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基本初等函数定义域、值域


主讲:宁老师 电话:15234485970 Q Q:619335132

一、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按 照某种确定的对应 关系f , 使对于集合A中的任意一个数 , 在集合B中 x 都有唯一确定的数 ( x)和它对应,那么就称 : A ? B f f 为集合A到集合B的一个函数,记作 ? f ( x), x ? A. y


函数概念强调三点
(1) A、B都是非空数集; (2) x取值的任意性,它能取 A中的所有元素; 遍 (3) f ( x)值的唯一性和确定性。

【例1】已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4, a2+3a},其中a∈N,k∈N,f:x→y=3x+1, x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数, 求a,k的值. 【解析】

(定义法)由对应法则: 1 ? 4,2 ? 7,3 ? 10,k ? 3k ? 1, 又a ? N , 所以a 4 ? 10, 所以a 2 ? 3a ? 10, 解得:a ? 2,?5(舍去) 所以a 4 ? 16, 所以3k ? 1 ? 16, 解得:k ? 5

二、相等函数
判断两个函数是否是相等函数的三要素: (1)定义域 (2)对应法则 (3)值域 当且仅当这三个要素都相同时,才表示相等函数。 如果三要素中有一个不同,则不是相等函数。

【例2】 判断下列函数是否表示同一函数: 1? f ? x ?= x 2,g ? x ?=3 x 3; ? 2 ? f ? x ?=2 n ?1 x 2 n ?1,g ? x ?=( 2 n ?1 x ) 2n-1 (n ? N* ); ?

? 3? f ? x ?=

x 2 ? 2 x ? 1,g ? x ?=x- ; 1

?1( x ? 0) | x| ? 4 ? f ? x ?= ,g ? x ?=? x ??1( x ? 0)

【解析】1? f ? x ?= x 2= x ,g ? x ?=3 x 3=x, ? 它们的对应法则不同,故不是同一函数; 2 ? 2 ? n ? N*时,n+1, 2n-1都是奇数,故 f ? x ?=2 n ?1 x 2 n ?1=x,g ? x ?=( 2 n ?1 x ) 2n-1=x, 它们的三要素都相同,故是同一函数; 3? f ? x ?= x 2 ? 2 x ? 1 | x- | ,g ? x ?=x- , = 1 1 ? 它们的对应法则不同,故不是同一函数; |x| 0 ? 4 ?因为f ? x ?= 的定义域是(-?,) ? (0,+?), x ?1( x ? 0) g ? x ?=? 的定义域是R, ? ?1( x ? 0) 它们的定义域不同,故不是同一函数.

三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种: (1)图像法 (2)列表法 (3)解析式法 图像法:可以直观地表示函数的变化规律; 列表法:可以直观地反映两个变量的对应关系; 解析式法:表示的函数关系能方便地通过计算研究 函数的性质。

一、具体函数的定义域
具体函数定义域的五种限制条件
a , ( x ? 0) x (2)对数的真数大于零; 例如:f ( x) ? loga x, ( x ? 0) (1)分数的分母不能为零 ;例如:f ( x) ? (3)偶次方根的被开方数 大于等于零;例如: ( x) ? x , ( x ? 0) f (4)零次方的底数不能为 零;例如:f ( x) ? x 0 , ( x ? 0) (5)正切函数f ( x) ? t an x的定义域是x ? k? ?

?
2

, (k ? N )

【例3】

求下列函数的定义域 ( )y ? 1 log 1 (3 x ? 2)
2 2

(2)y ? 16 ? x ? lg(cos x ) (3)y ? (1 ? x ) 0 ? 2 1 ? x 4 ? x2 (4)y ? x? x

【解析】 由偶次方根的意义,知log 1 (3x-2) ? 0. (1)
2

?3 x ? 2 ? 0 ? 由对数的性质,得 ?log (3x-2) ? log 1, 1 1 ? ? 2 2 2 解此不等式组得原函数的定义域为( ,. 1] 3 ??4 ? x ? 4 ?16 ? x 2 ? 0 ? ,得 ? ? ? 2 ?由 ? ? ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? ? k ? Z ? cosx ? 0 ? ? 2 ? 2 故原函数的定义域为(-

? ?
2 2 ,

).

?1 ? x ? 0 ,得原函数的定义域为(- ,+?). 1 ? 3?由 ? 1? x ? 0 ?

?4 - x 2 ? 0 ? ? 由? , 得原函数的定义域为0,2? (4) ?x ? x ? 0 ?

二、抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域是A,求函数定义域问题, 相当于解内函数的不等式问题。 (2)已知函数f ?? ?x??的定义域是A,求函数f(x)的定 义域。相当于求内函数的值域。
【例4】
(1)已知函数f ( x)的定义域是?- 1,2?, 1 ? ? 求函数f ?log (3 ? x)?的定义域。 2 ? ? (2)已知函数f (log3 x)的定义域为?3,11?, 求函数f ( x)的定义域。

【解析】

? ( ) f ( x)的定义域为 - 1,2? 1?
?? 1 ? log1 (3 ? x) ? 2 ? 2 ?? ?3 ? x ? 0 ? 11 解得: x ? 1? 4 ? ? 11 ? log1 (3 ? x) ?的定义域为?1, ? ?f? ? 4? ? ? ? ? 2 ? (2) ? 3 ? x ? 11 ?1 ? log1 x ? log1 11
3 3

? ? ? f ( x)的定义域为?1, 1 11? log 3 ? ?

一、函数值域的概念
在函数y ? f ( x)中,与自变量 的值对应的y的值 x 叫做函数的值,函数值 的集合叫做函数的值域 。

二、函数值域的求解方法
求函数的值域,首先要看函数的定义域, 然后在定义域范围内再求函数的值域。

求函数值域的常用方法

(1)利用基本函数直接求函数的值域
①一次函数y ? kx ? b(k ? 0)的值域是R; ②二次函数y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), ? 4ac ? b 2 ? ? 4ac ? b 2 ? 当a ? 0时值域为? ,?? ?; 当a ? 0时值域为? - ?, ? ? ? 4a 4a ? ? ? ? k ③反比例函数y ? ( x ? 0)的值域为?y y ? R且y ? 0? x ④指数函数y ? a x (a ? 0, 且a ? 1)的值域为?0,?? ? ⑤对数函数y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1)的值域为R ⑥正、余弦函数的值域 ?- 1,1?,正、余切函数的值域 R 为 为

(2)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化为基本函数 来求函数的值域。
①形如f ( x) ? cx ? d (a, b, c, d均为常数,a ? 0); ax ? b ad ? bc c ad ? bc c a 先变形为f ( x) ? ? , 然后令ax ? b ? t ? f ( x) ? ? a a(ax ? b) a t 利用反比例函数来求函 数的值域。 ②形如f ( x) ? ax ? b ? cx ? d (a, b, c, d均为常数,ac ? 0) t2 ? d a ad 令 cx ? d ? t ? x ? ? f ( x) ? t 2 ? t ? b ? c c c 利用二次函数来求函数 的值域。 ③形如f ( x) ? a ? x 2 (a为常数) ? ? ?? 令x ? a sin ? ,? ? ?? , ? ? f ( x) ? a cos? ? 2 2? 利用余弦函数来求函数 的值域。

(3)利用对勾函数求函数的值域
a 对勾函数的定义式: ( x) ? x ? , (a ? 0) f x 函数图像如下:
y

2a
? a

a
? 2a

x

? 对勾函数的定义域是x x ? R, 且x ? 0?
值域是 ? ?,?2 a ? 2 a ,??

?

? ?

?

常见的可转化为对勾函数的函数
二次 ①f ( x ) ? 型的函数,可以通过变 形转化为对勾函数。 一次 x 2 ? 3x ? 4 例如:f ( x) ? ( x ? R) x ?1 ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) ? 2 2 先将f ( x)变形,f ( x) ? ? x ?1? ?1 x ?1 x ?1 2 令x ? 1 ? t , 即f (t ) ? t ? ? 1; 分母就转化成了我们熟 悉的对勾函数。 t 利用对勾函数就可以求 出函数的值域。

一次 型的函数,可以通过变 形转化为对勾函数。 二次 x ?1 例如:f ( x) ? 2 ( x ? R) x ? 2x ? 2 x ?1 x ?1 1 先将f ( x)变形,f ( x) ? 2 ? ? 2 x ? 2 x ? 2 ( x ? 1) ? 1 x ? 1 ? 1 x ?1 1 令x ? 1 ? t , 即f (t ) ? ; 分母就转化成了我们熟 悉的对勾函数。 1 t? t 利用对勾函数就可以求 出函数的值域。 ②f ( x) ?

二次 ③某些f ( x) ? 型的函数,可以通过变 形转化为对勾函数。 二次 x 2 ? 3x ? 6 例如:f ( x) ? 2 , ( x ? R) x ? 2x ?1 x 2 ? 3x ? 6 x 2 ? 2 x ? 5 ? x ? 1 先将f ( x)变形,f ( x) ? 2 ? x ? 2x ? 5 x2 ? 2x ? 5 x ?1 x ?1 1 ? 1? 2 ? 1? ? 1? 4 x ? 2x ? 5 ( x ? 1) 2 ? 4 x ?1? x ?1 1 令x ? 1 ? t , f (t ) ? 1 ? ; 分母就转化成了我们熟 悉的对勾函数。 4 t? t 利用对勾函数就可以求 出函数的值域。

【例5】
x ( )y ? 1 2x ?1 3x (2)y ? 2 ( x ? 0); x ? x ?1 (3)y ? 2 x ? 1 ? 6 ? 2 x (4)y ? 4 ? x 2 x 2 ? 3x ? 5 (5)y ? x ?1 x?3 (6)y ? 2 x ? 5x ? 7

【解析】
x 1 1 ( )y ? 1 ? (1 ? ) 2x ?1 2 2x ?1 1 1 令2 x ? 1 ? u , y ? (1 ? ) 2 u 1 1 1 1 ? ? 0;? (1 ? ) ? u 2 u 2 1 1 ? y的值域是(- ?, )( , ?) ? ? 2 2 3x 3 ( 2) y ? 2 ? x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 ? x ? 0;? x ? ? 2 x ? y的值域是( ,1) 0

t2 (3)令 6 - 2 x ? t (t ? 0),则x ? 3 ? 2 t2 1 21 y ? 2 x ? 1 ? 6 - 2 x ? 2(3 ? ) - 1 ? t ? ?t 2 ? t ? 5 ? ?(t ? ) 2 ? 2 2 4 当t ? 0时,ymax ? 5

? 5 ? y的取值范围是 - ?,?

? ? ?? (4)令x ? 2 sin x, x ? ?? , ? ? 2 2? y ? 4 ? x 2 ? 4 ? 4 sin 2 x ? 2 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ? ?1 ? cos x ? 1;? 0 ? 2 cos x ? 2 ? y的值域为?0,? 2

x 2 ? 3 x ? 5 ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) ? 3 3 (5)y ? ? ? x ?1? ?1 x ?1 x ?1 x ?1 3 令t ? x ? 1, (t ? R );则y ? t ? ? 1 t ? y的值域为 - ?, 2 3 ? 1 ? 2 3, ? 1? x?3 x?3 1 (6)y ? 2 ? ? x ? 5 x ? 7 ( x ? 3) 2 ? ( x ? 3) ? 1 x ? 3 ? 1 ? 1 x?3 当x ? 3 ? 0时,y ? 0;

?

? ?

?

令x ? 3 ? t , (t ? 0);则y ?

1 1 t ? ?1 t

?t ?

1 1 ? ?2或t ? ? 2 t t 1 1 ? t ? ? 1 ? ?3或t ? ? 1 ? 1 t t 1 ? ? ? y ? 0或0 ? y ? 1 3 ? 1 ? 综上:y的值域是?? , 1 3 ? ? ?


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