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2016山西重点中学协作体高二第一次联考数学


2016 年山西重点中学协作体高二下学期第一次联考 数 学 试 题

C.③④ 5. 方程 A.(﹣2, )

D.②③④
表示的曲线是圆,则 a 的取值范围是( )

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间 150 分钟, 满分 150 分。

B.(﹣∞,﹣2)∪(



,﹢∞)

C.R

D. (﹣

,2,)

1 6. 已知 f(x+1)为偶函数, 且 f(x)在区间(1, +∞)上单调递减, a=f(2)、 b=f(log32)、 c=f( ), 2

第Ⅰ卷(选择题

60 分)

则有 ( A.a<b<c C.c<b<a

) B.b<c<a D.a<c<b

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的 ABCD 四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 U=R,集合 A={x| A.A∩B B.A∪B

7.已知函数 f(x)=x2 的图象在点 A(x1,f(x1))与点 B(x2,f(x2))处的切线互相垂直,并交于点 P, ) 则点 P 的坐标可能是( 3 A.(- ,3) 2 ) 8. 在正方体
取一条,它与对角线 的各个 顶点与各棱的中点共 20 个点中,任取 2 点连成直线,在这些直线中任 垂直的概率为( ) .

x-1 <0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( x
C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)

) C.(2,3) 1 D. (1,- ) 4

B.(0,-4)

2.设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5 5 Sn 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 ( 2 4 an A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1

A.

B.

C.
)共线,则存在实数 ,使得

D. ”则其逆命题、否命

9. 设原命题为:“若空间两个向量 与 ( 题、逆否命题为真的个数( A.1 ) B.2

4.下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

C.3 )

D.4

10.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+

b b

a a

B. > D.

b b+1 a a+1
2a+b a > a+2b b

1 1 C.a- >b- ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( A.①②③ ) B.②④

?x+y≥3, 11.设变量 x,y 满足约束条件:?x-y≥-1, ?2x-y≤3,
第 1 页 共 5 页

则目标函数 z=

y+1 的最小值为( x

)

A.5

B.2

C.1

D.3

18. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是 a、b、c,满足 b2+c2=bc+a2.(12 分) (1)求角 A 的大小;

12.三角形 ABC 中,

分别为

的对边,如果

成等差数列,



(2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数 列,求{ 4

的面积为

,那么 为(



anan+1

}的前 n 项和 Sn.

A.

B.

C.

D.

19.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c. 已知 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.(12 分) (1)求 的值;

第Ⅱ卷(非选择题)90 分
二.填空题:本大题共 4 小题,共 20 分.
13.设 p:

c a

1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b. 4

x x-2

<0,q:0<x<m,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m 的取值范围是________. 20. 已知动圆
;设 时, 。给出以下 为曲线 与圆 相切,且与圆 为坐标原点,过点 作 相内切,记圆心 的平行线交曲线 的轨迹为曲线 于 两

2π 2π 14.函数 y=log3(2cosx+1),x∈(- , )的值域为___. 3 3 15.定义在
结论: 上的函数 :当 ≤ 时, ;当

上的一个不在 轴上的动点,

个不同的点.

(Ⅰ)求曲线 是周期函数;② 的最小值为 ;③当且仅当 时, ;⑤ 。 . 时, 取最大 (Ⅱ)试探究 (Ⅲ)记

的方程; 和 的面积为 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由; , 的面积为 ,令 ,求 的最大值.



值; ④当且仅当 低点的距离是 。其中正确命题的序号是

的图象上相邻最

2 1 16.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是

x y

21.在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时必须写出必要文字说明。
17. 已知函数 f(x)=sinx+acosx 的一个零点是 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f(x)]2-2sin2x,求 g(x)的单调递增区间. 3π .(10 分) 4

x 台某种产品的收入为 R(x)元,成本为 C(x)元,且 R(x)=3 000x-20x2,C(x)=500x+4 000(x
∈N*).现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台. (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.

第 2 页 共 5 页

∴g(x)的单调递增区间为[kπ - 22.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0.(12 分) (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 又∵A∈(0,π ),∴A=
2 2 2

3π π ,kπ + ](k∈Z). 8 8

b2+c2-a2 bc 1 1 18.[解析] (1)∵b +c -a =bc,∴ = = ,∴cosA= , 2bc 2bc 2 2
π . 3 1 =2,且 a2 4=a2·a8, cosA ∴d=2,∴an=2n.

(2)设{an}的公差为 d,由已知得 a1=

∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且 d 不为零, ∴ 4

anan+1 n



1 n+1

1 1 = - , n n+1

参考答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 11 12 A C B

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1- )+( - )+( - )…+( - )=1- = . 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 19.[解析] (1)在△ABC 中,有

a
sinA



b
sinB



c
sinC

=2R,

又 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,则 sinB(cosA-2cosC)=2(sinC-sinA)cosB,

13.(2,+∞)
17.[解析]

14. (-∞,1]

15.①④⑤

16.-4<m<2.

即 sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB, ∴sin(A+B)=2sin(B+C)? sinC=2sinA? =2.(也可用余弦定理求解) (2)由(1) =2? c=2a,又 a+b+c=5,∴b=5-3a.

3π (1)依题意,得 f( )=0, 4 ∴a=1.

c a

3π 3π 2 2a ∴sin +acos = - =0, 4 4 2 2 (2)由(1)得 f(x)=sinx+cosx,

c a

由余弦定理得:b2=c2+a2-2accosB,
2 2

∴g(x)=[f(x)] -2sin x=(sinx+cosx) -2sin x =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ π ). 4

2

2

1 ∴(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2× ? a=1,或 a=5, 4 当 a=1? b=2,当 a=5 与 a+b+c=5 矛盾.故 b=2. 20.[解析] (I)设圆心 的坐标为 由于动圆 圆 与圆 与圆
,半径为

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 得, 2 4 2

相切,且与圆 只能内切

相内切,所以动

kπ -

3π π ≤x≤kπ + ,k∈Z 8 8

第 3 页 共 5 页

………………………………………2 分 圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆,其中 ,

到直线

的距离

…………………………11 分 令 故圆心 (II)设 的轨迹 : …………………………………………………………4 分 ,直线 ,则直线 ,则

(当且仅当 由 可得: , 当 ……………………………6 分 时, 取最大值

,即

,亦即

时取等号)

……………………………………………………12 分

21.[解析](1)由题意,得 x∈[1,100],且 x∈N*.

P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000,
由 可得:

MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2
480-40x. 125? ? (2)P(x)=-20?x- ?2+74 125, 2 ? ? 当 x=62 或 x=63 时,P(x)取得最大值 74 120 元; 因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数, ………………………………8 分 所以当 x=1 时,MP(x)取得最大值 2 440 元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元. [答案](1)P(x)=-20x2+2 500x-4 000,MP(x)=2 480-40x;(2)71 680 元. 22.[解析] (1)由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+b=-1,

则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, 和 (III) 的比值为一个常数,这个常数为 , 的面积 ……………………………………9 分 的面积, 第 4 页 共 5 页

f ′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex
依题意须对于任意 x∈(0,1),有 f ′(x)<0.

当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上,而 f ′(0) =-a<0,所以须

f ′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1;
当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f ′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈(0,1),f ′(x)=-xex<0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因 f ′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex,g′(x)=(-2ax+1-a)ex, (ⅰ)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x =1 处取得最大值 g(1)=e. (ⅱ)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处 取得最大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. (ⅲ)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= ①若 1-a >0. 2a

1-a 1 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得 2a 3

最小值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. ②若 1-a 1 1-a 1-a 1-a <1,即 <a<1 时,g(x)在 x= 处取得最大值 g( )=2ae , 2a 3 2a 2a 2a

在 x=0 或 x=1 处取得最小值,而 g(0)=1+a, g(1)=(1-a)e, 1 e-1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 当 e-1 <a<1 时,g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. e+1

第 5 页 共 5 页


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