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竞赛电磁学


?

电流元引起的磁场的毕萨拉定律
F ?k I 1 ?l ? I 2 ?l r
2

?0 ? 4? ? 10 N/A

?0 k? 4?
?7

2

B?k

I ?l sin ? r
2
示例


关于磁感应强度的计算
1、叠加法:毕奥――沙伐尔定律

?有限长直电流
p

B?

?0 I (sin ? 2 ? sin ?1 ) 4?a

? ?0 ? ? 0 Idl ? r dB ? 4? r2

注意?1,?2顺序的确定方法,正负的确定。
?1

?2
o

无限长直电流, 半无限长直电流

B?

?0 I 2?a

B?

1 ?0 I ? 2 2?a

?在圆电流轴线上
? Idl

B ? ? dB11 ?
? dB

?0

R2I

2 ( R 2 ? X 2 ) 32

dB?

R o I X
dB//

?0 I ? 圆电流中心 B = ? 2R ?1 1 ?0 I ? 圆电流中心B= n 2R 2 ?n

☆长直电流与圆电流的组合――例求下各图中0点的B
I
o ·
R
B?

R O I

I o R

?0 I
4R

?

?0 I 4?R

B?

?0 I
4R

?

?0 I 2?R

B?

3? 0 I ? 0 I ? 8R 4?R

l1
o R I I o

I

B1 ?

? 0 I 1l1 4?R 2

⊥纸面向外 ⊥纸面向里

I2
R

l2
I

I1

B2 ?

? 0 I 2l2 4?R 2

2? I B? ? 0 2R ?R

?0 I

?

I 1 R2 l 2 ? ? I 2 R1 l1

? I1l1 ? I 2 l 2 ? B ? B1 ? B2 ? 0
3

③ 旋转的带电圆盘的圆心处,轴线上的B:

设圆盘的电荷面密度为?,半径为r宽 度为dr的圆环,旋转时的等效电流为 dq ? i? ? ?? 2?rdr ? ?? ? ?? 2?rdr ? ? ?? rdr dt 2? (i)设圆盘中心处的为B1
?dB1 ?

? 0i
2r

?

?0
2r

? ?? rdr ?

?0??
2

dr

? B1 ? ?

R

?0??
2

0

dr ?

?0
2

?? R

(ii)圆盘轴线上处的B2
? dB2 ?

?0

2 r ?x
2

?

r 2i
2

?

3

?
2

? 0??
2

?r

r 3 dr
2

?x

2

?

3

2

?

B??

R

? 0??
2

0

?r

r 3 dr
2

?x

2

?

3

?
2

? 0?? ? R 2 ? 2 x 3
2

? ? ? 2x ? ? ? 2 2 R ? x ? ?

4

?磁场对运动电荷及电流的力
比较 v0方向与场 的方向平行 v0方向与场 的方向垂直 匀强电场中 匀变速直线运动 qE a? m
匀变速曲线运动(类平抛) (轨迹为半支抛物线)

匀强磁场中 速度为vo的匀速直线运动

a?0
a?

qE a? m
匀变速曲线运动(类斜抛)

匀速圆周运动 (轨道圆平面与磁场垂直) mv qv0 B 2? m
m ;R ?
0

qB

;T ?

qB

匀速圆运动与匀速直线运动合成

v0方向与场 方向成θ角 q,m

qE a? m

(轨迹为等距螺旋线)
a? qv0 B sin ? mv0 sin ? ;R ? ; m qB 2? m v0 cos ? qB

v0 θ

E

h?

v0 q,m θ

B 示例

?? ?

?
2n

?i ?

?
2

?i

?
2n
??

由毕萨拉定律,距无限长直线电流a处磁感应强度 ? i a I ?l ? sin ? i I Bi ? k ri2 ?? ? Ia ? ? ? sin ? i ? ? ? ?? ?? ? ? 其中 ?l ? a tan i ? ? ? tan i ? 1 n ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 kI ? k lim ? ?? cos ? i ?? ? 2 B? sin ?? n ?? a ? a 2 i ?1 ? a n ? n?1 cos ? ? ? cos??ii ? ? ? cos i ? 1 ? ? ? ??? cos ? sin ?? ?? n ?? cos 2kI ? ? ? i ?? ? 2 2 ? ? ? lim? 2 ? ? ? ?? a ? an??2i ?1 2 sin Icos ? ??icos i ?? ? ? ? ? 2 ?? k a 0 I B ? ri ?? a 2? cos a ? i ?? ?

P

取元电流 I ? ?l ?

2? a I n 2? a I n k n B ? lim ? 2 n ?? a i ?1

a
BO I

2? I ?k a ?0 I ? 2a

2? a I n k n B ? lim ? ? sin ? 2 n ?? r i ?1

r
?

?

P

?

k 2? aI a ?x
2 2

?

a a2 ? x2
3 x2 2

?

?0 IS
2? a 2 ?

?

?

两根长直导线沿半径方向引到铁环上 A、B两点,并与很远的电源相 专题21-例1 连,如图所示,求环中心的磁感应强度.

解:

解题方向: 两电流在 O点引起的磁场叠加

A

I2

AB的优弧与劣弧段电流与电 阻成反比,即
I1 L2 ? I 2 L1

O B

I1

由毕萨拉定律知,两弧上电流在O点引起的磁场磁感应 强度大小关系为: B1 I1 L1 ? B2 I 2 L2

B1 ? B2

? BO ? 0

如图所示,一恒定电流沿着一个长度为 L,半径为R的螺线管流过, 专题21-例2 在螺线管内部产生了磁感应强度大小为 B0的磁场,试求线圈末端即 图中P点的磁感应强度及以P为中心的半径为R的圆上的磁通量 .

解:

解题方向: 变端 点为无限长通电 螺线管内部!

P

B0

B ? B0 ? ?0 nI

B0 BP ? 2

B0 2 ?P ? ?? R 2

由相同导线构成的立方形框架如图所示,让电流 I从顶点A流入、B流 专题21-例3 出,求立方形框架的几何中心O处的磁感应强度.

解:

解题方向: 利用对称 性及磁场叠加!

7 I
6 I 6 I 3

8 9

I 3

6

B

5

BO ? 0

I 6 O

I 3 I 3 4

1
I 3

2
I 3 3

I

I 11 6 12 I I 6 6

10

A

一N匝密绕的螺线管长L,半径r,且L ? r.当通有 恒定电流I时,试求作用在长螺线管侧面上的压强p . 解题方向: 求出电流元所处磁场磁感 Fi 应强度,即可求安培力及其对螺线管 B其余 Bi 侧面压强

专题21-例4

解:

电流元所在处磁场设为B其它; 电流元内侧有

Bi?

B ? B其余 ? Bi

B
I

电流元外侧有

B BrN I ?0? 0 ? B其余 ? Bi B其余 ? Fi F ?i ? I ?l 2 2nL 2 2 N F N 2? r ? N I ? i 0 ? I 0 P? ? L 2 n L ? 2? r 2L

2 2

如图,在半径为R的圆周上沿诸大圆绕有细导线, 诸导线相交于同一直径AB的两端,共有六个线圈,每相邻两线圈平 面的夹角均为 30° ,导线上流过电流 I ,求在木球球心 O处磁感应强 度的大小与方向 .

解: B ? B
1

2

???

?0 I
2R
?

A O
30?

BO ? 4 Bi cos15
?0 I

B

6? 2 ? 4? ? 2R 4

B3
1 B4 2

B2

B1 O

?

6 ? 2 ?0 I ? 2 R

B5 B6
3 4 5
5

6

有一个宽为b、无限长薄铜片,通有电流I0.求铜片 中心线正上方h(b ? h )处的P点的磁感应强度 .

解:

取元线电流,对P张角为

?? ?

?

Bi?
?i h

第i对元线电流之一在P处的磁感应强度

2n

P

Bi?

?0 I i Bi? ? 2? ri
?

I0 Bi

?

?

?0 I 0 h ? ? tan ? i ?? ? ? tan ? i ? 1? ?? ? ? cos ? i ?? ?
2? b cos ? i ?? ?
n

? 0 I 0 ??

2? bh

第i对元线电流在P处的磁感应强度 Bi

?

?0 I ?0 I B ? lim ? ? ?? ? n?? 2b ?? ? 0 i ? 0 ? b

? b cos ? i ?? ?

?0 I 0 ??

? cos ? i ?? ?

一个塑料圆盘,半径为R,带电q,均匀分布在盘表 面上,圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转动,角速度为ω,试求圆盘 中心处O 的磁感应强度.

解:

电荷随盘运动,形成环形电流:

q? I? 2?

电流随盘半径分布为:

i ? ? 0 2 ?0 I i ? n B ? ? 元环电流在盘轴心处引起的磁感应强度为: i R 2ri 2i ? 盘轴心处的总磁感应强度为: n

q ? R? R ? Ii ? ? 2? ? i ? ? ? 2 ?R ? n ? n 2?

q?

?0 q? 1 ?0 q? B? lim ? ? 2? R n?? n 2? R

试应用毕奥—萨伐尔定律,求解 方程为 x ? y ? 1 ( A>B,其中A和B均为已知量) A B 的椭圆形闭合导线当导线中通以稳恒电流 I时,椭圆 导线焦点处磁感应强度B1的大小 .
2 2 2 2

y

?i
ri
O x

解:

元电流I.Δl在焦点处引起的元磁感应 强度为 ?0 I ? ?l ? sin ? i ?0 I ? ?l ri ? ?? ?0 I ? ?? Bi ? ? ? ? 2 2 4? ri 4? ri 4? ri ?l A2 ? C22 B2 ? ? ? 2 ? ? ? 2ri ?2 2C ?2cos ? i ? 2 A ? ri ? ? ri ? ? 2C 由几何关系得 ri ?? A ? C cos ? i ?? ? A ? A ? B cos?? i ? n??? n

在通电椭圆导线上取元电流I.Δl ? . 元电流I Δl对一 ?? ? n?? 个焦点的张角为 n

?

?

Bi

?0 I ? 2 2 ? ? lim A ? A ? B cos ? i ?? ? ? 则焦点处 B1 ? 2 2 n?? ? ? ? n 4? B i ?1

?

?0 AI
2B
2

长直圆柱形载流导线内磁场具有轴对称性,离轴r处的磁感应 返回 ? 强度 B ? 2 ? j ? r .现有半径为a的金属长圆柱体内挖去一半径为b的圆柱体,两圆 柱体的轴线平行,相距d,如图所示.电流 I沿轴线方向通过,且均匀分布在柱体 的截面上,试求空心部分中的磁感应强度 .
0

解:

有空洞的圆柱体电流密度为

Bb

I j? ? ? a 2 ? b2 ?
O ja

jb d

I ?0 I Ba ? ? r a 2 2 則 BA ? 2 ? ?a ? b ? 2 2 2? a ? b ?0 I Bb ? ? ? rb 2 2 ?0 I 2 ? ?a ? b ? ?

空洞处视作电流密度为j的两反 向电流叠加: 完整电流j与反向电流-j在空洞 中A处引起磁场Ba、Bb:

ra A

?0

BA

O ? rb

?

?
2

? ra ? rb ?

Ba

B A ? Ba ? Bb

2? a ? b
2

?

?

d

如图所示,经U=1000 V电压加速的电子(加速前静止)从电子 枪T射出,其初速度沿直线α方向.若要求电子能击中在φ=60°方向,与枪口相距 d = 5.0 cm 的靶 M ,试求以下两种情况下,所需的匀强磁场的磁感应强度的大 小.⑴磁场 B1垂直于直线α与靶 M所确定的平面;⑵磁场B2平行于枪口 T向靶M所 引的直线TM .

专题21-例5

解:
d

⑴r?

d

M M 6 ? 9.1 ? 10 ? 1.6 ? 10 ? 1000 ?3 B1 ? ? T ? 3.7 ? 10 T ?2 ?19 de 5.0 ? 10 ? 1.6 ? 10 2? me d ⑵ ?n α ? B e v cos60 2 60? ? 2? me v cos 60 n? 2meU d B2 ? n ? de d e M ?31

me v 1 2 其中 eU ? m v ? e 2 3 eB1
?31

2sin 60?

?

d

α

3

T

60?

φ d

α d

3 ? 2me eU

?19

B2 ?

n?

2 ? 9.1 ? 10

? 1000

5 ? 10?2

1.6 ? 10?19

T ? 6.7 ? 10-3 n T

沿xy上半平面中的各个方向射出,垂直于xy平面的匀强磁场B将这些离子聚焦在R 点,P点与R点相距为2a,离子轨道应是轴对称的.试确定磁场区的边界.讨论当a mv = 情况下可聚焦的离子发射角范围 .

m,电量均为q的离子在P点以同一速率v 专题21-例如图所示,一簇质量均为 6

解:
? ?

2 2 2 力作用下沿一段圆弧运动,而后离开 r ? x ? r cos 2 磁场区,沿直线运动至R.对不同的 2 2 2 2 2 ? mv ? 离子射出角,以适当的圆弧与之衔接, x a? x ? x y ? y ? ? 各轨道直线与圆弧对接点,即离子出、 ? qB ? 2 入磁场的点的集合为所求磁场的边 x > 0, 右边界 2 2 2 2 2 ? mv ? 界. x a? x ?x y ? y ? ?

mv 轨道设计:离子在进入磁场前离子做 r? tan ? ? qB 直线运动,进入磁场区后,在洛伦兹
qB

?

?

??

y a? x

y

?

x < 0, 左边界 mv 在a? 时 qB

? qB ?

P

O y

R

x

? ?? ? 射出角范围为 ? 0 , 90 ?

(x,y)
?

mv 在a> 时 qB

mv 在a< 时 qB

r? O R x

P

如图所示,质量不计的柔韧细导线的一端悬挂质量为M的重物, 给细线提供张力T,另一端固定于天花板上.它的一段处于图中所示匀强磁场B中 并通有电流I,求弧线的曲率半径R.若带电量q、质量m的粒子从a点入射磁场,其 动量如何才能使它沿弧线运动?

解:

通电导线受力如图 T 其中安培力大小 为

T
?

a
? ?

F ? BI ? 2R sin?
两端绳张力的合力为

F b

B

a
I b

FT

M

FT ? 2Mg sin?
v qvB ? m R
2

T
T

由 BI ? 2 R sin? ? 2Mg ? sin?
带电粒子要沿弧ab运动,须满足

Mg R? BI

qMg p? I

解:

带电粒子进入介质中,受到的阻力跟它的速度成正比.在粒子 完全停止前,所通过的路程为S1=10cm,如果在介质中有一个跟粒子速度方向垂 直的磁场,当粒子以跟原来相同的初速度进入这一带有磁场的介质时,它则停止 在距入射点的距离为S2=6 cm的位置上,如果磁场强度减少1/2,那么该粒子应停 留在离开入射点多远(S3)的位置上?

设阻力Ff=kv,第一次位移为S1=10 cm,

加一磁感应强度为B的匀强磁场,粒子受阻力与洛仑兹 力共同作用,两力方向始终互相垂直,轨迹为曲线, 2 元过程中有 2 2 qBv kvi ??? t 2?? mmv vi ?1 ? v k i ?? qB S i ② 全过程中有: 0

即 kS1 ? mv0

由动量定理: ①

? kv ? ?t ? mv
i

0

? ?? ? ? ? S ? m? ? v ? v ? ? qB ? ? k ? B ? ? qB ?? S ? ? m?v ? v ? ? k ? 同理过程3中有: k ? q ? S ? mv ?
2 2
2 2

i 2

i -1
0

i

2

? ?

? 2?
i

3

i ?1

i

由上三式得

S3 =

30 13



cm ? 8.3 m

如图所示,S为一离子源,它能机会均等地向各个方向持续发射 大量质量为m、电量为q、速率为v的正离子,在离子源的右侧有一半径为R的圆屏, 离子源在其轴线上.在离子源与圆屏之间的空间有范围足够大的方向水平向右并 垂直于圆屏的匀强磁场,磁感应强度为 B,在发射的离子中有的离子不管 SO距离 离子的运动是一系列等螺距的螺旋运动,若离子的初 如何改变,总能打在圆屏上.求这样的离子数目与总发射离子数目之比.

解:

mv sin ? ?1 qBR ? R ? ? sin 只要向屏方向 2 2mv qB 认为离子源附近射出离子各向均匀 总能打在屏上的离子占总数的比为

2? m h? v cos ? qB mv sin ? 螺旋截面圆的半径为 r ? qB

速度v与SO成θ角,则其轨迹的螺距为

v Sθ q,m

BO

B

v sin?
O

? ?1 qBR ? 2? a ? 1 ? cos sin 2mv ? ? ? k? 2 4? a 2 ? qBR ?
2

a
S

1? 1? ? ? 2 mv ? ? ? 2

?

如图所示,在xy平面上有一束稀疏的电子(其间的相互作用可 以忽略),在-H<y<H范围内,从x负半轴的远处以相同的速率v沿着x轴方向平 行地向y轴射来.试设计一磁场区域,使得⑴所有电子都能在磁场力的作用下通过 坐标原点 O;⑵这一片电子最后扩展到- 2H< y<2H范围内继续沿着 x轴方向向x 正半轴的远处平行地以相同速率射去. 电子轨道半径均为 y

解:

2 2 2 ? R ? y ? x ? R ? ? ? ? 2 2 2 R ? y ? x ? R ? ? ? ?

? y ? 0? ? y ? 0?

mv R? eB

B H (x,y)

B?

? ? x ? y ? 2 Ry ? 0 ?? 2 2 x ? y ? 2 Ry ? 0 ? ?
2 2

? y ? 0? ? y ? 0?

R
x ? ? ? H , 0?

B?

x

同样方法,在x>0处,
2 2 ? x ? y ? 4 Ry ? 0 ? ? 2 2 x ? y ? 4 Ry ? 0 ? ?

mv B? ? y ? 0? eH

y ? ?? H , H ?

x ? ? 0, 2 H ? ? y ? 0? mv B? ? 2eH

y ? ? ?2 H , 2 H ?

如图所示,一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场,此束射线的 轴在进、出磁场时离子束的轴线都与场的边界垂直.求质量数m1=36和m2=40的 氩同位素的发散角.已知φ=60°.

解:
R1 ?

两种离子经同一有界磁场偏转的轨道半径不 同,故离开磁场时发散
2m1 E0 qB , R2 ? 2m 2 E 0 qB
R1
D?

D φ α
? ?R O

R1 ?R ? sin ? ? sin ? ? ? ?? 发散角很小,故

由图示几何关系:

α

2

1

O

??

两同位素的发散角

?R sin ? m2 ? m1 ? ? sin ? ? ? sin ? R1 m1

? 0.04

? ? 2 4??
?

※在正交的匀强电场与匀强磁场中,电荷以垂直于两场 E 示例 方向进入,可能做匀速直线运动: v ? 0 B
fB
v0 E

B

Fe

※在正交的匀强电场与匀强磁场中,电荷以垂直于两场
方向进入,可能做轨迹为摆线的运动:
规律

返回

解 : U F ? q ? 3.6 ? 10
e

如图(a)所示,两块水平放置的平行金属板A、B,板长L=18.5cm,两板 间距d=3 cm,两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感在强度B=6.0×10-2 T, 两板间加上如图(b)所示的周期性电压,带电时A板带正电,当t=0时,有一个质量 m=1.0×10-12 kg,带电荷量q=1.0×10-6 C的粒子,以速度v=600 m/s,从距A板2.5 cm处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间,若不计粒子重力,取,求 ⑴粒子在0~1×10-4 s内做怎样的运动?位移多大?⑵带电粒子从射入到射出极板 有电场时: 间所用时间?
?5

A d fB ? Bqv ? 3.6 ? 10?5 N
粒子做匀速直线运动!

N

B 无电场时,粒子做匀速圆周运动:

S ? vT ? 6 cm

2? m 1.08 T0 ? ? 1.0 ? 10?4 s 30 1cm Bq O 1 mv 0.5cm T r0 ? ? 1cm ?4 t ? 5T ? ? 5.08 ? 10 s Bq
?

U/V
t /? 10?4 s

2 3 4

2? m T? qB E 2? m L? ? B qB
? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

B

y

E

qvB

qE

ωt
(x,y)
v2 ? ?v1
E v1 ? B

x

E mv ? qB ? t? sin ? t ?qvB B qB ? m ? mv qB ? ? qB ? ? ?1 ? cos ? m t ? ? ? ?? ?

8 BR2

?? 0 R m

O

8? BR2

?? 0 R
m

vx v1

vy

y

qBR ? v x ? v 2 ? v1 cos ? t ? 1 ? cos ? t ? ? ? ? m ? v1 ? v ? v sin ? t ? qBR sin ? t y 1 ? m ?

?t

O 2m

v2

x

如图所示,带电平行板间匀强电场方向竖直向上,匀强磁场方向垂 直纸面向里.一带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由下滑,经轨道端点P进 入板间后恰好沿水平方向做直线运动.现使小球从较低的b点开始下滑,经P 点进入板间后,下列判断正确的是 A.在开始一段时间内,小球动能将会增大 B.在开始一段时间内,小球势能将会增大 C.若板间电场和磁场范围足够大,小球始终克服电场力做功 D.若板间电场和磁场范围足够大,小球所受洛仑兹力将一直增大

小球必带正电!小球从A点下滑进 入板间做直线运动必有

b 小球从b点下滑进入板间时速度小于va

mg ? qva B ? qE

a

Fe
P

fB
E B

mg > qvb B ? qE

故轨迹开始一段向下弯曲! mg 则重力与电场力的总功为 小球重力势能减少,电势能 正功,动能增加! 增加!总势能减少!

解:

如图所示,质量为m、电量为q的正离子,在互相垂直的匀强电场和匀强磁场 中沿曲线oabcd从静止开始运动.已知电场强度E与y 平行,磁感应强度B垂直于xoy 平面,试求 ⑴离子经过任意点b(x,y)时速度的大小;⑵若a点是曲线上纵坐标最大 的位置,且曲线在a点的曲率半径是a点纵坐标的两倍,则离子经过a点时的速率是 多大?

⑴∵洛伦兹力不做功,电场力做功与路径无关,则由动能定理: 1 y 2 B qE ? y ? mv E

⑵离子的运动是x方向匀速运动与匀 速圆周运动的合成,两运动速率均为 O

2qyE vb ? m

2

a b d

E c v? 又解:qE ? y ? 1 mv 2 B a a 2 在a点时两分速度方向均为+x 2 va E 方向,则 qva B ? qE ? m v ?2
a

x

E va ? 2 B

B

2 ya

时,系统的质心静止地位于坐标原点O处,且两带电质点在xOy平面上绕质心C沿 顺时针方向做圆周运动.设当系统处于图示位置时,规定为t=0时刻,从该时刻 起在所讨论的空间加上沿z轴方向的弱匀强磁场B.试求:质心C的速度分量vx和vy 随时间t的变化关系及运动轨迹方程,定性画出质心 C的运动轨迹.设两带电质点绕 解题方向: 将两带电质点视为双星系统 ,其质心初速度为零, 质心的圆周运动保持不变,忽略一切万有引力.两带电质点间的相互作用力视作库 在磁场中做轨迹为摆线的运动 仑力. 2 2

如图所示,质量均为 m,电量为-q和+q的两个带电质点相距2R.开始 专题21例7

解:

加磁场后,双电荷质心初速度 F ? 2qBR? 方向在xy平面,是有心 力! 为零,受到洛伦兹力大小为

未加磁场时,双电荷质 kq 2 ? mR ? ?? ? 心速度为零,角速度由 4 R2

kq 4mR3

2qBR? qBR R? ? ?R 将质心初速度分解为大小为 v ? 2m m

轨迹方程: qBR qBR ? x? t? sin ? ? t ? ? ? m ?m ? ? y ? qBR ?1 ? cos ? ? t ? ? ? ? ?m ? ?

y
r? qBR m?
2qB? R

?R

O 2m

?R

x

解:

如图所示的空间直角坐标系中,z轴为竖直方向,空间存在着匀 强磁场,磁感应强度B的方向沿y轴正方向,一个质量为m、带电量为q的带电微粒 从原点O处以初速度v0射出,初速度方向为x轴正方向,试确定各物理量间满足什么 条件,就能保证v0的大小不论取何值,带电微粒运动过程中都可以经过x轴上的x0 点?

带电微粒处于匀强磁场与重 力场中,B、g、v0三矢量两 两垂直,可将v0分解为
O f B2

z f B1 y x0 x

mg mg v 2 ? v0 ? v1 ? qB qB
带电微粒的运动为v1匀速运 动与v2匀速圆周运动的合成 能到达x0须满足

v0 mg

x0 x0qB 2? m ? nT ? ?n v1 mg qB

(与v0无关)

质量为m、电量为q(q>0)的小球,在离地面高度为h处从静 止开始下落,为使小球始终不会和地面相碰,可设想在它开始下落时就加上一个 足够强的水平匀强磁场.试求该磁场磁感应强度的最小可取值 B0,并求出当磁场 取B0时小球的运动轨道.

解:

初速为零的带电小球处在重 力场与磁场的复合场将做轨 道迹为滚轮线的运动!

f B1

v2

B fB2

v1

mg v1 ? qB

mg

若小球滚轮线轨道恰与地面相切,就不会和地面相碰 !

h 圆运动半径应满足 mv2 ? m ? ? R? ?? g 轨迹方程: ? 2 qB qB
? gh h 2g t ? sin ?t ?x ? 2 2 h ? ? 2g ? ?y ? h? 1 ? cos ?t? ? ? ? ? 2? h ?

2

?

?

Bmin

m 2g ? q h

解:

如图所示的磁动力泵是高h=0.1 m的矩形槽,槽相 对的两壁是导电的,它们之间距离=0.05 m.两导电壁加上电势差 U=1.4 V,垂直于两非导电壁加上磁感应强度B=0.1 T的均匀磁 场.槽的下部与水银面接触,上部与竖直的非导电管相连.试问水 ? ? 14 ? 10 kg 银上升多高?(水银的电阻率 ? ? 1? 10?6 ? ? m ,水银密度 , m 重力加速度g=10m/s2 ) 槽下部与水银接触面达到稳定时,其 电流所受磁场力(竖直向上)与水银 柱压力平衡: a B H U h ? gH ? al ? Bl ? l l
3 3

BUh ah H? ?? lg 0.1 ? 1 ? 4 ? 0.1 ? ?6 m 3 10 ? 0.05 ? 14 ? 10 ? 10

??

? 2m

vx
B

~

若电子沿纵向磁场的运动路径长l,可以调节磁感应强度B, 使所有电子在l 路径上完成整数个圆周运动,即比值为整数, 这样,被横向交变电场偏转发散的电子束经磁场作用,可 会聚到离入射点l 远的同一处,这就是磁聚焦.

leB ?n 2? me v x 阅读:利用磁聚焦测电子的比荷

P点沿磁感线方向注入孔径角2α(2α 1°)的一电子束,束中的电 ? 子都是以电压U0加速后从P点发出的.假设螺线环内磁场磁感应强 度B的大小为常量,设U0=3 kV,R=50 mm. ,并假设电子束中 各电子间的静电相互作用可以忽略. ⑴为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子束偏转的均匀磁场B1.对于在环内沿半 径为R的圆形轨道运动的一个电子,试计算所需的B1大小; ⑵当 电子束沿环形磁场运动时,为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点, 即如图所示,每绕过 π/2 的周长聚焦一次,环内磁场 B 应有多大? (这里考虑电子轨道时,可忽略B1,忽略磁场B的弯曲) 2α v

专题21-例8如图所示,在螺线环的平均半径R处有电子源P,由

R

P

解答

解:

v2 1 1 2meU 0 2 evB1 ? me 而 eU ? m v 则 B1 ? 0 e R 2 R e 代入数据得 1 2 ? 3000 ?3 B1 ? T ? 3.7 ? 10 T ?3 11 50 ? 10 1.76 ? 10
⑵电子束与B有一小角度,故做轨迹为螺旋线的运动: 电子束每四分之一周聚焦一次即应沿B方向绕行一周的同时 沿满足: 垂直B方向完成四个圆周 2? R 2? me

读题 ⑴对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子,维持其 运动的向心力是垂直于环面的磁场洛伦兹力,其大小满足

v cos ? 4 2meU 0 则B? cos ? ? 4 2meU 0 R e R e

?4

eB

? 1.48 ? 10 T

? 4 B1

?3

Fm

eEH ? evB
U H ? EH b ? Bvb
b

B
v

h -----------
H

E +++++++++++++++
Fe

由I ? nevbh

UH

1 BI ? ? ne h

BI U H ? RH ? h

解:

中,磁感应强度为B=5×10-3 T,当有恒定电流I=2.0 mA通过样品时,产生的霍耳 电势差UH=5.0mV,极性如图中标示,a=1.00 mm,b=3.00 mm.这块样品是N型半 导体还是P型半导体?载流子密度是多少,载流子定向运动速度是多少?

专题21-例9 如图所示的一块半导体样品放在垂直于竖直面向外的匀强磁场
Fe

样品中多数载流子是电 子,是N型半导体! a

由UH

BI ? nea

E
b
Fm

I

BI n? 19B eaU H ? 1.25 ? 10 UH 由 evB ? e b UH v? ? 333 m/s bB

mv 带电粒子在非匀强磁场中向磁场较强方 由r ? qB 向运动时,做半径渐小的螺旋运动!
v v

Fm F

m

范· 阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况 后,得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带(范· 阿伦辐射 带)的结论.有人在实验室中通过实验装置,形成了如图所示的磁场分布区域 MM′,在该区域中,磁感应强度B的大小沿z轴从左到右,由强变弱,由弱变强, 对称面为PP ′ .已知z轴上O点磁感应强度B的大小为B0,两端M(M′)点的磁感应强 度为BM.现有一束质量均为m,电量均为q,速度大小均为v0的粒子,在O点以与z 轴成不同的投射角α0向右半空间发射.设磁场足够强,粒子只能在紧邻z轴的磁感 线围成的截面积很小的“磁力管”内运动.试分析说明具有不同的投射角 α0的粒 子在磁场区MM ′间的运动情况. 提示:理论上可证明:在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度 v⊥的 平方与磁力管轴上的磁感应强度的大小B之比为一常量.

专题21-例10 围绕地球周围的磁场是两极强、中间弱的空间分布.1958年,

P

M?
O

v0 ?0 ?0 v
0

M

z

P?

解答

解:

? kB0 ? ? v0 sin ? 0 ? ? v sin ? ? 0 0 k? B0 2 做螺旋运动速度不变, 2 v0 sin ? 0 ? ? v sin ? ? ? 2 2 0 0 2 在磁感应强度为B处 v ? B B v? ? v0 ? ? B0 B0 随着B增大 mv0 sin ? 0 1 R? 2 讨论: q BB0 v sin ? 00 0? 2 2?1 ? B v?0 v0 ? B>0 ? sin M<? BMB0 2 ?v B 00sin ? 0 ? 2 2 ? 1 v0 v0 ? B=0 ? =? sin ?M BM B0 B0 ?1 ? 0 ? sin v0 ? M BM M z O v0 可约束在管内
2 由题给条件 v0 ? 2

2

读题

一个初始时未充电的电容器的两个极板之间的距离为d .有一 个磁感应强度为B的磁场,平行于电容器的极板,如图所示.当一电中性的相对介 电常数为的液体以速度v流过两个极板之间时,连接在电容器两个极板间的电压表 的读数是多少?

电中性的液体以速度v通过两板之间 解: 若介质 ? ? 1 ,则两板之间不会有电势差;
r



若为“容易”极化的介质即导体,则产生霍耳电势差

板间电场为

U H ? Bvd

介电常数εr>1的中性分子进入磁场在洛伦兹力作用下被极化

E0 ? Bv

E0 E ? ? E0 ? ?r ? 1? U ? ? ? 1 ? ? Bvd ?r ? ?

U ? ? E ?d

+ + +

- - - - - - -

- - +

B ? E - - - - - - -

+ +

+ + +

+ + +

- - - +

+ +

+ + + + + +

如图所示,长为L、截面半径为R的圆柱体内,沿轴向流过均匀电流 ? I,忽略边缘效应,已知L R.一束质量为 m、电量为+q的粒子以速度v平行于主轴 从圆柱体左端入射,不考虑粒子间的相互作用及与圆柱体内部微粒的作用,且忽 略圆柱体内电场;⑴忽略粒子在圆柱体内的径向移动距离及粒子轴向速度的变化, 试证明通过圆柱体后粒子将聚焦于一点;⑵考虑粒子在圆柱体内的径向运动而不 计粒子轴向速度的变化求粒子束聚焦在圆柱右端所需满足的条件.

解:

I B? r ? ? j?r ? ? r 2 2 2 ?R 在距轴r处粒子受到洛伦兹力

⑴电流方向沿轴向,在距轴r处磁场有

?0

?0

L t? v qv 粒子出右端面时径向速度v ?
粒子到达右端面历时
r

Fm ? qvB? r ?

q

m

粒子到达轴线时有

r S ? 2? mvR 2 vr v 各处粒子到达轴线有共同的S! S? ?0 qIL

?0 I L r? 2 2? R m v

Fm

解答

读题 ⑵考虑粒子径向运动,由于粒子径向所受洛伦兹力为

qv ?0 I Fr ? r ? k?r 2 2? R
聚焦在右端面应满足

所有粒子径向运动为

L T ? ? 2n ? 1? v 4
L 2n ? 1 2? mR ? 2? v 4 qv ?0 I
L ? R 2m? ? ? 2n ? 1 ? v 2 qv ?0 I
2

? n ? 1, 2??

解:

有一正点电荷Q和细长磁棒的磁极处于同一位置,在它们所生 成的电磁场中,有一质量为m、电量为q的质点,沿圆轨道运动,圆轨道直径对 产生电磁场的电荷及磁极所在点张角为 2θ ,已知细长磁铁的一个磁极产生的磁 a r a为常量,求质点运动的轨道半径.(质点重力不计) 场 B ? 3 ?, r F

磁单极的磁感线分布与点电荷的电场 线分布相似

a kQ 由B ? 3 ? r E ? 3 ? r r r

m

F v

?

q Fe r

Fe v 2 4?? 0 qa 由 ?m 2 sin ? R R ? mQ tan ? sin ? R ? r sin ?

Fe Qq 而 tan ? ? Fe ? 2 F m 4?? 0 r qva 则 v ? Q cot ? Fm ? qvB ? 2 4?? 0 a r 2

?
S

解:

如图所示,一个非常短的磁铁A,质量为m,被一根长l=1 m的线水 平地悬起.移动另一个非常短的磁铁B慢慢地靠近A保持两磁铁的磁极相互之间始 终在同一水平线上.当两个磁极间的距离为 d=4 cm时,磁铁A与最初的水平距离 s=1 cm,此后磁铁A可自发地慢慢向B移动.⑴磁铁间的相互作用力与其间距离的 k ? 关系为Fm(x)= ,正负表示两磁铁磁极间为引力或斥力.试确定 n的值;⑵现将两 x 磁铁放在开口向上的玻璃管中, B在上方,并使两个磁铁相互排斥,磁铁A在玻璃 ⑴把两个相互作用(吸引)的磁极视为“点磁荷”,对 A而 管中有掉转方向的趋势,求两个磁铁处于平衡时所能分开的距离. 言,处于准静态平衡中,受力分析如图 :
n

当有一小位移Δx时, mg l d ?x ?x n? ?4 ?n S d S ⑵此时B 处于悬浮平衡状态

d ?s? x k mg ? n ls k x 当x=d时, mgs 4 mg ? n k ? d l d l S ? ?x k k
?

? d ? ?x ?

n

?x ? ? ? n ?1? n d ? d ? ?

A

Fm

x?

4

sd mg Fm ? ? mg 4 lx s
l ? d ? 1.3cm

4

mg

如图所示的无限大匀强磁场磁感应强度为B,一个质量为m、电量 为q<0的粒子以初速度v0从y轴上Q点开始运动,运动中受到大小恒定的阻力F,已 mv0 qv B 知出发点坐标为(0, ).⑴试确定粒子运动的轨迹方程;⑵若 F ? 0 ,求粒子 qB ? y 的最终位置. ⑴粒子在运动切向受阻力F,法向

解:受洛伦兹力,则

x ?? O? 质点做半径均匀减小、速率均匀减小、角速度不变的曲线运动! mv0 F ?0 ? ?i ? ?i ?1 ? ?t ? V ? ?t ? ?? ? r qB qB F mF F ? 2 2 的匀速圆周运动 曲率中心以速率 V ? 做半径为 r ? qB? q B qB

F ? ? 曲率半径设为ρ m ? v0 ? m t ? ? ? qB ? ? m O ? ? qB

F ? ? qB ? v0 ? t ? qBvi F m ? ? at ? , an ? ? m m m

Q D

v0

? x, y ?
i ?1

?i

?? ?

? ? x ? ? sin ? t ? r ? 1 ? cos ? t ? ? ? ? y ? ? cos ? t ? r sin ? t

mv0 ? Ft ? qB mF ? qB ? sin t ? 2 2 ? 1 ? cos t? ?x ? qB m q B ? m ? ? ? ? y ? mv0 ? Ft cos qB t ? mF sin qB t ? qB m q2 B2 m 续解

⑵由动能定理:

mv ? mv0 得S? ? 2F 2 Bq
2 0

1 2 Fs ? mv0 2

读题

t?

? mv0 ? m ? m T 2S ? 2 ? ? ? at 2qB qBv0 qB 2
2mv0 ? ?x ? ? qB ? ?y ? 0 ?

mv0 ? Ft ? qB mF ? qB ? sin t ? 2 2 ? 1 ? cos t? ?x ? qB m qB ? m ? ? ? ? ? y ? mv0 ? Ft cos qB t ? mF sin qB t 2 2 ? qB m q B m ?

在一个真空箱内,电流I流过一根电阻很小的长直导线,初速度 为v0的电子垂直于导线从距导线的径向距离为 r0的一点开始运动.已知电子不能比 r0/2更靠近导线,试确定电子初速度v0.不考虑地磁场的影响.

解:

?0 I 直线电流的磁场 B ? ? 2? r

r

Fmi ? Bi ev0

r0 v0
?

Fm v0

i 磁场洛伦兹力的x分量使电子速度从 0→v0; r分量使电子速度从 v0 → 0!速 x O 度方向变化90°! 取一元过程 ? i ? i ? ? n ? ? ? ? ? i ?1 2n 沿-r方向由运 qv ?0 I sin ? 2 2 r ? r ?1 ? ?? qv ? sin ? 0 0I 0 i i ? ir ? ir v0 cos ? i ? ? ? v0 cos ? i ?1 ? ? 2 ? ? i i ?1 ? 动学导出公式 2? ri m ? m r

? ? ? ? lim ? ? cos ? i ??1 n?? i ?1 2n ? 2n ?
n

?

q?0 I ri ? ri ?1 1? ? ? ? cos ? i ? ?? 2n N? 2n ? 2? mv0 ri

?

i

ri ?1 2? mv0 ? 1? ri q ?0 IN

1 ?e 2

?

2? mv0 q?0 I

q?0 I v0 ? ln 2 2? m

在外磁场中的超导体,平衡后超导体内部的磁感应强 度处处为零,超导体表面外侧的磁感应强度与表面平行.如图所示 的O—xyz直角坐标中,xy平面是水平面,其中有一超导平板,z轴竖 直向上,超导平板在 z= 0处,在 z= h处有一质量为 m、半径为 r、环 心在z轴上、环平面为水平面的匀质金属圆环,且有r ? h .在圆环内 通以稳恒电流,刚好使圆环漂浮在 z =h处.⑴试求圆环中的电流强 度;⑵若使圆环保持水平,从平衡位置稍稍偏上或偏下,则圆环将 上、下振动,试求振动周期T1;⑶当圆环处在平衡位置时,其中与x 轴平行的直径标为 P1P2,与y轴平行的直径标为Q1Q2.若保持P1P2不 动,使圆环绕P1P2稍有倾斜,即使Q1Q2与y轴有很小的夹角, 则圆环将以P1P2为轴摆动,试求周期T2. z P2 I Q2 Q1 m P1 h O x y

超导平板

解答

解:

mg ? F ?
I?

读题 ⑴通电圆环悬浮在z=h处,超导体的内部磁感应强度为零而 表面外侧磁感应强度与表面平行,这可等效为通电圆环与它 的像电流——在z=-h虚设一个相同的通以反向电流的环— —共同产生的结果,如图,通电圆环必有其所受重力与像电 流施予的磁场力相平衡,由r<< h这个条件,将两环形电流 近似为反向平行电流: I ? I
0

2? 2h
2mgh ?0 r

?

? I ? 2? r

I

⑵ 若令圆环水平地上下振动,当与平衡位置有任一位移 (如向下x)时: 2 ?0 rI 2 ?0 rI 2 ? ? rI x? mg 0 F ? mg ? ? mg ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 x T1 ? 2? 2?h ? x? 2h ? h? 2h

h g
续解

⑶当以P1P2为轴做小幅摆动时,圆环转动惯量

读题

1 2 J ? mr 2
当圆环转离平衡面一小角度时
?0 I 2 r 2 ? 1 1 ? ? M ? ? F1 ? F2 ? r ? 2 ?? 2h ? r ? ?? ? 2h ? r ? ?? ??
?

I I F1

F2

?0 I 2 r 2 ? ?
4h

r r ? ? ?? ?? 1 ? 2h ? ?? ? ? ? 1 ? 2h ? ?? ? ? ? ? ?? ??
2 3

4h 2 mgr ?? ?? 2h

??

?0 I r
2

??

1 2 mr J T2 ? 2? ? 2? 2 2 mgr K 2h

??

h ? 2? g

?

动生电动势与感生电动势
动生电动势
+ B

感生电动势
B

F

v
E

Bqvl ?? ? Blv q

?? ?B Eq ? l ? ?S ?? ? El ? ? ?t ?t q ?B S E? . 示例 ?t l 示例

如图所示,一长直导线中通有电流I=10 A,有一长l=0.2 m 的金属棒AB,以v=2 m/s的速度平行于长直导线做匀速运动,若棒的近导线的 一端与导线距离a=0.1 m,求金属棒AB中的动生电动势.

专题22-例1

解:

?0 直线电流磁场分布有 B ? 2? r I

?0 ? I ? ri ?1 ? ri ? v ? 2? ri n n n r? 2 ?? i ?r 1 ?? ? 2?? ? i ?? 11 lim ? ? lim 1? ? ? ? r nv ? I 0 n?? i r n ?? nv ? I
?
i

设棒中总动生电动势为ε,

?0 ?i ? I ? ri ?1 ? ri ? v 2? ri

距直线电流ri处元动生电动势
I ri

v

?

a?l ?e a

2?? nv ?0 I

?

0

?

?0 Iv a ? l ?? ln 2? a

如图所示是单极发电机示意图,金属圆盘半径为r,可以无 摩擦地在一个长直螺线圈中,绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动,线圈导 线的一端连接到圆盘的边缘,另一端连接到杆上,线圈的电阻为R,单位长度有n 匝,它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量B0平行,若圆盘以角速度ω 转动,那么流过图中电流表的电流为多少? ω

专题22-例2

解: 通电螺线圈内磁场分布有 B ? ? nI
0

B0

A 1 2 ? ? B ? ? nI ? r ? ? 圆盘产生转动动生电动势 0 0 2 I 电流表读数: 2 B ? ? nI ? r ? ? 0 0 由I ? 2R

2R

I?

? r B0
2

?0 nr 2
2

ω

2 R ? ?0 n? r

O
B0 ?0 n

试手 规律

返回

a B0 O
?? 0 nI 0 nI

在磁感应强度为B,水平方向的均匀磁场内,有 一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动,如图所示.环上有长度为l 的很小的缺口,磁场方向垂直于环面.求当角AOC为α时环上产生的 感应电动势 .

解:

开口的细金属丝环在滚动过程“切割” 磁感线而产生动生电动势.如图:
O v
? ?

? ? Blv sin?
C

v

A

如图所示,在电流为I的无限长直导线外有与它共面的直角 三角形线圈ABC,其中AB边与电流平行,AC边长l,∠BCA=θ,线圈以速度v向右 做匀速运动,求当线圈与直线电流相距d时,线圈中的动生电动势. 无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为

解:

直角三角形线圈ABC的AB边在距直线电流d 时的动生电动势为 ? Ivl tan?

?0 B? I 2? r

B

v I B A d l C

?1 ? Bd vl tan? ?

0

直角三角形线圈的BC边各段处在不同磁场, 取第i段: 有效切割长度: ? r ? r ? tan ?
i ?1

2? d
i

?? ? d ? l 则Bi ? ri ?? ri ?tan v tan 1? 0 Iv ? BC ? ln n ri? dBC ?0 I ? ri ?1 ? 2 ? ? ? v tan ? ? 2? ri n
BC 0

? BC

?0 Iv tan ? ? d ? l l ? ? ? ? 1 ? ? 2 ?2?? ln ? ? ? d?l d d? ? ? e ? Iv tan?2?

f

如图所示,一根永久性圆磁棒,在它的磁极附近套上一环 返回 形线圈,摆动线圈,使线圈沿轴做简谐运动,振幅A=1 mm(这比磁铁和线圈的尺 寸小得多),频率f=1000 Hz.于是,在线圈里产生感应电动势,其最大值εm=5V, 如果线圈不动,线圈通以电流I=200 mA,求磁场对线圈的作用力 .

解:

设线圈所在处磁场辐向分量为 Bx,线圈摆动时“切割”Bx而 产生动生电动势,线圈简谐运 动最大速度:

vmax ? 2? fA

此时有最大电动势:

? max

? max ? 2? fABx L B x ? 2? fAL
0.2 ? 5 N ?3 2 ? 3.14 ? 1000 ? 10

线圈通电时受所在处磁场辐向分量Bx安培力:

? max F ? Bx LI ? 2? fAL LI ?

? 0.16N

一个“扭转”的环状带子(称为莫比乌斯带)是由长度为L,宽 专题 22例 3 度为d的纸条制成.一根导线沿纸带的边缘了一圈,并连接到一个电压表上,如图

解1:磁场随时间均匀变化

所示.当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中, 且磁场随时间均匀变化,即 B ? t ? ? kt ,电压表记录的数据为多少? 2

解2 : 线圈中的电动势为:
2

? L ? ?? ? S 变化的磁场引起感生电场: 2 E ? k ? ? k ? 2? ? kL L L ? L 电压表读数: 由? ? E ? 2 L ?k 2? 4? 由法拉弟电磁感应定律,每个

B ? kt

2 ? L ? L ?0 ? k ? S ? k ?? ? ? ?k ? 2? ? 4? 2

kL ?? 2?

一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管,它的半径R是外 专题 22例 4 面螺线管半径的一半,两螺线管单位长度具有相同的圈数,且初时都没有电

解:

流.在同一瞬时,电流开始在两个螺线管中线性地增长,任意时刻,通过里边螺 线管的电流为外边螺线管中电流的两倍且方向相同,由于增长的电流,一个处于 两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆轨道运动,如图所示,求 该圆轨道半径 r. 变化电流在螺线管上产生变化的匀强 ① Er

B2 ? 2?0 nI 2 2 ? nI 2 ? nI 2 r R 0I ? R 0 ? 2 R ? ?0 nI ? Δ2 ?? n2 粒子绕行一周时间设为 T,R 则 E ? ? ? ? 0 r ?T 2 ?T 2r 2 4 ?0 nI ? R ? q E r ?? T ?m v 由动量定理,感生电场使静止粒子获得速度: B? ? ? 2 ? nI 02 2 2 1 v 2 ? R 粒子运动的一个动力学方程为: ? 2R q Bv m 1 ? r 2 2 ? nI r ? 2R q? ? 0 T 2r T q ?0 nI ? 试手 规律 r B1 ? ?0 nI

磁场,变化的磁场产生感生电场。带 电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹 力与电场力;在向心力与速度相适配 的确定轨道做圆周运动.

r


?

?

?

?

? 2B

r ? 2R

返回

E

? B? S

?B ? R2 ?B R E? ? ? ? ?t 2? R ?t 2

B

R

由动量定理,感生电场使电子增加速度Δv为:

Fm

eE ? ?t ? m?v
2 v 当电子速度为v 时,有: evB ? m 0 R

?B0 m eE ?B ? R ? ? ? ?t eR m 2 R?t

eE mv ? B0 ? eR ?B0 m ?v ? ? ? ?t eR ?t

轨道所在处的磁场磁感应强度为轨 道内磁场平均磁感应强度的一半!

B B0 ? 2

在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场.有一 长为l的金属棒放在磁场中,如图所示,设磁场在增强,其变化率为k.⑴求棒中的 感生电动势,并指出哪端电势高;⑵如棒的一半在磁场外,其结果又如何?

解:

?B ?感 ? ?S ?t 2 2 2 1 l 2 ? ? kl 4 R ? l ?感 ? k ? l R ? ? ? ? 2 ? 2? 4
棒一半在磁场外时
?感
其中? ? tan ?1

回路中的感生电动势

B
O
?

2 ? ? 1?l l ? ? ? k? R2 ? ? ? ? R2? ? 右端电势高 ? 2 ?2 ? 2? ? ? 2l l ?1 ? tan 4 R2 ? l 2 4 R2 ? l 2

? l 4 R2 ? l 2 R2 ? 2l l ?1 ?1 ? ? ?k ? ? tan ? tan ? 2 2 2 2 8 2 ? ? 4 R ? l 4 R ? l ?

?? ?? ?? ??

一个很长的直螺线管半径为R,因线圈通过交流电而在线圈内引 起均匀的交变磁场B=B0sinωt,求螺线管内、外感生电场E的分布规律.

解:

把螺线管理想化为无限长通电直 螺线管,其磁场均匀且只分布在 管内.由于磁场按正弦规律变化, 必会引起感生电场.
2

B O

?B ? r ?B r E? . ? . ?t 2? r ?t 2 其中 sin ? ? t ? ?t ? ? sin ? t ?B r ? B0 lim E ? B ? cos ? t ? t ? 0 0 內 ?t ?t 2 ? ?t cos ? ? t2? ?t ? ? sin 2 在管外,距轴心r处 ?B ? R ?B R 2 ? B0?Elim ? . ? . t t 2r ?t ? 0?t 2? r ?? ? 2 2 R ? B0? cos ?? t E B ? cos ? t
在管内,距轴心r处



2r

0

?

自感电动势

?? ?I ?自 ? N ?L ?t ?t

线圈面积

自感系数
电感

单位长度匝数 总匝数 有无铁芯

?

自感线圈中的磁场能

产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场 能的过程! I I I 若某?t , I i ? i , 电源移送元电量为 i ?t , 元功为 i ?t ? ?自 , n n n n 电流由0增至I做的总功为:

I I L W ? lim ? i ? ?t ? ? 自 n ? ?t 1 2 n?? i ?1 n Em ? LI 2

有一个N匝的螺旋状弹簧如图所示,线圈半径为R、弹簧自然长 专题22-例5
度为x0 (x0 少?

R ) ,劲度系数为k,当电流I0通过弹簧时,求弹簧的长度改变了多 ?
2
I

解 : ? nI? R ?? 由? ? N ?N
自 0

先计算螺线管的自感系数

?t

N N 2 达到稳定时,磁通量不变: ?0 I 0? R ? ?0 I t ? R2 x0 xt xt 2 2 N ? 0? R ? It ? I0 Lt ? x0 x
由能量守恒:
t

L ? N ?0 n? R2

?t 2 I ? N ?0 n? R ?t

1 1 1 2 2 k ? x0 ? xt ? ? L0 I0 ? Lt I t2 2 2 2 2 2 N ? ? R 2 2 0 k ? x0 ? xt ? ? I 0? ? x0 ? x t ? ? 2 x0 2 ?0? N 2 R 2 I 0 x0 ? x t ? 2 kx0

如图所示电路,直流电源的电动势为E,内阻不计,两个电阻值 为R,一个电阻值为r,电感的自感系数为L,直流电阻值为r.闭合开关S,待电路 电流稳定后,再打开开关S(电流计G内阻不计)⑴打开开关时,电阻值为r的电阻 两端电压为多少? ⑵打开开关后有多少电量通过电流计? ⑶闭合开关到电流稳 定时,有多少电量通过电流计?

解:

rE R?r 这也是开关刚打开时电感的端电压! ⑵开关打开过程,电源电流为0,通过 电表的是自感电流 E 电感上电流从原来的 I L ? ? R ? r ? ? 0
⑴闭合开关稳定时 U r ?

S
R E
r

R

⑶开关闭合过程,电源电流与自感电流叠加,通过电表的 是自感电流 E 电感上电流从原来的 0 ? IL ?

?自 L ? ?I LE q? ? ?t ? ? ?t ? 2r 2r ? ?t 2r ? R ? r ?
?R ? r?

L

?自 L ? ?I LE q? ? ?t ? ? ?t ? 2r ? R ? r ? 2r 2r ? ?t

解:

电磁涡流制动器由一电阻为ρ、厚度为τ的金属圆盘为主要部件,如 图所示.圆盘水平放置,能绕过中心O的竖直轴转动,在距中心O为r 处,一边长 为a的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若r a,试写 ? 出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘转动角速度之间的关系式.

处在磁场中的小金属块电阻为:

由法拉弟电磁感应定律,小金属块中的 感应电动势为: 2 小金属块中产生的感应电流(涡流)为:

a R?? a ??

?? B ? a E? ? ?t ?t

a ? r ? a, ? ?t ? r ?? 磁制动力矩:

E B ? a2 ?? I? ? R ? ? ?t

?

I?
2

Ba? r?

M ? BIa ? r ?

B a r ??
2 2

?

?

如图,在竖直面内两平行导轨相距l=1 m,且与一纯电感线圈L、 直流电源E(ε,r)、水平金属棒AB联为一闭合回路,开始时,金属棒静止,尔后 无摩擦地自由下滑(不脱离轨道).设轨道足够长,其电阻可忽略,空间中磁场B 的大小为0.4 T,其方向垂直于轨道平面,已知电源电动势为 ε=9 V,内电阻r= 0.5Ω,金属棒质量m=1 kg,其电阻R=1.1Ω,线圈自感系数L=12 H,试求金属 棒下落可达到的最大速度.

解:

释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速 运动,由于线圈自感及棒的切割运动,产生与电源电动势相反 的感应电动势,使通过AB棒的电流逐渐减小,当感应电动势与 电源电动势相等时,棒上无电流,棒加速度为g,此后感应电 动势大于电源电动势,安培力与重力方向相反,当电流达到恒 定,棒速度达到最大时,线圈自感电动势为零,通过电流



vm lB ? E mg ? lB R?r

v m lB ? E I? R?r

L l A

E B

vm ? 122.5m/s

一无限长圆柱,偏轴平行地挖出一个圆柱空间,两圆柱轴间距 离,图所示为垂直于轴的截面.设两圆柱间存在均匀磁场,磁感应强度B随时间t 线性增长,即 B=kt .现在空腔中放一与OO′成60°角、长为L的金属杆AB,求杆 中的感生电动势.

解:

空洞处视作变化率相同的两反 向匀强磁场Ba、Bb叠加:

Ba EA O ra O ? d Bb

1 Ea ? k ? ra 2

两变化磁场在空洞中A处引起感生电 场Ea、Eb:

E A ? Ea ? Eb 1 ? k ? ra ? rb ? 2
1 即 E A ? kd 2

1 Eb ? ? k rb 2

A rb

空腔内为一匀强电场! ?

? ? EL sin60
3 ?? kdL 4

? 感应电流电路计算

?I ? 0

? IR ? ? ? ? 0

专题22-例6

在半径为a的细长螺线管中,均匀磁场的磁感应强度随时间均 匀增大,即 B=B0+bt.一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路 ABCDA,上底长为 a , 下底长为2a,总电阻为 R,放置如图所示:试求:⑴梯形各边上的感生电动势, 及整个回路中的感生电动势;⑵B、C两点间的电势差.

解: ?
? AD

⑴梯形回路处于感生电场中

? BC

1 2 ? ? b ? a sin 60 ? 3 ba 2 2 4

AB

? 0 ? CD ? 0

B

O
A B A D C D C

2 ? 3 ba ⑵由全电路欧姆定律: I ? ? ? ? B ?6 ? 4 ? R ?

?? 3? 2 ? ?? ?6? 4 ? ? ba ? ? ??

1 2? ? 2 ? b? a ? ba 2 3 6

由一段含源电路欧姆定律:

U BC ? I ??

? 2R ?

? ? ba

2 3 ? ba 2

两个同样的金属环半径为R,质量为m ,放在均匀磁场中,磁 专题 22例 7 感应强度为B ,其方向垂直于环面,如图所示.两环接触点A和C有良好的电接触,
0

解:

角α=π/3.若突然撤去磁场,求每个环具有的速度.构成环的这段导线的电阻为 r, 环的电感不计,在磁场消失时环的移动忽略不计,没有摩擦 .

磁场消失过程中,两环中产生的感应电流 I1 受磁场安培力冲量,因而获得动量.

B

磁场消失的Δt时间内每环平均电动势 2

?○

B? R ? ?t B? R2

O1

I 2 O2
BR 2 10? ? 3 3 10?t ? r BR 2 2? ? 3 3 2 ?t ? r

由基尔霍夫定律 ?t 3? 3? 2?? 2?? BR ? BR ? ?3? 2 ? ? ?3? 2 ? ? ? ??I r ? ? ?? ? 2 ? t 3 ?t 由动量定理: ? F ? F ? ?t ? mv
1 2

5r r ? I1 ? I 2 6 6

I1 ? I2 ?

?

?

?

?
F2

9 3B R B BR2 18 3 ? R? ? mv v ? 10rm 2 10r

2

3

F1

如图所示,由均匀金属丝折成边长为l的等边三角形,总电阻为 R,在磁感应强度为B的均匀磁场中,以恒定角速度ω绕三角形的高ac轴转动,求 线圈平面与B平行时,金属框的总电动势及ab、ac的电势差Uab、Uac.

解:

2 3 2 ? B? l 4 ? 线圈等效电路如图 I ? R
由一段含源电路欧姆定律:

? ? Bs? ? B? ? l sin 60

线圈平面与B平行时,金属框的 总电动势由 1 2 ? a

B

d a

c

b

R ? 2 3 Uab ? ? ?I ? ? ? B? l 3 2 24 R ? Uac ? ? I ? ? ? 0

I d c b

解:

在轻的导电杆的一端固定一个金属小球,球保持与半径为R= 1.0 m的导电球面接触.杆的另一端固定在球心处,并且杆可以无摩擦地沿任何 开关闭合后,电源电流通过 方向转动.整个装置放在均匀磁场中,磁场方向竖直向上,磁感应强度 B=1.0 电路,达到稳定时,金属小 T.球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相联,如图所示.试描述当开关 闭合后,杆如何运动?如果杆与竖直线之间的夹角稳定在 α=60°,求电源的电 球在适当位置沿球面做匀速 动势. 圆周运动;杆绕球面球心转动

??

产生与电源相反的电动势, 回路中电流为零 : 1 2 2

B Rα

S

E

2 2 mg tan ? ? m? R sin ? ? ? ?

B? R sin ? ? E

g R cos ?
?
N

1 g E? B R2 sin2 ? 2 R cos ?
代入数据:

B

3 E ? BR 2 gR ? 1.68V 8

mg

解:

如图所示,无限长密绕螺线管半径为r,其中通有电流,在螺 线管内产生一均匀磁场B.在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环,金属环 由两个半环组成,a、b为其分界面,半环的电阻分别为R1和R2,且R1>R2,当 螺线管中电流按 I ? I0 ? ? t 均匀增大时,求a、b两处的电势差Uab.

B ? B0 ? ? t ?B 2 2 ?? ? ? r ? ?? r 金属圆环所在处 ?t ? 金属圆环等效电路如图 I ? R1 R1 ? R2
由一段含源电路欧姆定律:

螺线管内磁场变化规律为

a
r O



a
?
2

b

R2
?

U ab ? I ? R1 ?

?

I b
bD

2

2 R ?R 2 1 2 ? ?? r ? 2 ? R1 ? R2 ?

由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图 所示弯成∞字形,交叉 处M点在N点之上,回路1的半径为r1,回路2的半径为r2,当磁感应强度按B=B0t规 律穿入回路时,确定M与N两点间电压;若将回路2向左翻折在回路1上,M与N间 电压又是多少?

解: R ? 2? r ?
1 1

设导线的线电阻率为ρ,则两回路电阻 :

R2 ? 2? r2 ?

两回路电动势大小 :

1

? 1 ? B0? r12 ? 2 ? B0? r22
等效电路如图 : 由一段含源电路欧姆定律: R1

M

N

2

M R2

U MN ? ?1 ? IR1 2 2 N B0? r1 ? r2 2 ? B0 ? ? ? 2? r1 ? ?rr 11 r 0? 2 2 ?? r ? r ? ? 1 2 ? ? ? 2 ? IR2 U MN 2 2 B ?? r ? r2 R1 r r 0 1 1 2 2 ?B B r2 ? r2r1? ? ? 2? r2 0? 0? 2 r?? 1 ? r2 ? 1 ??r2

?

?

M M

N

?

?

R2

环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部,箍 的轴与螺线管的轴重合,如图所示.箍由两部分组成,每部分的 电阻R1、R2不同且未知.三个有内阻的伏特表接到两部分接头处A 点和B点,并且导体A—V3—B严格地沿箍的直径放置,而导体A— V1—B和A—V2—B沿螺线管任意两个不同方位放置,交变电流通 过螺线管,发现这时伏特表V3的读数u0=5 V,伏特表V1的读数u1 =10 V.问伏特表V2的读数是多少?螺线管外的磁场以及回路电 感不计.
A
V3 V1 R1

R2
V2

B

解答

解:

螺线管通交流电,感生电场的 方向可能为顺时针或逆时针

A

读题

顺时针时

U R1 ? UV 1 ? 10V

10V V1 R2 V3 R1 5V 10V
B

U R1 ? U R2 ?
逆时针时

?

?

2

? UV 3 ? UV 3

?

V2

2

? 5V

2 ?? U R1 ? ? UV 3 ? 0 ?? 2 ? 15V 2 ?? U R2 ? ? UV 3 ? 20V 2

U R2 ? 0
10V

UV 2 ? 0
A
V1 R1

10V

V3

5V

R2
V2

20V

UV 2 ? 20V
B

如图所示,一椭圆形轨道,其方程为 ,在中心处有 ? 2 ? 1? a > b > 0? a2 b 一圆形区域,圆心在O点,半径为r,r<b.圆形区域中有一均匀磁场 B1,方向垂 直纸面向里,B1以变化率k均匀增大.在圆形区域外另有一匀强磁场B2,方向与B1 相同.在初始时,A点有一带正电q、质量为m的粒子,粒子只能在轨道上运动, 把粒子由静止释放,若要其通过C点时对轨道无作用力,求B2的大小.

x2

y2

解:
U AC

粒子过C点的速度决定所受洛伦兹 力,当洛伦兹力全部作向心力时,粒 子与轨道无作用! A A、C点间的电势差为

EC

y C

qvcB2 B1
O

B2
x

涡旋电场力做功使粒子动能增加:
2

3? 2 ? ? k ? ? r ? n ? ? ? n ? 0,1, 2?? E A 4? ?

3? 1 ? 2 qk ? ? r ? n ? ? ? mv c 4? 2 C点动力学方程为: 2 ? mvc qB2vc ? ?c a 2 br ? 3 ? 4n ? mk? B ? 2 2 而? c ? a 2 q b

解:

如图所示,半径为R的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强 度为 B ,方向竖直向上,半径为 R 的绝缘光滑细环水平放置,正好套住磁场 区.在细环上串有一质量为m、电量为q的带正电小珠.t=0时,磁场B=0;0 <t<T时,B随时间t均匀增大;t=T时,B=B0;此后保持B0不变.试定量讨论t >T时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力.(小珠所受重力与圆环支持 力平衡) .

B0 R 有涡旋电场时,场强为 E ? ? B0 T 2 珠子受电场力而加速,由动量定理: B0 R q ? ? T ? mv B0 Rq B0 Rq T 2 磁场稳定时珠子的速度为: v? < 2m m
珠子匀速圆周运动的动力学方程为: 2 2 2
2

磁场均匀增大时有涡旋电 场;磁场恒定时电场消失!

F qvB0

2 2 v q B0 R m ? qB0 R ? q B0 R FN ? ? ? qB0 v ? F ? m = ? 2m R ? 2m ? R 4m

? 两类感应电流稳态电路 A.“电源”受有一恒定外力,初
速度为零;回路初始态电流为零, “电源”电动势为零.
规律

B.“电源”不受外力(安培力除
外) ,具有初速度;回路初始态有 电流,“电源”有电动势.
规律

R
“电源”为受有一恒力的导体 棒产生动生电动势 电流达到恒定时 ,棒匀速运动,速度

B

BLv mg ? B ? ?L R

mg

vm ?

mgR
2 2

B L

mg I? BL

B L mg ? v ? ma R BLx

电流达到稳定的 2 2

过程中
q?

B L a ? g? v mR

2 2

R

返回

C “电源”为受有一恒力 的导体棒产生动生电动势 电流恒定 ,棒匀加速运动,加速度 mg

B

C ? BL?v mg ? B ? L ? ma ?t
mg ? ma a? I? 2 2 m?B L C BL
mg

“电源” 动生电动势减 小 电流为零时达到稳定态
电流减为零的过程中
2 2 ? 2 2 BLv ? B L B L FB ?? B? ?v L? FB x? ? 0 ? R ? R mR ? ?

B

R

v0

BLx B 2 L2 B ?v ? v ? ? L ? mv ? mv 0 R 0 mR x

B ? q ? L ? mv0
mv0 q? BL

B 2 L2 ? B 2 L2 ? x ? mv0 R a? v0 ? x? m ? 2 2 ? ? mR ? mR ? B L

“电源” 动生电动势恒 定 电流稳定

? BqL ? mv ? mv0

B

q ? C ? BLv
m m ? CB L
2 2

C

v v0

v?

v0

CBLmv0 q? 2 2 B LC?m

解:

的导轨平面,轨道平面与水平面有α的倾角.一根无摩擦的导体棒,质量为m, 横跨在两根金属导轨上.若开关依次接通1、2 、3 ,使阻值为R(其余电阻均 不计)、电容为 C或电感为L的元件与棒构成电路,当从静止放开导体棒后, 本题三个感应电流电路中 ,“电源”均为受有恒定外力(重力之 求棒的稳定运动状态. “下滑”分力)的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势, 通过开关转换,构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路.初始 状态相同的三个电路,在不同的电路条件下,其暂态过程及稳定态 R 迥异。 1 C B S→1 2 3 L 经加速度减小的加速过程,达到稳定态

专题22-例8 如图所示,一个磁感应强度为B的均匀磁场,垂直于一轨距为l

S→2

BLvm mgR mg sin ? ? B ? ?l vm ? 2 2 sin ? R

B l

?

a? g C ? BL?v 2 2 mg sin ? ? B ? L ? ma m ? B L C ?t 续解

稳定态时电流恒定,导体棒做匀加速运动

m sin ?

S→3

读题
线圈产生自感电动势
BIl

g sin? Bl mg sin? ?I Bl ? ? s L ? Blvi ? ?I ? v i ?t s0 x L ?t L Bl 0 s ?t ? 0时I ? 0 ? I ? L 2 2 B l 导体棒的运动方程为 mg sin ? ? s ? ma L mgL sin ? 取下滑 s0 ? g sin? v i 2 2 L B l

I?

B

B

加速度为零的平衡位置为坐标原点
2 2 B 2 l 2 ? mgL sin ? B l ? ma ? ? F ? ? mg sin ? ? ? x? ? ? x ? 2 2 L ? B l L ?

纯电感电路无稳定状态,导体棒和电流均做周期性变化 T ? 2?
振动方程为

mL B2l 2

? l 2 B2 ? Lmg sin ? x? cos ? t ?? ? 2 2 ? Lm ? l B ? ?

专题22-例9 如图所示,在与匀强磁场区域B垂直的水平面上有两根足够长

解:

的平行导轨,在它们上面放着两根平行导体棒,每根长度均为l、质量均为m、 电阻均为R,其余部分电阻不计.导体棒可在导轨上无摩擦地滑动,开始时左 棒静止,右棒获得向右的初速度v0.试求⑴右导体棒运动速度v1随时间t的变化; ⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势:E=Blv0,此后左 ⑵通过两棒的电量;⑶两棒间距离增量的上限.

v0 v1 ? v 2 ? 对两棒由动量守恒:mv0 ? mv1i ? mv2 i 2 ? ? B ? v1i ? v2 i ? l 过程中两棒产生的动生电动势互为反电动势,则: t ? n ? ? ? 中运动方程为 设右棒经时间t达稳态,元过程 n 右棒速度公式为 l B v ?? ?v lB ? v ? ?v 21 vi1v ?v ? ? t1i vi 1? i ?1? 2 i 0i? Rm ? lB v1 ? 0 ? 1 ? e ?m 2R ?t 2 2 ? ? 2 B vi ? vi ?1 ? l B ?t ? ? l 左棒速度公式为 ? 2vi ? v0 ? 2Rm
2 2

棒开始加速,右棒则减速,至两棒速度相同即达到稳定态;

l B ? ? ? 2 2 t v v 0 ? 2viv?1 ? ? l B t ? Rm 0 ?1 ? e ? ? 1? 2 ? 2 Rmn ? ? 2vi ? v0 ? ? ?
2 2

续解

读题 ⑵通过两棒的电量相同,对任一棒运用动量定理导出式:

v0 Bql ? m 2

mv0 q? 2Bl

⑶设两棒间距离的最大增量为x:

?? B ? lx mv 0 q ? It ? ?t ? ? t ? 2R 2R 2Bl

x?

mv 0 R B l
2 2

半径为R的金属丝圆环,有一个沿直径方向放置的金属跨接线, 左、右两半圆上分别接上电容器 C1和C2,如图所示.将环放置在磁感应强度随时 B0 t 间而线性增大的磁场中, B ? t ? ? ,磁场方向垂直于环面.某一时刻撤去跨接线, T 接着磁场停止变化,求每个电容器上带的电量 .

解:

金属跨接线两端电压即原来各电容 器电压,亦即环上感生电动势的一半: 2 ? ? B0? R U? ? - C1

-

撤去跨接线并停止磁场变化,两电容器相互 充、放电直至平衡:

2

2T

?

C2

2 B ? R ? Q ? ? C1 ? C2 ? ? ? C1 ? C2 ? 0 2 2T C1 ? C1 ? C 2 ? B0? R 2

Q1 ?

C1 ? C 2 2T C2 ? C1 ? C2 ? B0? R2 Q2 ? ? C1 ? C2 2T

?

解:

如图所示为一“电磁枪”,它有一轨距为l、电阻可以忽略的水 平导轨,导轨另一端与一个电容为 C、所充电压为U0的电容器相连接,该装置的 电感可以忽略,整个装置放入均匀的竖直的磁感应强度为 B的磁场中,一根无摩 擦的质量为m、电阻为R的导体棒垂直于轨道放在导轨上,将开关翻转到b,求导 体棒获得的最大速度vmax及这个“电磁枪”的最大效率.

电容器上原电量为 Q1 ? CU0 当棒的速度达最大时电容器电量

Q2 ? vm lBC
设此过程历时Δt,由动量定理:
CU 0 ? v m lBC lB ? ?t ? mv m ?t

a b S

B l

vmax

lBCU 0 ? m ? l 2 B 2C
?
2 2 m ? l B C? ?

最大效率为25%
?

1 2 mv m ?? 2 1 CU 02 2

ml B C

2

2

2

?

ml 2 B 2C 2 ml 2 B 2C

?

2

1 ? 4

一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L,放 在竖直的圆柱形磁棒上面,如图所示.圆环与棒有同一对称 轴.在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的xBx ? B0 ? x ? 0-y坐标中可近似地表示为 B y ? B0 ?1 ? ? y 和 ,其中 B0、α、 β为常量.初始时,圆环中没有电流,当它被放开后开始向下运动 且保持它的轴仍为竖直,试确定圆环的运动并求圆环中的电流.
y
0 x

解答

解:

初始时,圆环中没有电流,环中磁通量 :

读题

? y ? B0? r

2

圆环开始向下运动时,

B y 变化,感应电流I的磁通量 ? ? LI 2 环中磁通总量 : ? y ? B0 ?1 ? ? y ? ? r ? LI
2 2 即 B 1 ? ? y ? r ? LI ? B ? r ? U ? 0 ?? ? 0 0? 0 2 ? B0? r 则I? y L

环受安培力为 :

Fm ? Bx I ? 2? r

环所在处磁场 y Fm

其中,环面过平衡位置时 :

Fm 2? 2 B02?? r 4 mg ? B0 ? r ? I 0 ? 2? r ? y0 L 环面在平衡位置下y时 : 2 2 4 2 B0 ??? r y ? F ? mg ? Bx I y ? 2? r ? ? L

x

y mg

续解

∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:

1 T? B0 r 2

2mL

??

y
x

A?

mgL 2B02??? 2 r 4

圆环中最大电流为:

圆环中电流随时间变化规律为:

mg I0 ? 2B0 ?? r 2

mg I? 2 B0 ?? r 2

? ? 2 2?? ? ? ?cos ? ? ? r B0 Lm t ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ?

如图(a)所示,在水平地面上有足够长的两条平 行金属导轨,导轨上放着两根可无摩擦地滑行的平行导体棒,每根 棒中串接电容为C的相同固体介质电容器,构成矩形回路.整个回 路处在匀强磁场中,磁场方向与回路平面垂直.已知两棒长均为l, 质量均为m,电阻均为R,其余电阻不计.开始时左棒静止,右棒 以初速v0平行导轨运动,则在运动过程中可给两电容器充电.⑴两 棒的最终速度是否相同?⑵就电容器C充电过程而言,回路可等效 ? ? 值. 为图(b)所示无外磁场的静态回路,试求图(b)中 和 C?

B

C?

C

C v0
(a)

l

C

??

C
S (b) 解答

解:C

B

C?
?
v1

读题

C

?

v2 l

C

⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势: E=Blv0,此后回路有充电电流,左棒开始加速,至两 棒速度差恒定即达到稳定态;

??

C

? 右棒 BlQ ? m ? v0 ? v1 ? ? 对两棒分别由动量定理: ? ? ? 左棒 BlQ ? mv2 2 BlQ B 2 l 2C 得 v1 ? v 2 ? v 0 ? ? v0 2 2 m m?B l C Q 故达到稳定时,回路中总电动势 :? ? B ? v ? 2 BlQ ? l ? 2 ? 0 ? ⑵两电路等效, C m ? ? 由充电之初知 ? ? ? Blv0 ? ?0BCmlv0 Blv m BCmlv0 Q ? Q ? 由充电之末知 ? 2? ? 2 2? m 1 ? B2C 2 2 l C ? 2B 2l 2 2?m ? B l C ? ?
C C?

摆线
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记,那么当自行车在笔直的道路上行 驶时,白色印记会画出什么样的曲线? 上述问题抽象成数学问题就是:当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时, 圆周上一个定点的轨迹是什么?

如图,假设 B 为圆心,圆周上的定点为 M, 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时,点 M 绕圆 心作圆周运动,转过 ?(弧度)角后,圆与直线相 ? 的长,即 OA=r?. 切于 A,线段 OA 的长等于 MA 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线,简称摆线,又叫旋轮线.

y

摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。

B M
O D

?
A

C

E

x

我们取定直线为x轴,定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径 为r,设开始时定点M 在原点,圆滚动了? 角后与 x轴相切于点A,圆心在点B,从点M 分别作AB, x 轴的垂线,垂足分别为C,D,设点 M 的坐标为 ( x, y )取? 为参数,根据点M 满足的几何条件 x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ?, y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos ? . 所以,摆线的参数方程为: x ? r (? ? sin ? ) y ? r (1 ? cos ? ) (? 为参数 ).

?

因此, 摆线的参数方程是

? x ? r (? ? sin ? ) ,(?是参数) ? ? y ? r (1 ? cos ? )


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