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2014年湖南省高考理科数学试题Word版[1]


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 z ?i ? i (i为虚数单位) 1.满足 的复数 z ? z 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. ? ? i D. ? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,学科网当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和 分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 , p2 , p3 , 则 A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D. p1 ? p2 ? p3

3.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x2 ? 1,

则f (1) ? g (1) =
A.-3 B.-1 C.1 D.3 1 4. ( x ? 2 y )5 的展开式中 x 2 y 3 的系数是 zxxk 2 A.-20 B.-5 C.5 D.20 5.已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y; 命题q : 若x ? y, 则x2 ? y 2 . 在命题 ① p ? q ② p ? q ③ p ? (?q) ④ (?p) ? q 中,真命题是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

6.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于 A . [?6, ?2] B . [?5, ?1] C . [?4,5] D . [?3, 6]

7.一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最 大球的半径等于 A.1 B.2 C.3 D.4

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年 生产总值的年平均增长率为 p?q ( p ? 1)( q ? 1) ? 1 A. B. 2 2 9.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ), 且 ? A. x ?
5? 6
2? 3 0

C. pq

D. ( p ? 1)(q ? 1) ?1

f ( x)dx ? 0, 则函数 f ( x) 的图象的一条对称轴是

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

1 10.已知函数 zxxk f ( x) ? x 2 ? e x ? ( x ? 0)与g ( x) ? x 2 ? ln( x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对称的点, 2 则 a 的取值范围是

A. (??,

1 ) e

B. (??, e )

C. ( ?

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,学科网如果全做,则按前两题记 分) 11. 在平面直角坐标系中, 倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C : ? 交于 A,B 两点, ,(?为参数) 4 ? y ? 1 ? sin ?

|AB |=2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 则

12.如图 3,已知 AB, BC 是 O 的两条弦, AO ? BC, AB ? 3, BC ? 2 2, 则 O 的半径等于

5 1 13.若关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? 3 的解集为 {x | ? ? x ? } ,则 a ? 3 3 (二)必做题(14-16 题)

? y?x ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 k ? ? y?k ?

15.如图 4,正方形 ABCD和正方形DEFG 的边长分别为 a, b(a ? b) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物

b 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则 ? a

16.在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0, 3), C(3,0), 动点 D 满足 的最大值是 | CD |? 1, 则| OA ? OB ? OD | 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 2 3 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发 3 5 新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲、乙两组的研发相互独立. (I) 求至少有一种新产品研发成功的概率; (II) 若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企 业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD=, 1 CD=2,AC= 7. (I) (II) 求 cos ?CAD 的值; 若 cos ?BAD ? ?
7 21 ,sin ?CBA ? , 求 zxxk BC 的长. 14 6

19. (本小题满分 12 分)如图 6,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的所有棱长都相等,

AC

BD ? O, AC 1 1
(I) (II)

B1D1 ? O1 , 四边形 ACC1 A1和四边形BDD1B1 均为矩形.
证明: O1O ? 底面ABCD; 若 ?CBA ? 60 , 求二面角C1 ? OB1 ? D 的余弦值.

20. (本小题满分 13 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1,| an?1 ? an |? pn , n ? N *. (I) (II) 若{ an }是递增数列,且 a1 , 2a2, 3a3 成等差数列,求 p 的值;
1 ,且{ a2n?1 }是递增数列,{ a2 n }学科网是递减数列,zxxk 求数列{ an }的通 2 项公式.

若p?

21. (本小题满分 13 分) 如图 7,O 为坐标原点, 椭圆 C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率为 e1 ; a 2 b2

x2 y 2 3 双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 .已知 e1e2 ? , 且 | F2 F4 |? 3 ?1. a b 2

(I) (II)

求 C1 , C2 的方程; 过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB 的中点. 当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时, 求四 边形 APBQ 面积的最小值.

22. (本小题满分 13 分) 已知常数 a ? 0,函数f ( x) ? ln(1 ? ax) ? (I) (II)
2x . x?2

讨论 f ( x) 在区间 (0, ??) 上的单调性; 若 f ( x) 存在学科网两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 求 a 的取值范围.


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