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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题18概率(文)(教师版)


2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 专题 18
★★★高考在考什么
【考题回放】 1.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么( B ) A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 2.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的 概率为( C ) A.

概率

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

3.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们任 意地排成一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 1 (结果用分数表示)

35
3 7

4.某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 35 人选修 B 课程.从班级中 任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 . (结果用分数表示)

5.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析两 个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分, 则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 85 分. 6.甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙 机床产品的正品率是 0.95. (Ⅰ) 从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答); (Ⅱ) 从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率. 【专家解答】 2 (I) 任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为 P (2) ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243. 3 (II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A,“任取乙机床的 1 件产 品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概 率为 P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995. 解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为:

1 ? P( A.B) ? 1 ? 0.1? 0.05 ? 0.995.

★★★高考要考什么
【考点透视】 等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率, 独立重复试验. 【热点透析】 1.相互独立事件同时发生的概率,其关键是利用排列组合的内容求解 m,n.
《专题 18 概率、统计(文)》第 1 页(共 6 页)

2.独立重复试验,其关键是明确概念,用好公式,注意正难则反的思想.

★★★突破重难点
【范例 1】某批产品成箱包装,每箱 5 件,一用户在购进该批产品前先取出 3 箱, 再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、 2 件二等品,其余为一等品。 (I)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。 (II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这 批产品被用户拒绝的概率。 解:设 Ai 表示事件“第二箱中取出 i 件二等品”,i=0,1; Bi 表示事件“第三箱中取出 i 件二等品”,i=0,1,2; (1)依题得 P ? P( A1 ? B0 ) ? P( A0 ? B1 ) ? P( A1 ) P( B0 ) ? P( A0 ) P( B1 ) ? i (2)法一:所求的概率为 P2 ? 1 ? P( A0 ? B0 ) ? P ? 1 ? 1 法二:所求的概率为
1 1 1 2 2 1 2 C4 C3 ? C2 C4 C2 C4 C2 17 ? ? 2? 2? 2? 2 ? . 2 2 C5 C5 C5 C5 C5 C5 50 【点晴】本题考查了古典概率,其关键是利用排列组合的方法求出 m,n。 【变式】盒中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 2 张,从盒中任意取 3 张,每张 卡片被抽出的可能性都相等,求: (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率; (Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念; (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率. 2 C4 C32 12 7 ? ? ? C52 C52 25 50

12 25

P2 ? P( A1 ? B1 ) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B2 ) ?

1 1 C2C62 ? C22C6 9 P ? 解:I) ( “抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A, ( A) ? C83 14 2 1 C2 C6 3 ? (II) “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B, P ( B ) ? 则 3 C8 28

(III) “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C, “抽出的 3 张卡片上有两 个数字相同”的事件记为 D,由题意,C 与 D 是对立事件,因为 P ( D ) ? 所以: P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ?
1 1 C4C32C6 3 ? C83 7

3 4 ? 7 7

【点晴】注重解题的规范以及分类、分步计数原理的正确使用。 2 1 1 【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , , .现 3 人各投篮 1 次,求: 5 2 3 (Ⅰ)3 人都投进的概率; (Ⅱ)3 人中恰有 2 人投进的概率.
《专题 18 概率、统计(文)》第 2 页(共 6 页)

解:(Ⅰ)记"甲投进"为事件 A1 , "乙投进"为事件 A2 , "丙投进"为事件 A3, 2 1 1 2 1 3 3 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= ,∴P(A1A2A3)= × × = 5 2 3 5 2 5 25 3 ∴3 人都投进的概率为 25 (Ⅱ)设“3 人中恰有 2 人投进"为事件 B 2 1 3 2 1 3 2 1 3 19 P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)=(1- )× × + × (1- )× + × × (1- ) = 5 2 5 5 2 5 5 2 5 50 19 ∴3 人中恰有 2 人投进的概率为 50 【点睛】已知概率求概率,利用乘法和加法公式解决独立、互斥问题,必须注意什 么条件用什么公式。 【变式】某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球、1 个红球的箱 子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖;摸出两个红 球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求 (1)甲、乙两人都没有中奖的概率; (2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率. 解:(1) P ? 1

9 ?9? ?9? ?? ? ? ? ? ; 10 ? 10 ? ? 10 ?
2 2

2

3

1 ? 9? 1 ? 1? 9 18 1 18 262 ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? (2)方法一: P2 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 10 10 10 1000 1 1 9 1 1 9 262 方法二: P2 ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? 10 10 10 10 10 10 1000 9 ? 1 1 9 9 ? 262 方法三: P2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? 10 ? 10 10 10 10 ? 1000
【点晴】注重方法的多样性,特别至多、至少等概率问题常根据正难则反的思想, 利用对立事件的概率公式解题。 【范例 3】甲、乙两班各派 2 名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率 都为 0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求: (1)甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩及格的概率; (2)甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率. 1 解:(Ⅰ)甲班参赛同学恰有 1 名同学成绩及格的概率为 C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为 C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.48
1

故甲、 乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩几个的概率为 P ? 0.48 ? 0.48 ? 0.2304 (Ⅱ)解法一:甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为 0.4 ? 0.0256,
4

故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 P ? 0.9744 1 解法二:甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为 C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.1536
2 2 2 甲、乙两班参赛同学中恰有 2 名同学成绩及格的概率为 C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3456
2 2 2 甲、乙两班参赛同学中恰有 3 名同学成绩及格的概率为 C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3456

甲、乙两班 4 同学参赛同学成绩都及格的概率为 0.64 ? 0.1296
《专题 18 概率、统计(文)》第 3 页(共 6 页)

故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率为 P ? 0.9744 【点晴】n 次独立重复试验的使用需注意其条件和含义,本题还涉及对立事件的概 率公式及加法公式。 【变式】某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合 格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是 相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5, 整改后安检合格的概率是 0.8,计 算(结果精确到 0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)至少关闭一家煤矿的概率. 解: (Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是 1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的.
2 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P1 ? C5 ? (1 ? 0.5) 2 ? 0.5 3 ?

5 ? 0.31 . 16

(Ⅱ)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以 该煤矿被关闭的概率是 P2 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.8) ? 0.1 ,从而该煤矿不被关闭的概率是 0.9.由 题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以至少关闭一家煤矿的概率是 P3 ? 1 ? 0.9 5 ? 0.41 【点晴】这是变形转化后的 n 次独立重复试验的问题,首先考虑个体,即每家煤矿 整改的概率,再解决整体,注意转化问题的等价性。 【范例 4】某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率. 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(A· C )+P( A · C)+P(A· · B· B· B· B C)+P(A· C)=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75. (Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率 p2=

1 1 1 1 P(A· B)+ P(B· C)+ P(A· C)= × (0.5× 0.6+0.6× 0.9+0.5× 0.9) =0.43 3 3 3 3

【点晴】概率源于生活和实践,注重题意的理解和实际问题的等价转换。 【变式】A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试 验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效。若在一个试 验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组。设 每只小白鼠服用 A 有效的概率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 。 3 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率。 解: (1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2,

《专题 18 概率、统计(文)》第 4 页(共 6 页)

1 2 4 2 2 4 1 1 1 1 1 1 依题有 P(A1)=2× × = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , P(B1)=2× × = , 3 3 9 3 3 9 2 2 4 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 所求概率为: P=P(B0· 1)+P(B0· 2)+P(B1· 2)= × + × + × = A A A 4 9 4 9 2 9 9 4 3 604 (Ⅱ)所求概率为: P=1-(1- ) = 9 729 【点晴】 本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基 础知识,考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.

★★★自我提升
1. 某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家 ,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用 分层抽样的方法,抽取的中型商店数是( C ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)13 2. 在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出 3 个球,至少摸到 2 个黑球的概率等于( A ) A.

2 7

B.

3 8

C.

3 7

D.

9 28

3. 将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a, 甲、乙分到同一组的概率为 p,则 a、p 的值分别为( A ) A. a=105 p=

5 21

B.a=105 p=

4 21

C.a=210 p=

5 21

D.a=210 p=

4 21

4. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 这个数不 能被 3 整除的概率为( B ) (A)

19 54

(B)

35 54

(C)

38 54

(D)

41 60

5. 在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全 宣传志愿者, 那么选到的两名都是女同学的概率是__

14 __ (结果用分数表示) 。 33

6. 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80,现有 5 人接种了该疫苗,至少有 3 人出现发热反应的概率为 0.94 .(精确到 0.01) 7. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机,设经过该机打进的 电话是打给甲、乙、 丙的概率依次为

1 1 1 、 、 。若在一段时间内打进三个电话, 6 3 2

且各个电话相互独立。求: (Ⅰ)这三个电话是打给同一个人的概率; (Ⅱ)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率; 解(Ⅰ)由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式, 所求概率为: p ? ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ? (Ⅱ)n=3,p=

1 6

1 3

1 2

1 . 6

1 1 5 5 的独立重复试验,故所求概率为 P3 (2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? . 6 6 6 72

《专题 18 概率、统计(文)》第 5 页(共 6 页)

8. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装 有 2 个红球,n 个白球.两甲,乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率;

3 ,求 n. 4 C2 C2 1 1 1 ? . 解:(I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P ( A) ? 2 ? 2 ? ? 2 2 C4 C5 6 10 60 (II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B ,“取到的 4 个球只有 1 个红球” 为事件 B1 ,“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意,得
(Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为

P( B) ? 1 ?
P ( B2 ) ?

3 1 ? . 4 4

P( B1 ) ?

2 1 1 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C 1? C 1 ? 2 ? 2? 2 2 n ? 2 2 C4 Cn ? 2 C 4 Cn ? 2 3 (n ? 2 ) (? n

; 1)

2 2 C2 Cn n(n ? 1) ? 2 ? ; 2 C4 Cn ? 2 6(n ? 2)(n ? 1)

2n 2 n(n ? 1) 1 ? ? , 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4 3 2 化简,得 7n ? 11n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ? (舍去),故 n ? 2 . 7
所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 9. 某单位最近组织了一次健身活动, 活动分为登山组和游泳组, 且每个职工至多参 加了其中一组。 在参加活动的职工中, 青年人占 42.5%, 中年人占 47.5%, 老年人占 10%。 登山组的职工占参加活动总人数的

1 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老 4

年人占 10%。 为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽 样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本。试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 解:(Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别 为 a、b、c,则有

x?40% ? 3xb x? 10% ? 3xc ? 47.5%, ? 10% ,解得 b=50%,c=10%. 4x 4x

故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别 为 40%、50%、10%。 (Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200 ? ? 40% ? 60 (人);抽取的中年人数 为 200 ? ? 50%=75(人);抽取的老年人数为 200 ? ? 10%=15(人)。 文章来源: 福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分, 就上福州五佳教育)

3 4

3 4

3 4

《专题 18 概率、统计(文)》第 6 页(共 6 页)


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