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湖南省怀化市溆浦县江维中学高中数学课件:1.3.1 函数的单调性(2) (新人教A版必修1)


第2课时

第 2 课时

函数的最大(小)值

【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义; 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会
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求函数最值是函数单调性的应用之一. 【看一看学法指导,学习更灵活】 通过实例,使学生体会到

函数的最大(小)值,实际上是 函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借助函数图象的直观 性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.函数的最大值、最小值
最值 最大值 最小值

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 (3)对于任意的 x∈I,都有

f(x)≤M 条件 ______________.
(2)存在 x0∈I,使得

f(x)≥M _____________.
(4)存在 x0∈I,使得

f(x0)=M ______________.

f(x0)=M _____________.

结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值

填一填·知识要点、记下疑难点

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2.函数最值与单调性的联系 (1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则 f(x)的最

f(a) f(b) 大值为________,最小值为________.
(2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则 f(x)的最

f(b) f(a) 大值为________,最小值为_________.

预习测评

第2课时

某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位: 万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x, 其中 x 为销售量(单 位:辆).若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大 利润为( A.90 万元 C.120 万元
解析

) B.60 万元 D.120.25 万元

设公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)

辆,设两地销售的利润之和为 y,则 y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.

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?x≥0, ? 由题意知,? ?15-x≥0. ?

∴0≤x≤15,且 x∈Z.
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19 当 x=- =9.5 时 y 值最大, 2×?-1? ∵x∈Z,∴取 x=9 或 10. 当 x=9 时,y=120,当 x=10 时,y=120. 综上可知,公司获得的最大利润为 120 万元.故选 C.

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第2课时

小结
本 课 栏 目 开 关

要熟记常见函数的单调性:一次函数 y=kx+

b(k≠0),当 k>0 时单调递增,当 k<0 时单调递减;二次 函数 y=ax +bx+c(a≠0),当 a>0
2

? b? 时,在?-∞,- ?上 2a? ?

? ? b 单调递减,在?- ,+∞?上单调递增,a<0 时相反;y= ? 2a ?

k (x≠0),当 k>0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递 x 减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增.

研一研·问题探究、课堂更高效

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例 1 建造一个容积为 6 400 立方米,深为 4 米的长方体 无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米 200 元,池底的造 价为每平方米 100 元. (1)把总造价 y 元表示为池底的一边长 x 米的函数; (2)由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过 40 米,问 蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低?总造价最 低是多少?

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6 400 (1)由已知池底的面积为 =1 600(平方米),底面的 4
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1 600 另一边长为 x 米,

则池壁的面积为

? 1 2×4×?x+ ?
? 1 ?x+ 600 ?

600? ? x ?平方米.

所以总造价 y=1

600? ?+160 000(元), x∈(0, +∞). x ?

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(2)由题意知 y=1

? 1 ?x+ 600 ?

600? ?+160 000(0<x≤40), x ?

设 0<x1<x2≤40,则

y1-y2=1

? 1 ?x1+ 600 ?

? 600? 1 600? ? ?x + ? x1 ?-1 600? 2 x2 ?

=1

? 1 600??x1-x2?+ ? ?

600?x2-x1?? ? ? x1x2 ?

=1

? 1 600? 600(x1-x2)?1- x x ?. ? 1 2 ?

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1 600 ∵0<x1<x2≤40, 1-x2<0,1- x <0, y1-y2>0, y1>y2. 得 即 x1x2 从而这个函数在(0,40]上是减函数, 故当 x=40 时,ymin=288 000.
所以当池底是边长为 40 米的正方形时,总造价最低为 288 000 元.

小结

(1)求解实际问题一般分成四步,即:设元—列式

—求解—作答. (2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.

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例 2 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值.

解 ∵函数图象的对称轴是 x=a,
∴当 a<2 时,f(x)在[2,4]上是增函数,
∴f(x)min=f(2)=6-4a.

观察演示

当 a>4 时,f(x)在[2,4]上是减函数,
∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当 2≤a≤4 时,f(x)min=f(a)=2-a2.
?6-4a,a<2 ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4 . ? ?18-8a,a>4

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小结

此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题,

此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1 1.函数 f(x)= 在[1,+∞)上( A ) x A.有最大值无最小值 C.有最大值也有最小值 B.有最小值无最大值 D.无最大值也无最小值

解析

1 函数 f(x)= 是反比例函数,当 x∈(0,+∞)时, x

函数图象下降,所以[1,+∞)上 f(x)为减函数,f(1)为 f(x)在[1,+∞)上的最大值,函数在[1,+∞)上没有最 小值.故选 A.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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2.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小 值-2,则 f(x)的最大值为( C ) A.-1 B.0 C.1 D.2

解析

f(x)=-(x-2)2+a+4,

∴f(x)在[0,1]上单调递增. ∴f(x)min=f(0)=a=-2, ∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

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1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最 1 值,如函数 y= .如果有最值,则最值一定是值域中的 x 一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在 区间端点处取得.即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b) 或 f(a).

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2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别 要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且 最大(小)值不一定在顶点处取得.


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