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2015-2016学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1.已知命题 p:? x∈R,lgx=2,则¬p 是( ) A.? x?R,lgx=2 B.? x0∈R,lgx0≠2 C.? x∈R,lgx≠2 2.下列不等式中成立的是( ) 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B.若 a>b,则

a2>b2 C.若 a<b<0,则 a2<ab<b2 D.若 a<b<0,则 > 3.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 i?z=1+i,则 z=( A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i 4.函数 y=x+ A. B. )

D.? x0∈R,lgx0=2

在(1,+∞)上取得最小值时 x 的取值为( C.2 D.3



5.设 a=lge,b=(lge)2,c=lg ,其中 e 为自然对数的底数,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 6.下列说法正确的是( ) A.“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件 B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要不充分条件 C.命题“若 a∈M,则 b?M”的否命题是“若 a?M,则 b∈M” D.命题“若 a、b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a、b 都不是 奇数” 7.已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象如图所示,f′(x)是 f(x)的导函数,则不等式(x ﹣1)f′(x)<0 的解集为( )

A. (﹣∞, )∪(1,2)

B. (﹣1,1)∪(1,3) C. (﹣1, )∪(3,+∞)

D. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 8.关于 x 的一元二次方程 ax2+2x﹣1=0 有两个不相等正根的充要条件是( A.a<﹣1 B.﹣1<a<0 C.a<0 D.0<a<1 )

9.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的取值范围是(



A.

B.

C.[﹣1,6] D.

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10.已知 xy>0,若 +

>m2+3m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( C.﹣4<m<1



A.m≥﹣1 或 m≤﹣4 B.m≥4 或 m≤﹣1 11.已知函数 f(x)= A.0<a≤ B.a C.

D.﹣1<m<4 )

在[1,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是( <a≤ D.a≥

12.函数 f(x)=ax﹣x3(a>0,且 a≠1)恰好有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.1<a<e C.0<a<e B.1<a<e D .e <a<e

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.已知函数 f(x)=13﹣8x+ x2,且 f′(x0)=4,则 x0 的值为 . 2 14.若复数 z=(m ﹣m)+mi 是纯虚数,则实数 m 的值为 . 2 15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8πr 分,其中 r 是瓶子 的半径,单位是厘米.已知每出售 1mL 饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 cm 时,每瓶饮料的利润最小. 子的最大半径为 6cm,则瓶子半径为 16.设 x>0,y>0,且 + =2,则 2x+y 的最小值为 .

三、解答题(共 3 小题,满分 30 分) 17.设 p:对任意的 x∈R,不等式 x2﹣ax+a>0 恒成立,q:关于 x 的不等式组 的解集非空,如果“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=﹣x4+ax3+ bx2 的单调递减区间为(0, ) , (1,+∞) . (1)求实数 a,b 的值; (2)试求当 x∈[0,2]时,函数 f(x)的最大值. 19.已知 f(x)=﹣ x2﹣lnx,设曲线 y=f(x)在 x=t(0<t<2)处的切线为 l. (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)求切线 l 的倾斜角 θ 的取值范围; (3)证明:当 x∈(0,2)时,曲线 y=f(x)与 l 有且仅有一个公共点. 以下是选做题,考生只需在第 20、21、22 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分,作答时请写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 20.如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交 于 E 点,F 为 CE 上一点,且∠EDF=∠ECD. (1)求证:△DEF∽△PEA; (2)若 EB=DE=6,EF=4,求 PA 的长.
第 2 页(共 16 页)

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分)

21.设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ. (1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,点 A(1,0) ,求 + 的值.

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 22.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2| (1)解不等式 f(x)≥3 (2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af(x) (a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数 x 的范围.

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2015-2016 学年四川省绵阳市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1.已知命题 p:? x∈R,lgx=2,则¬p 是( ) A.? x?R,lgx=2 B.? x0∈R,lgx0≠2 C.? x∈R,lgx≠2 D.? x0∈R,lgx0=2 【考点】全称命题. 【分析】 本题中的命题是一个全称命题, 其否定是特称命题, 依据全称命题的否定书写形式: 将量词“? ”与“? ”互换,结论同时否定,写出命题的否定即可. 【解答】解:∵p:? x∈R,lgx=2, ∴¬p:? x0∈R,lgx0≠2, 故选:B. 2.下列不等式中成立的是( ) 2 2 A.若 a>b,则 ac >bc B.若 a>b,则 a2>b2 C.若 a<b<0,则 a2<ab<b2 D.若 a<b<0,则 > 【考点】不等式的基本性质. 【分析】运用列举法和不等式的性质,逐一进行判断,即可得到结论. 【解答】解:对于 A,若 a>b,c=0,则 ac2=bc2,故 A 不成立; 对于 B,若 a>b,比如 a=2,b=﹣2,则 a2=b2,故 B 不成立; 对于 C,若 a<b<0,比如 a=﹣3,b=﹣2,则 a2>ab,故 C 不成立; 对于 D,若 a<b<0,则 a﹣b<0,ab>0,即有 故选:D. 3.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 i?z=1+i,则 z=( A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:∵复数 z 满足 i?z=1+i, ∴﹣i?i?z=﹣i?(1+i) ,则 z=﹣i+1. 故选:A. ) <0,即 < ,则 > ,故 D 成立.

4.函数 y=x+ A. B.

在(1,+∞)上取得最小值时 x 的取值为( C.2 D.3



【考点】函数的最值及其几何意义.

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【分析】先将函数配成 x﹣1+ x 的值.

+1 的形式,再运用基本不等式最值,根据取等条件确定

【解答】解:∵x>1,∴x﹣1>0, ∴y=x+ =x﹣1+ +1≥2+1=3, ,即 x=2 时取等号.

当且仅当 x﹣1= 故选:C.

5.设 a=lge,b=(lge)2,c=lg ,其中 e 为自然对数的底数,则( A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】由 lge>0,可得 lge lge﹣(lge)2= 【解答】解:∵lge>0,∴lge 又 c﹣b= lge﹣(lge)2= ∴c>b. ∴a>c>b. 故选:B. lge> =lg lge= =lg



,即可比较出 a 与 c 的大小关系.作差 c﹣b= lge,即可得出大小关系. ,∴a>c. lge> lge=0,

6.下列说法正确的是( ) A.“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件 B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要不充分条件 C.命题“若 a∈M,则 b?M”的否命题是“若 a?M,则 b∈M” D.命题“若 a、b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a、b 都不是 奇数” 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可, B.根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断, C.根据否命题的定义进行判断, D.根据逆否命题的定义进行判断即可. 【解答】解:A.若“a+5 是无理数”,则 a 是无理数,反之也成立,即“a+5 是无理数”是“a 是 无理数”的充分必要条,故 A 错误, B.“|a|>|b|”?“a2>b2”,即“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件,故 B 错误, C. 根据否命题的定义得命题“若 a∈M, 则 b?M”的否命题是“若 a?M, 则 b∈M”, 故 C 正确, D.命题“若 a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是 奇数”,故 D 错误, 故选:C

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7.已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象如图所示,f′(x)是 f(x)的导函数,则不等式(x ﹣1)f′(x)<0 的解集为( )

A. (﹣∞, )∪(1,2)

B. (﹣1,1)∪(1,3) C. (﹣1, )∪(3,+∞)

D. (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先由(x﹣1)f'(x)<0,分成 x﹣1>0 且 f'(x)<0 或 x﹣1<0 且 f'(x)>0 两 种情况分别讨论即可 【解答】解:当 x﹣1>0,即 x>1 时,f'(x)<0, 即找在 f(x)在(1,+∞)上的减区间, 由图象得,1<x<2; 当 x﹣1<0 时,即 x<1 时,f'(x)>0, 即找 f(x)在(﹣∞,1)上的增区间, 由图象得,x< . 故不等式解集为(﹣∞, )∪(1,2) 故选:A.

8.关于 x 的一元二次方程 ax2+2x﹣1=0 有两个不相等正根的充要条件是( A.a<﹣1 B.﹣1<a<0 C.a<0 D.0<a<1



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】关于 x 的一元二次方程 ax2+2x﹣1=0 有两个不相等正根的充要条件是:

,解出即可得出.

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【解答】解:关于 x 的一元二次方程 ax2+2x﹣1=0 有两个不相等正根的充要条件是:

,解得﹣1<a<0.

故选:B.

9.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的取值范围是(



A.

B.

C.[﹣1,6] D.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;由目标函数中 z 的几何 意义可求 z 的最大值与最小值,进而可求 z 的范围 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示

由 z=3x﹣y 可得 y=3x﹣z,则﹣z 为直线 y=3x﹣z 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小 结合图形可知,当直线 y=3x﹣z 平移到 B 时,z 最小,平移到 C 时 z 最大 由 可得 B( ,3) ,

由 ∴ 故选 A

可得 C(2,0) ,zmax=6

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10.已知 xy>0,若 +

>m2+3m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( C.﹣4<m<1



A.m≥﹣1 或 m≤﹣4 B.m≥4 或 m≤﹣1 【考点】函数恒成立问题;基本不等式. 【分析】 【解答】解:∵xy>0, ∴ 当且仅当 , 时,等号成立.

D.﹣1<m<4

,将不等式转化为 m2+3m﹣4<0,解不等式即可

的最小值为 4. 将不等式转化为 m2+3m﹣4<0 解得:﹣4<m<1. 故选:C.

11.已知函数 f(x)= A.0<a≤ B.a C.

在[1,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是( <a≤ D.a≥



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先求导,由函数 f(x)在[1,+∞]上为增函数,转化为 f′(x)≥0 在[1,+∞]上恒 成立问题求解. 【解答】解:f′(x)= ,

由 f'(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即﹣1﹣lna+lnx≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴lnx≥lnea 在[1,+∞)上恒成立, ∴lnea≤0,即 ea≤1, ∴a≤ , ∵a>0, ∴0 故选:A 12.函数 f(x)=ax﹣x3(a>0,且 a≠1)恰好有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.1<a<e C.0<a<e B.1<a<e D .e <a<e
第 8 页(共 16 页)

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】原题意等价于方程 ax=x3 恰有两个不同的解.分类讨论结合函数思想求解 当 0<a<1 时,y=ax 与 y=x3 的图象只有一个交点,不符合题意. 当 a>1 时,y=ax 与 y=x3 的图象在 x∈(﹣∞,0)上没有交点,所以只考虑 x>0, 于是可两边同取自然对数,得 xlna=3lnx,即 lna= ,构造函数 g(x)= ,求解

, 利用导数求解即可. 【解答】解:∵f(x)=ax﹣x3(a>0,且 a≠1)恰好有两个不同的零点 ∴等价于方程 ax=x3 恰有两个不同的解. 当 0<a<1 时,y=ax 与 y=x3 的图象只有一个交点, 不符合题意. 当 a>1 时,y=ax 与 y=x3 的图象在 x∈(﹣∞,0)上没有交点,所以只考虑 x>0, 于是可两边同取自然对数,得 xlna=3lnx,即 lna= ,

令 g(x)=

,则



当 x∈(0,e)时,g(x)单调递增, 当 x<1 时,当 g(x)<0,

x∈(e,+∞)时,g(x)单减且 g(x)>0. ∴要有两个交点,0<lna<g(e)= ,即 1<a< 故选:A 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.已知函数 f(x)=13﹣8x+ x2,且 f′(x0)=4,则 x0 的值为 3 【考点】导数的运算. 【分析】利用导数的运算法则即可得出. 【解答】解:∵f(x)=13﹣8x+ x2, ∴f′(x)=﹣8+2 x,
第 9 页(共 16 页)





∴﹣8+2 x0=4, 解得,x0= , 故答案为: . 14.若复数 z=(m2﹣m)+mi 是纯虚数,则实数 m 的值为 1 . 【考点】复数的基本概念. 【分析】根据复数的概念进行求解即可. 【解答】解:若复数 z=(m2﹣m)+mi 是纯虚数, 则 ,

即 即 m=1, 故答案为:1



15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8πr2 分,其中 r 是瓶子 的半径,单位是厘米.已知每出售 1mL 饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 子的最大半径为 6cm,则瓶子半径为 1 cm 时,每瓶饮料的利润最小. 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【分析】先确定利润函数,再利用求导的方法,即可得到结论. 【解答】解:由于瓶子的半径为 rcm,每出售 1ml 的饮料,制造商可获利 0.2 分, 且制造商制作的瓶子的最大半径为 6cm, ∴每瓶饮料的利润是 y=f(r)=0.2× πr3﹣0.8πr2,0<r≤6, 令 f′(r)=0.8πr2﹣0.8πr=0,则 r=1, 当 r∈(0,1)时,f′(r)<0; 当 r∈(1,6)时,f′(r)>0. ∴函数 y=f(r)在(0,1)上单调递减,在(1,6)上单调递增, ∴r=1 时,每瓶饮料的利润最小. 故答案为:1.

16.设 x>0,y>0,且 + 【考点】基本不等式.

=2,则 2x+y 的最小值为 3 .

【分析】2x+y=2x+y+1﹣1=(2x+y+1)? ( + 基本不等式可得. 【解答】解:∵ + =2,

)﹣1= (2+2+

+

)﹣1,利用

∴2x+y=2x+y+1﹣1=(2x+y+1)? ( + 2 =1+2=3,

)﹣1= (2+2+

+

)﹣1≥2﹣1+ ×

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当且仅当 x=1,y=1 时取等号, 故 2x+y 的最小值为 3, 故答案为:3. 三、解答题(共 3 小题,满分 30 分) 17.设 p:对任意的 x∈R,不等式 x2﹣ax+a>0 恒成立,q:关于 x 的不等式组 的解集非空,如果“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】分别求出 p,q 成立的 x 的范围,结合 p,q 一真一假,求出 a 的范围即可. 【解答】解:由已知要使 p 正确,则必有△=(﹣a)2﹣4a<0, 解得:0<a<4, 由 ≥0,解得:x≤﹣3 或 x>2,

∴要使 q 正确,则 a>2, 由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题, 得 p 和 q 有且只有一个正确, 若 p 真 q 假,则 0<a≤2, 若 p 假 q 真,则 a≥4, 故 a∈(0,2]∪[4,+∞) . 18.已知函数 f(x)=﹣x4+ax3+ bx2 的单调递减区间为(0, ) , (1,+∞) . (1)求实数 a,b 的值; (2)试求当 x∈[0,2]时,函数 f(x)的最大值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出函数的导数,根据关于导函数的方程,求出 a,b 的值即可; (2)求出函数导数,列出表格,求出函数的单调区间,从而求出在闭区间上的最大值即可. 【解答】解: (1)f'(x)=﹣4x3+3ax2+bx=﹣x(4x2﹣3ax﹣b) ,… ∵函数 f (x)的单调递减区间为(0, ) , (1,+∞) , ∴方程﹣x(4x2﹣3ax﹣b)=0 的根为 x1=0,x2= ,x3=1,… 即 4x2﹣3ax﹣b=0 的根为 x2= ,x3=1, 于是 = +1,﹣ = ,解得 a=2,b=﹣2,… (x)=﹣x4﹣2x3+x2,f'(x)=﹣2x(2x﹣1) (x﹣1) , (1, 1) 1 0 (0, ) ( , +∞) 0 0 0 ﹣ + ﹣ ↘ ↗ ↘ 极大值 极小值 极大值

(2)由(1)知,f (﹣∞, x 0) f'(x) + f (x) ↗ …

第 11 页(共 16 页)

∴f (x)在[0, ]上单调递减,在[ ,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, 又∵f (0)=0,f (1)=0, ∴f (x)在[0,2]有最大值 0.… 19.已知 f(x)=﹣ x2﹣lnx,设曲线 y=f(x)在 x=t(0<t<2)处的切线为 l. (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)求切线 l 的倾斜角 θ 的取值范围; (3)证明:当 x∈(0,2)时,曲线 y=f(x)与 l 有且仅有一个公共点. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求解定义域,导数 f'(x)=﹣ x﹣ ,判断 f'(x)<0,求解单调区间. (2)求解导数的取值范围 f'(t)<﹣1,利用几何意得出切线的斜率范围为(﹣∞,﹣1) , 再根据三角函数判断即可. (3)构造 g(x)=f (x)﹣[f'(t) (x﹣t)+f(t)],则 g'(x)=f'(x)﹣f'(t) , 二次构造 h(x)= ,则当 x∈(0,2)时,

>0, 运用导数判断单调性求解即可. 【解答】解: (1)f (x)的定义域为(0,+∞) , 由 f (x)= ﹣lnx,得 f'(x)=﹣ x﹣ ,

∴f'(x)<0,于是 f (x)在(0,+∞)上是减函数; (2)由(1)知,切线 l 的斜率为 ∴ ≤﹣2 ,t>0, =﹣1, (当且仅当 ,即 t=2 时取“=”)

∵0<t<2, ∴f'(t)<﹣1,即切线的斜率范围为(﹣∞,﹣1) , ∴l 的倾斜角 θ 的取值范围为( , ) .

(3)证明:曲线 y=f (x)在 x=t 处的切线方程为 y=f'(t) (x﹣t)+f(t) . 设 g(x)=f (x)﹣[f'(t) (x﹣t)+f(t)],则 g'(x)=f'(x)﹣f'(t) , 于是 g(t)=0,g'(t)=0. 设 h(x)= ,则当 x∈(0,2)时, >0,

∴g'(x)在(0,2)上是增函数,且 g'(t)=0, ∴当 x∈(0,t)时,g'(x)<0,g(x)在(0,t)上是减函数; 当 x∈(t,2)时,g'(x)>0,g(x)在(t,2)上是增函数, 故当 x∈(0,t)或 x∈(t,2) ,g(x)>g(t)=0, ∴当且仅当 x=t 时,f(x)=f'(t) (x﹣t)+f(t) , 即当 x∈(0,2)时,曲线 y=f(x)与 l 有且仅有一个公共点.

第 12 页(共 16 页)

以下是选做题,考生只需在第 20、21、22 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分,作答时请写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 20.如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交 于 E 点,F 为 CE 上一点,且∠EDF=∠ECD. (1)求证:△DEF∽△PEA; (2)若 EB=DE=6,EF=4,求 PA 的长.

【考点】相似三角形的判定. 【分析】 (1)证明∠APE=∠EDF.又结合∠DEF=∠AEP 即可证明△DEF∽△PEA; (2)利用△DEF∽△CED,求 EC 的长,利用相交弦定理,求 EP 的长,再利用切割线定理, 即可求 PA 的长. 【解答】 (本题满分为 10 分) 解: (1)证明:∵CD∥AP, ∴∠APE=∠ECD, ∵∠EDF=∠ECD, ∴∠APE=∠EDF. 又∵∠DEF=∠AEP, ∴△DEF∽△PEA.… (2)∵∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED, ∴△DEF∽△CED, ∴DE:EC=EF:DE,即 DE2=EF?EC, ∵DE=6,EF=4,于是 EC=9. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE?EA=CE?EB. … 又由(1)知 EF?EP=DE?EA,故 CE?EB=EF?EP,即 9×6=4×EP, ∴EP= . … ,PC=PE+EC= , × ,进而 PA= .…

∴PB=PE﹣BE=

由切割线定理得:PA2=PB?PC,即 PA2=

[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 0 分)

第 13 页(共 16 页)

21.设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ. (1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,点 A(1,0) ,求 + 的值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ,利用互化公式可 得直角坐标方程. (2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程可得:3t2﹣8t﹣16=0,可得|t1﹣ t2|= , + = = .

【解答】解: (1)由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ,可得直角坐 标方程:y2=4x. (t 为参数)代入曲线 C 的直角坐标方程可得:3t2﹣

(2)把直线 l 的参数方程

8t﹣16=0, ∴t1+t2= ,t1t2=﹣ ∴|t1﹣t2|= . = = .



+

=

=

=

=



[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 22.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2| (1)解不等式 f(x)≥3 (2)若不等式|a+b|+|a﹣b|≥af(x) (a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数 x 的范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)由已知条件根据 x≤1,1<x<2,x≥2 三种情况分类讨论,能求出不等式 f(x) ≥3 的解集. (2)由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af(x) ,得 ≥f(x) ,从而得到 2≥|x﹣1|+|x

﹣2|,由此利用分类讨论思想能求出实数 x 的范围. 【解答】解: (1)当 x≤1 时,f(x)=1﹣x+2﹣x=3﹣2x, ∴由 f(x)≥3 得 3﹣2x≥3,解得 x≤0, 即此时 f(x)≥3 的解为 x≤0;
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当 1<x<2 时,f(x)=x﹣1+2﹣x=1,∴f(x)≥3 不成立; 当 x≥2 时,f(x)=x﹣1+x﹣2=2x﹣3, ∴由 f(x)≥3 得 2x﹣3≥3,解得 x≥3,即此时不等式 f(x)≥3 的解为 x≥3, ∴综上不等式 f(x)≥3 的解集为{x|x≤0 或 x≥3}. (2)由不等式|a+b|+|a﹣b|≥af(x) ,得 又∵ ≥ =2, ≥f(x) ,

∴2≥f(x) ,即 2≥|x﹣1|+|x﹣2|, 当 x≥2 时,2≥x﹣1+x﹣2,解得 2≤x≤ ; 当 1≤x<2 时,2≥x﹣1+2﹣x,即 2≥1,成立; 当 x<1 时,2≥1﹣x+2﹣x,解得 x ∴实数 x 的范围是[ , ]. ,即 .

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2016 年 9 月 2 日

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