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重庆南开中学高2014级高三11月月考数学试题(理科)


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重庆南开中学高 2014 级高三 11 月月考 数 学 试 题(理科)
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 复数 z ? A. 1
2

3?i ( i 为虚数

单位)的虚部为( 1? i
B. 2

) C. i ) D.既不充分也不必要条件 D. 2i

2. 已知 P : x ? 1, Q : x ? x ? 6 ? 0, 则 P 是 Q 的( A.充分不必要条件 3. 若 B.必要不充分条件 ) C. ?

C.充要条件

sin a ? cos a 1 ? ,则 tan 2a ? ( sin a ? cos a 2 3 3 A. ? B. 4 4

4 3

D.

4 3


4. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, Sn ? 20, 则 S6 ? ( A. 16 B. 24

5. 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在 [ A. y ? 3sin(2 x ?

? 2?
6 , 3

C. 36

D. 42 )

] 的图象如图所示,则函数的解析式是(
B. y ? 3sin(2 x ?

5? ) 6

?
6

)

C. y ? 3sin(2 x ?
x

5? ) 12

D. y ? 3sin(2 x ?

2? ) 3
) D. 10

6. 函数 y ? 3 ? 4 ? 3 在 x ?[0,1] 上的最大值与最小值之和为( A.

?x

25 3

B.

28 3

C.9

7. 已 知 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 规 定 两 个 向 量 的 新 运 算 “ ? ” : a ?b ? a ?b

s i n ? 。若向量

m ? 2, n ? 2, m ? n ? 2, 则 m ? n ? (
A. 1 B. 2
*

) D. 2 2

C. 2

8. 已知 an ? log n?1 (n ? 2)(n ? N ) ,我们把使得乘积 a1 ? a2 ? a3 (1,2013)内的所有成功数的和为( )
1

an 为整数的 n 叫做“成功数” ,则在区间

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A. 1024

B. 2003

C. 2026

D. 2048

9. 定义在 R 上的函数 g ( x) 和 f ( x) 满足:函数 g ( x) 的图象关于点 (1,0) 对称且周期为 2,函数 h( x) 的图 象关于直线 x ? 2 对称,则函数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) 一定满足( A. f ( x) 为奇函数 C. f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称 B. f ( x) 为偶函数 D. f ( x) 的图象关于点 (2,0) 对称 )

10. 已知数列 {an } 满足: 2a2k ?1 ? a2k ? 3a2k ?1 ? 0,3a2k ? 2a2k ?1 ? a2k ?2 ? 0, k ? N * 且 a1 ? 2, a2 ? 5, 则下列 结论中正确的个数为( )

① a3 ? ?3, a5 ? 5 ,②对任意 n ? N * , an?3 ? an ;③ {a2 n ?1 ? a2 n ?1} 为等比数列;④ a2013 ? 21006 ? 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11. ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ?

5 b, A ? 2 B, 则 cos B ? ________. 2

12. 曲线 y ? ln( x ? 1) 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离是_________. 13. 已知 ?ABC 中, A ? 最小值为________. 考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14. 如图,

?
3

, AC ? 1, AB ? 2, P 是 ?BAC 内角平分线所在直线上一动点,则 PC ? PB 的

O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P , M 为DC 延长线上一

点, MN 为

O 的切线, N 为切点,若 AP=6,PD=4,MC =6, 则

MN = _________.
15. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系.过点 M (2,

?
2

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程式________________.

16. 关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? m |? 3 解集为空集,则实数 m 的取值范围是________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (13 分)已知向量 a ? (?2, 4), b ? (3,6), c ? (4, x), 且 c ? (2a ? b) . (1)求 c ;

2

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(2)若 c ? ? a ? ? b ,求实数 ? , ? 的值.

18. (13 分)设函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ? a ? 1(a ? R) .
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2)当 x ? [0,

?
3

] 时, f ( x) 的最大值为 3 ,求 a 的值.

19. (13 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? n(n ? N * ) . (1)求 {an },{bn} 的通项公式; (2)求数列 {

an } 的前 n 项和. bn ? 1

20. (12 分)一缉私艇在 A 地发现在北偏东 45 方向,距离 12 海里的海面上 C 处,有一走私船正以 10 海里 /小时的速度沿东偏南 15 方向逃窜, 缉私艇的速度为 14 海里/小时, 若要在最短的时间内追上该走私船, 缉私艇应沿北偏东 45 ? a 的方向追击.求追击所需的时间和 sin a 的值.

3

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21. (12 分)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其中一条准线的方程为 x ? 4 . 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; ( 2 )设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P, Q ,点 A 为椭圆的左顶点,且

AP ? AQ ? 12 3 ,求直线 l 的方程.

22. (12 分)已知函数 f ( x) ?

a 2 x ?1 x ? x ? 1( x ? 0) . 2 e

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 最小值;
2 x0 ax0 e (2)若 a ? (0,1), 证明:存在 x0 ? 0, 使得 e ? x0 ? 1 ? 成立; 2 x0

(3)已知 0 ? a1 ? a1 ? 1, 当 a ? a1 时,关于 x 的方程 f ( x) ? 0 的两根中较大者记为 t1 ,当 a ? a2 时,关于

x 的方程 f ( x) ? 0 的两根中较大者记为 t2 .求证: t1 ? t2 .

4


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