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江苏省泰州市2013届高三上学期期末考试数学试题


泰州 2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学试题
(考试时间: 120 分钟 总分 160 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答 题线上. ) 1.已知集合 A= ? ,2,3?,B= ? ,2,5?,则 A∩B

= 1 1
z1 z2



. D C

2.设复数 z1=2+2i,z2=2-2i,则

=



.

3 . 若 数 据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ,3 的 平 均 数 为 3 , 则 数 据
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 的平均数为
2 2



.

A (第 6 题图)
开始

B

4.设双曲线

x

?

y

4

5

? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为

P ← 0 n 1 P ←P
?

双曲线上位于第一象限内的一点,且△PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐 标为 ▲ . 5.曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点 坐标为 ▲ . 6.如图,ABCD 是一个 4×5 的方格纸,向此四边形 ABCD 内抛撒一粒 豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ . 7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f (a ) ? f (b), 则
f (?a)



1 n ( n ? 1)

n ← n+1 n=6 Y
输出 P 结束

N



f ( ?b) (用 " ?" 或" ?" 填空).

8. 在空间中,用 a, b, c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下 列四个命题: ①若 a // b , b // c ,则 a // c ; ②若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ;

③若 a // ? , b // ? ,则 a // b ; ④若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ;

(第 9 题图)

其中真命题的序号为 ▲ . 9. 右图是一个算法流程图,则输出的 P= ▲ . 2 2 10. 已知点 P(t,2t)(t≠0)是圆 C:x +y =1 内一点,直线 tx+2ty=m 与圆 C 相切,则直线 x+y +m =0 与 圆 C 的位置关系是 ▲ . 11. 设 a∈R,s:数列{ ?n ? a ? }是递增的数列;t: a ? 1.则 s 是 t 的
2



条件.(填“充分

不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要”中的一个). 12.各项均为正数的等比数列{an}中,若 a1≥1,a2≤2,a3≥3,则 a4 的取值范围是

▲ . 13. 已知六个点 A1(x1,1),B1(x2,-1),A2(x3,1),B2(x4,-1),A3(x5,1),B3(x6,-1) x1<x2<x3<x4<x5 <x6, 6-x1=5 ( x π )都在函数 f(x)=sin(x+
?
3

)的图象 C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线 C 上,则 ▲ .(两点不计顺序)
f ( x1 ) f ( x2 )

称此两点为“好点组” ,则上述六点中好点组的个数为

14. 已知 f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 ▲ .

的取值范围是

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分)已知向量 a =(cosλθ,cos(10-λ)θ) b =(sin(10-λ)θ,sinλθ), λ、θ∈R. , (1)求 a + b 的值; (2)若 a ⊥ b ,求 θ; (3)若 θ=
?
20
2 2

?

?

?

?

,求证: a ∥ b .

?

?

16. (本题满分 14 分) 在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC, SA=AB=AC=
3 3

BC, D 是 BC 边的中点, E 是线段 AD 上一点, 点 点



AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 AM⊥平面 SBC,求证 EM∥平面 ABS.

17. (本题满分 14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方 的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁 剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC. (1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

形 皮

y 18. (本题满分 16 分)直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

B2 N

? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是
3 5

A1,A2,上、 A1 O B1 y

P x

下顶点为 B2,B1,点 P(

(m>0)是椭圆 C 上一 a ,m)

M

A2

点,PO⊥A2B2,直线 PO 分别交 A1B1、A2B2 于点 M、N. (1)求椭圆离心率; (2)若 MN=
4 21 7

,求椭圆 C 的方程; R O F1 Q x

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限 内的点,F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,RQ 平分∠F1RF2 且与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围.

F2

19. (本题满分 16 分)已知数列 an=n-16,bn=(-1)n|n-15|,其中 n∈N*. (1)求满足 an+1=|bn|的所有正整数 n 的集合; (2)若 n≠16,求数列
bn an

的最大值和最小值;

(3)记数列{an bn}的前 n 项和为 Sn,求所有满足 S2m=S2n(m<n)的有序整数对(m,n).

20. (本题满分 16 分)已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)).如果 直线 AB 的斜率为1 2

,求函数 f(x)和 f′ (x)的公共递减区间的长度 ;

(3)若 f(x)≥mxf′ (x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件.

2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)
21.[选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分。 A.(本小题满分 10 分,几何证明选讲)如图⊙O 的两弦 AB,CD 所在直线交于圆外一点 P. B A (1)若 PC=2,CD=1,点 A 为 PB 的中点,求弦 AB 的长; (2)若 PO 平分∠BPD,求证:PB=PD. P ? O C D B.(本小题满分10分,矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(1,0),(0, 2 )分别变换成点(1,1), (- 2 , 2 ). (1)试求变换 T 对应的矩阵 M; (2)求曲线 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程.

C.(本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)已知直线 l : ?
? x ? 2 cos? ( ? 为参数)相交于 A,B 两点,m 为常数. ? ? y ? m ? 2 sin ?

?x ? 1 ? t ? y ? ?t

(t 为参数)与圆 C:

(1) 当 m=0 时,求线段 AB 的长; (2) 当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值.

D.(本小题满分 10 分,不等式选讲)若 a, b, c ∈R+, a ? 2 b ? 3 c =6. (1)求 abc 的最大值; (2)求证
a?6 a ? b?3 b ? c?2 c

≥12.

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 22.(本小题满分 10 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD、DC 的中点. D1 C1 (1)求直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值; 1 B1 A1 (2)设直线 BC1 上一点 P 满足平面 PAC∥平面 EFD1,求 PB 的长. D A E F B C

23.(本小题满分 10 分)如图 A1(x1 ,y1)(y1<0)是抛物线 y y2=mx(m>0)上的点,作点 A1 关于 x 轴的对称点 B1,过 B1 作与抛物线在 A1 处的切线平行的直线 B1A2 交抛物线 于点 A2. B1 (1)若 A1(4,-4),求点 A2 的坐标; O x (2)若△A1A2B1 的面积为 16,且在 A1,B1 两点处的切线 A1 互相垂直. ①求抛物线方程; A2 ②作 A2 关于 x 轴的对称点 B2,过 B2 作与抛物线在 A2 处的切线平行的直线 B2A3, 交抛物线于点 A3,?,如此继续下去, 得一系列点 A4,A5,?, An(xn,yn), 设

求满足 xn≥10000x1 的最小自然数 n.

2012~2013 学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案
一填空题
1 1. ? ,2?

2.i

3.3 4. ?

?6 5 ? ,2 ? 5.(0,1) ? 5 ? ? ? ? ?

6.0.2 7.< 8. ①④ 9.
? 2? ?

5 6

10.相交

11.必要不充分 12. ? ,8? ?2 ? 二 解答题

?9

?

13.11

14. ?1 ?

2 2

,2 ?

15. (1)∵| a |= cos2λθ+cos2(10-λ)θ ,| b |= sin2(10-λ)θ+sin2λθ (算 1 个得 1 分) | a |2+| b |2=2,………………………………………………………………4 分 (2)∵ a ⊥ b ,∴cos ? ? · sin(10- ? ) ? +cos(10- ? ) ? · ? ? =0 sin ∴sin((10- ? ) ? + ? ? )=0,∴sin10 ? =0????????????????7 分 ∴10 ? =kπ,k∈Z,∴ ? = (3)∵ ? = =cos =cos
?
20 k? 10

?

?

?

?

?

?

,k∈Z……………………………………..........9 分

, cos ? ? · ? θ-cos(10- ? ) ? · sin sin[(10- ? ) ? ] · sin · sin
??
20

??
20

-cos( -sin
??
20

?
2



??
20

)· sin(

?
2



??
20

)

??
20

??
20

· cos

??
20

=0,
?

∴ a ∥ b ………………………………………………..…………………………….. 14 分 16. (1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,???????????????? 2 分
SA ? 面ABC ? SA ? BC BC ? 平面SAD ? ? ?? ?? ? ? BC ? AM ……………..7 分 AD ? SA ? A? BC ? 面ABC ? AM ? 面SAD ?

?

(证到 SA⊥平面 SAD 得 5 分) (2)∵AM ? 面 SAB, ? AM ? SD,
ME // SA ? SM ? 4 MD ? ? ? ? ME ? 平面ABS? ? EM∥面 ABS……………14 分 AE ? 4 DE ? ? SA ? 平面 ?

(证到 SM=4MD 得 10 分,得到 ME‖SA 得 12 分。 ) 17. (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 ∵∠MQD=30°,∴MQ=
1 2

,OQ=

3 2
1 2

(算出一个得 2 分)

S△ PMN= (2)设∠MOQ=θ,∴θ∈[0, ∴S△ PMN=
1 2

MN· AQ=

1 2

×

3 2

×(1+

3 2

)=

6?3 3 8

……………….……… 6 分

?
2

] ,MQ=sinθ,OQ=cosθ

MN· AQ=

1 2

(1+sinθ)(1+cosθ) =
1 2
1 2

(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)……………………………….11 分

令 sinθ+cosθ=t∈[1, 2 ] ,∴S△ PMN=

(t+1+

t ?1
2

)

2
3? 2 2 4

θ=
3a 5
KA
2 B2

?
4

,当 t= 2 ,∴S△ PMN 的最大值为

.………………………..……………14 分

18. (1)P(

,

4b 5

),??????????????????????1 分
1 2

· OP=-1,∴4b2=3a2=4(a2-c2), ∴a2=4c2, ∴e= K
4 21 7

① …………………………4 分

(2)MN=

=
1 a
2

2 ? 1 b
2

,∴

a ?b
2

2

a b

2

2

?

7 12



由①②得,a2=4,b2=3, ∴

x

2

?

y

2

? 1 ………………………………………… .8 分

4

3
RF 2 · RQ RF 2 · RQ

(3)cosα=cosβ,∴

RF 1 · RQ RF 1 · RQ

=

………………………….………….10 分



( ?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y0
2 2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y 0
2 2

化简得: ∴t=-

1 3

y0…………………………….................................................14 分
3 3

∵0<y0< 3 ,t∈(-

,0) …………………………………………………………..16 分

19. (1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立, 当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈N*}……………………………………….…………….…………….4 分 (2)
bn an

=

( ?1) n ? 15
n

n ? 16 bn an
n ? 15 n ? 16 1 n ? 16

(i)当 n>16 时,n 取偶数

=

=1+

当 n=18 时(

bn an

)max=

3 2

无最小值

n 取奇数时

bn an

=-1-

1 n ? 16

n=17 时(

bn an

)min=-2 无最大值 ???????????????????????8 分

(ii)当 n<16 时,

bn an

=

( ?1) ( n ? 15)
n

n ? 16
1 n ? 16 13 14

当 n 为偶数时

bn an

=

? ( n ? 15) n ? 16 1 2

=-1-

n=14 时(

bn an bn an

)max=-



bn an
1

)min=-

当 n 奇数

=

n ? 15 n ? 16

=1+

n ? 16

, n=1 , (

bn an

)max=1-

1 15

=

14 15



n=15, (

bn an

)min=0

???????????????????????????11 分

综上,

bn an

最大值为

3 2

(n=18)最小值-2(n=17)……………….……..……………….12 分

(3)n≤15 时, n=(-1)n-1(n-15), 2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 , b a n>15 时, n=(-1)n(n-15), 2k-1b2k-1+a2kb2k=2 b a (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0

? S16=S14
/

m=7, n=8…………………………………………………………….16 分

20. (1) f ( x) ? ( x ? b)?3 x ? (2a ? b)? ???????????????????1 分
? a ? b ?b ?
2a ? b 3

? f ( x ) ? 0 有两不等 b 和
,

2a ? b 3

? f(x)存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4 分

(2)①若 a=b,f(x)不存在减区间 ②若 a>b 时由(1)知 x1=b,x2=
? 2a ? b 2( a ? b) ,? ? A(b,0)B ? ? 3 9 ?
2( a ? b) ? 9 2a ? b 3
2

2a ? b 3

2

? ? ? ?

?? ?b

1 2

? 2( a ? b)

2

? 3( a ? b)

?a ? b ?

3 2

3 ○当 a<b 时 x1=
2a ? b 3

,x2=b。
3 2

同理可得 a-b=

(舍) 综上 a-b=
3 2

………………………………………………..………………………….7 分
,

? f (x ) 的减区间为 (b,

2a ? b 3

, ) 即(b,b+1) f (x)减区间为 ( ??, b ?
1 2

1 2

)

∴公共减区间为(b,b+ (3) f ( x) ? mxf ( x)
/

)长度为

1 2

…………………………….……………………10 分

? ( x ? a )( x ? b) ? m ? x ( x ? b)?3 x ? ( 2a ? b)?
2

? ( x ? b) (1 ? 3m) x ? ?m( 2a ? b) ? ( a ? b)?x ? ab ? 0
2

?

?

若m ?

1 3

,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因

式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同, 因此不可能恒非负。
?m ? 1 3

???????????????????????????????12 分

? ( x ? b)?( a ? 2b) x ? 3ab ? ? 0

若 a+2b=0, a ? ?2b ,? a ? b =0,

若 a ? 2b ? 0

则 x1 ? b , x 2 ?

3ab a ? 2b

? a ? 2 b ?0 ? ? 3 ab b? ? a?2b
①b=0 ②b ? 0 则 a<0,
3a a ? 2b ?1

? a ? b 且 b<0

综上 ? m ?

1 3

a ? b ? 0 ………………………………………………………………..16 分

附加题 21.A.解(1)∵PA· PB=PC· PD,AB=CD,∴AB· 2AB=2×3,∴AB= 3 ……………….5 分 (2)作 OM⊥CD 于 M,ON⊥AB 于 N,∵PO 平分∠BPD,∴OM=ON∴AB=CD, ∴点 M 平分弦 CD,点 N 平分弦 AB,??????????????????7 分 又∵ ? PON≌ ? POM,∴PN=PM, ∴PB=PD………………………………………………………..…………………….10 分 B.解: (1)设矩阵 M=

? ? 依题意得, ? ?= ? ? ? ? ? ?
ab

x'

ab

x

x '? ax ? by y '? cx ? dy

cd

y'

cd

y

, (1,0)变换为(1,1)得:

a=1,c=1,(0, 2 ) 变换为(- 2 , 2 ) 得: b=-1,d=1

所求矩阵 M= ?1,1 ? ……………………………………………………………………………5 分
1, ?1

(2)变换 T 所对应关系 ? y '? x ? y
x '? x ? y

? x? 解得 ? y '2 x ' ? y? 2 ?

x '? y '

??????????????????7 分

代入 x2-y2=1 得:x′y′=1 故 x2-y2=1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程得 xy=1 ………………………………10 分 C.解 : (1)直线 l:x+y-1=0 曲线 C:x2+y2=4 圆心到直线的距离为 d=
1 2

AB=2 r ? d = 14 …………………………………………………………………..5 分
2 2

(2)x2+(y-m)2=4,x+y-1=0 d=
m ?1 2

=1

∴m-1= ± 2

m=1+ 2 或 m=1- 2 ………………..……………..10 分

D.解: (1)∵a,b,c∈R+,a+2b+3c=6 ∴abc=
1 6

a· 3c≤ 2b·
2 3

1 6

(

a ? 2b ? 3c 3

)3=

4 3 4 3

当 a=2,b=1,c= (2)∵ 而(
6 a a?6 a

时取等号,∴abc 的最大值为 =3+
6 a

……………………….…..5 分

+
2 c

b?3 b

+

c?2 c

+

3 b

+

2 c 6 a

+

3 b

+

) (a+2b+3c) ≥( 6 + 6 + 6 )2=54∴ ∴
a?6 a

+

3 b

+

2 c

≥9

+

b?3 b

+

c?2 c

≥12…………………………………..…………………..…….10 分

22.解

建立以 D 点为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴 , DD1 所在直线为 z 轴

的空间直角坐标系

D 1(0,0,2) , A(2,0,0) , B(2,2,0),E(1,0,0)

,C1(0,2,2),F(0,1,0) . BC1 =(-2,0,2) , D1 E =(1,0,-2),

EF =(-1,1,0).设平面 D1EF 的法向量 n =(x1,y1,z1),



?

n. D1E ?0 n. EF ?0

?

?

X1 ?2 z1 ?0

? X1 ?Y1 ?0

令 X1=2,则 n =(2,2,1)??????????????????? 3 分
?2
2 6

cos∠ n , BC1 >=

=-

2 2. 3

∴直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值为 (2) BP = ? BC1 =(-2 ? ,0,2 ? )

2 6

………………………..………………..5 分

AP = AB + BP =(-2 ? ,2,2 ? )

n . AP =-4 ? +4+2 ? =0

∴ ? =2??????????????????? 8 分

∵AP 不在平面 EFD1 内,AP∥平面 EFD1,又 AC∥EF,EF ? 平面 EFD1, ∴AC∥平面 EFD1 又 AP 于 AC 相交于点 A , ∴平面 PAC∥平面 EFD1, BP =(-4,0,4), BP =4 2 ….10 分
m 2 x

23.解:(1) m=4,设 A2(x2,-2x2),y=- mx ,y′=-
2 x2 ? 4 x2 ? 4

,B(4,4)



=

1 2

∴x2=36 ∴A2(36,-12) ……………….………………….………3 分

(2) ①设 A1,B1 处切线的斜率分别为 K1,K2,K1?K2=-1 ∴(-
m 2 x1

).

m 2 x1

=-1

1 ∴m=4x1○

设 A2(x2,- mx 2 ) 又 S=
1 2



?

mx 2 ? x 2 ? x1

mx1

=-

1 2 mx1

2 ∴x2=9x1○

3 ×2 mx1 (x2-x1)=16 ○

1 2 3 由○○○知 x1=1,m=4

∴抛物线方程为 y2=4x…………………………………………………………………..……6 分 ② 由(2)知
? mx n ? mx n ?1

x n ? x n ?1

m =- ,∴xn=9xn-1,∴数列 ?x n ?为等比数列, 2 xn-1

∴x19n-1≥10000x1 ∴n≥6 ∴n 最小值为 6………………………………………………………………………10 分

2012——2013 学年度第一学期泰州市期末联考

高三数学试题评讲建议
2013.元.30 12.各项均为正数的等比数列{an}中,若 a1≥1,a2≤2,a3≥3,则 a4 的取值范围是 ▲ . 【答案】 ? ,8? ?2 ? 【分析】 (i)大量的不等式应该联想到线性规划 (ii)取对数可将乘、指数运算转化为线性运算
?9 ?

【解答】
a1 ? 1 ? ? ? a 2 ? a1 q ? 2 ?? , 2 ?a 3 ? a1 q ? 3 ? a ? a q3 4 1 ? lg a1 ? 0 ? ? ? lg a1 ? lg q ? lg 2 ?? ? lg a1 ? 2 lg q ? lg 3 ?lg a ? lg a ? 3 lg q 4 1 ?

令 lg a1 ? x, lg q ? y , lg a 4 ? t
x?0 ? ? ? x ? y ? lg 2 则? ? ,根据线性规划知识可得。 ? x ? 2 y ? lg 3 ? t ? x ? 3y ?

【变式】江苏高考 2010 第 12 题: 3 ? xy ? 8,4 ?
2

x

2

? 9 ,则

x y

3 4

的最大值是



.

y

13. 已知六个点 A1(x1,1),B1(x2,-1),A2(x3,1),B2(x4,-1),A3(x5,1),B3(x6,-1) x1<x2<x3<x4<x5 < (

x6,x6-x1=5π)都在函数 f(x)=sin(x+

?
3

)的图象 C 上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在 ▲ .(两点不计

曲线 C 上,则称此两点为“好点组” ,则上述六点中好点组的个数为 顺序) 【答案】11 【分析】 (i)对称关系不因平移而改变,? y ? sin x 与 f(x)=sin(x+ (ii)根据周期性只要研究 [0,6? ] (iii)树形图可避免重复或遗漏。 【解答】
?
3

)对称关系没有变。

X2 (X3) X1 X4 X5 X6 14. 已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则 ▲ .
2

f ( x1 ) f ( x2 )

的取值范围是

【答案】 ?1 ?
?

?

2 2

,2 ?

? 2? ?

【分析】 (i)法一:目标函数法 ①分类讨论去绝对值找 x1 , x 2 的关系。 ②将
f ( x1 ) f ( x2 )

化为一个变量的函数 g ( x 2 )

(ii)法二:数形结合 ①“数”难时,要考虑“形” ②C:|x1|+|x2|=1 为正方形 ③“分式”联想到斜率。 【解法一】 先考虑 0 ? x1 ? 1,0 ? x 2 ? 1 的情形, 则 x1+x2=1
f ( x1 ) f ( x2 )

?

2mx1 ? m ? 2
2

2mx 2 ? m ? 2
2

?

2m(1 ? x 2 ) ? m ? 2
2

m ?1? ? ?1 ? m

2

2mx 2 ? m ? 2
2

m 1 x2 ? ? 2 m

m ?1?

2 m , x ? [0,1] , 1 m

当 m ? 0 ,令函数 g ( x) ? ?1 ?
x?

m 2

?

由 单 调 性 可 得 :

g (1) ? g ( x ) ? g (0) 。 其 中 , g (1) ? 1 ?

2 m? 2 m ?2

? 2?

2 ,

g (0) ? 1 ?

2 m? 1 m

?1?

2 2

当 m ? 0 ,同理。 x1、x 2 在其他范围同理。 综上可得 ?1 ?
? ? 2 2 ,2 ? ? 2? 。 ?

【解法二】
x1 ? ? x2 ? m ?2
2

f ( x1 ) f ( x2 )

?

2mx1 ? m ? 2
2

2m m ?2
2

2mx 2 ? m ? 2
2



2m

?

f ( x1 ) f ( x2 )

为点 P (?

m ?2
2

,?

m ?2
2

2m

2m

) 与点 Q ( x 2 , x1 ) 连线的斜率。P 点在直线 y ? x (| x |?

2)

上. 由图可得直线 PQ 斜率的范围,即
f ( x1 ) f ( x2 )

的范围。

【变式】将条件改为 x1 ? x 2 ? 1

2

2

18.直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C: 点为 B2,B1,点 P(
3 5

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a>b>0)的左、右顶点分别是

A1,A2,上、下顶

( a ,m) m>0)是椭圆

C 上一点,PO⊥A2B2,直线 PO 分别交 A1B1、A2B2 于点 M、

N.
(1)求椭圆离心率; (2)若 MN=
4 21 7

y ,求椭圆 C 的方程; R O F1 Q x

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限 内的点,F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,RQ 平分∠F1RF2 且 与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围. (3) 【分析】角平分线的处理方法: 法一:向量的数量积 法二:点 Q 到直线 PF1、PF2 距离相等。 法三: F2 关于 RQ 的对称点与 S 在直线 RF1 上。 法四:角平分线定理:
RF1 RF2 ? F1 P F2 P

F2

,(P 为 RQ 与 x 轴的交点)

法五:利用夹角或到角公式(新教材不作要求) 【解答】 (3) cos ?F1RQ ? cos ?F2 RQ ,∴
( ?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y0
2 2

RF 1 · RQ RF 1 · RQ

=

RF 2 · RQ RF 2 · RQ



?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y 0
2 2

化简得: ∴t=-

1 3

y0∵0<y0< 3 ,t∈(1 3

3 3

,0)

(其他几种方法均可得到 t=-

y0)

19.已知数列 an=n-16,bn=(-1) |n-15|,其中 n∈N . (1)求满足 an+1=|bn|的所有正整数 n 的集合; (2)若 n≠16,求数列
bn an

n

*

的最大值和最小值;

(3)记数列{an bn}的前 n 项和为 Sn,求所有满足 S2m=S2n(m<n)的有序整数对(m,n). (3)【分析】 (i)讨论去绝对值寻找关系 (ii)多写几项,看规律(归纳思想) ,第(2)问也可以用此法。 【解法一】 (3)记 c n ? a n bn ,
? S 2 m ? S 2 n ? c 2 m ?1 ? c 2 m ? 2 ? ? ? c 2 n ? 0 ,

c1 ? 15 ? 14 , c 2 ? 14 ? 13 ?? c14 ? ?2 ? 1 , c15 ? 0 , c16 ? 0 , c17 ? ?1 ? 2 ??

经观察, m ? 7, n ? 8 【解法二】 n≤15 时,bn=(-1)n-1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 n>15 时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0 其中 a15b15+a16b16=0,? s16=s14 m=7 ,n=8 20.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设 (1) f(x)取得极大值、 中 极小值时自变量的值分别为 x1、 2, x 令点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)). 如果直线 AB 的斜率为1 2
2

,求函数 f(x)和 f′ (x)的公共递减区间的长度 ;

(3)若 f(x)≥mxf′ (x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件. (3)【分析】 a3 x 3 ? a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 ? 0 恒成立,则必须 a3 ? 0 ,否则不可能恒大于等于零。从 而转化成学生熟悉的 a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 ? 0 恒成立问题。 【解法一】 (3) f ( x) ? mxf ( x)
/

? ( x ? a )( x ? b) ? m ? x ( x ? b)?3 x ? ( 2a ? b)?
2

? ( x ? b) (1 ? 3m) x ? ?m( 2a ? b) ? ( a ? b)?x ? ab ? 0
2

?

?

若m ?

1 3

,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因

式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,

因此不可能恒非负。
?m ? 1 3

? ( x ? b)?( a ? 2b) x ? 3ab ? ? 0

若 a+2b=0 a ? ?2b ,? a ? b =0 若 a ? 2b ? 0 则 x1 ? b x 2 ?
3ab a ? 2b

? a ? 2 b?0 ? ? 3 ab b? ? a ? 2b
①b=0 ②b ? 0 则 a<0
3a a ? 2b 1 3 ?1

? a ? b 且 b<0

综上 ? m ? 【解法二】

a?b?0

令 g ( x) ? f ( x) ? mxf ?( x) 一定是形如 a3 x 3 ? a 2 x 2 ? a1 x ? a 0 的式子。 若 a 3 ? 0 ,则 g (x) 不可能恒大于零。? 必须 a3 ? 0 , 因此只要求出 x 3 的系数 a3 ? 1 ? 3m (此方法比解法一目标更明确,运算更简捷)
?m ? 1 3


2 2 2 2

此时 g ( x) ? f ( x) ? mxf ?( x) ? ?(a ? 2b) x ? (4ab ? 2b ) x ? 3ab ? 0 恒成立。
? a ? 2b ? 0 ?a ? b ?b ? 0 ? 2 ① ?4ab ? 2b ? 0 , ? ? 或? ?b ? 0 ?a ? 0 ? 3ab 2 ? 0 ?

②?

?a ? 2b ? 0 ?? ? 0
1 3

?a ? b , ?? ?b ? 0

综上: m ?

a ? b ? 0。


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