x))min ? f (0) ? 1,( f ( x))max ? max ? f (?1), f (1)? ,

y2 ·····················6 ? x2 ? 1 ;···················· 分 2

注:如采取验证的方法求解给全分,如未验证,给 2 分. (2)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,设 P 点的坐标分别为 ( x0 , y0 ) 将直线方程代入椭圆方程可得, (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 1 ? 0 ,
2k 1 ,················8 分 ················ , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2 ??? ??? ??? ? ? ? 因为四边形 OAPB 为平行四边形,所以 OP ? OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,·· 分 ···9

所以, x1 ? x2 ? ?

2

2k ? ? x0 ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 2 , ? 即? ······12 分 ····· ? y ? y ? y ? kx ? 1 ? kx ? 1 ? k ( x ? x ) ? 2 ? kx ? 2 ? 4 , 1 2 1 2 1 2 0 ? 0 k2 ? 2 ? x y ?2 k 所以 0 ? ? ,且 k ? 0 , y0 2 x0

1 ? 2 ln a , a 1 1 2 1 2 记 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) ? 0(当 t ? 1时取等号) , t t t t 1 所以 g (t ) ? t ? ? 2ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , t 所以当 t ? 1时, g (t ) ? 0 ;当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? 0 , 也就是当 a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (1) ? f (?1) ………14 分 ① a ? 1 时,由 f (1) ? f (0) ? e ? 1 ? a ? ln a ? e ? 1 ? a ? e , 当 1 1 ② 0 ? a ? 1 时,由 f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ? ? ln a ? e ? 1 ? 0 ? a ? , 当 a e
而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ) ? ( ? 1 ? ln a) ? a ? 综上知,所求 a 的取值范围为 a ? ? 0, ? ? ? e, ?? ? …………………16 分。 e

1 a

? ?

1? ?

整理得, 2 x02 ? y02 ? 2 y0 ? 0 ,其中 y0 ? 0 , 即点 P 的轨迹方程为
x2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ( y ? 0) .············· ··············16 分 1 2

20. f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a ???????????3 分
x 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a ? 1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,

故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 …………………………………5 分 (Ⅱ )当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?( x ) 在 R 上单调递增, 故 f ?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 ………………………………………………7 分 所以 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表所示: x

(??, 0)

0

(0, ??)

f ?( x ) - + 0 f ( x) 递减 极小值 递增 又函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 而 t ? 1 ? t ? 1 ,所以 t ?1 ? ( f ( x))min ? f (0) ? 1 ,解得 t ? 2 ………11 分
(Ⅲ )因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 , 所以当 x ? [?1,1] 时, | ( f ( x))max ? ( f ( x))min |? ( f ( x))max ? ( f ( x))min ? e ?1 12 分
4



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