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专题3《函数与导数》第12练


第 12 练

函数的零点——关键抓住破题题眼

题型一 函数零点所在区间问题 2 1 例 1 函数 f(x)= +ln 的零点所在的大致区间是(n,n+1),则 n=________. x x-1 破题切入点 所在区间. 答案 2 2 1 2 解析 f(x)= +ln = -ln(x-1), x x-1 x 函数的定义域为(1,+∞).

2 当 1<x<2 时,ln(x-1)<0, >0, x 所以 f(x)>0,故函数在(1,2)上没有零点. 2 f(2)= -ln 1=1>0, 2 2-3ln 2 2-ln 8 2 f(3)= -ln 2= = , 3 3 3 因为 8=2 2≈2.828,所以 8>e, 1 故 ln e<ln 8,即 1< ln 8, 2 所以 2<ln 8,即 f(3)<0, 根据零点存在性定理,可知函数 f(x)在(2,3)上必存在零点. 又由复合函数的单调性判断方法可知 f(x)在(1,+∞)单调递减,故 n=2. 题型二 函数零点个数问题 1 例 2 已知 f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程 f(x)=0 在[0,1]内有且只有一个根 x= ,则 2 f(x)=0 在区间[0,2 014]内根的个数为________. 1 破题切入点 由条件推出 f(x)是周期等于 2 的周期函数,且关于直线 x=1 对称.根据 f( )=0, 2 3 可得 f( )=0,从而得到函数 f(x)在一个周期内的零点个数,最后得到 f(x)=0 在区间[0,2 014] 2 内根的个数. 答案 2 014 解析 由 f(x+1)=f(x-1),可知 f(x+2)=f(x), 所以函数 f(x)的周期是 2. 确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反,根据零点存在性定理判断零点

由 f(x)=f(-x+2),可知函数 f(x)关于直线 x=1 对称, 1 因为函数 f(x)=0 在[0,1]内有且只有一个根 x= , 2 所以函数 f(x)=0 在区间[0,2 014]内根的个数为 2 014. 题型三 由函数零点求参数范围问题 例 3 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区 间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰有四个不相等的实数根, 则实数 a 的取值范围是________. 破题切入点 由条件得出函数性质,准确画出图象,结合图象解决. 2 2 答案 <a< 5 3 解析 由 f(x+2)=f(x)得函数的周期是 2. 由 ax+2a-f(x)=0 得 f(x)=ax+2a, 设 y=f(x),y=ax+2a,作出函数 y=f(x),y=ax+2a 的图象, 如图,

要使方程 ax+2a-f(x)=0 恰有四个不相等的实数根, 则直线 y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足 kAH<a<kAG, 由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0), 2 2 所以 kAH= ,kAG= , 5 3 2 2 所以 <a< . 5 3 总结提高 (1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理,而函数零点存在性定理只能

判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区 间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件,所 以在判断函数在某个区间上不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理. (2)函数零点个数判断问题可直接解方程 f(x)=0,方程的根的个数就是函数零点的个数,对于 无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数. (3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题,解决此类问题需注意两个方面:一是分段 函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围,解方程之后要注意检验根是否在所给定的取 值范围中;二是灵活利用函数性质确定零点的个数,灵活利用特殊函数值的符号判断零点所

在的范围.

1.f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为________. 答案 5 解析 ∵2sin πx-x+1=0,∴2sin πx=x-1,图象如图所示,由图象看出 y=2sin πx 与 y=x -1 有 5 个交点, ∴f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为 5.

2.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是________. 答案 2

解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个 交点.
?log0.5?x+1?,0≤x<1, ? 3.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)=? 则关于 x 的函数 F(x) ? ?1-|x-3|,x≥1,

=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为________. 答案 1-2a 解析 当 0≤x<1 时,f(x)≤0. 由 F(x)=f(x)-a=0,画出函数 y=f(x)与 y=a 的图象如图.

函数 F(x)=f(x)-a 有 5 个零点. 当-1<x<0 时,0<-x<1, 所以 f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),

即 f(x)=log2(1-x),-1<x<0. 由 f(x)=log2(1-x)=a, 解得 x=1-2a, 因为函数 f(x)为奇函数, 所以函数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 1-2a. x ? ?e -x-2,x≤0, ? 4.已知 f(x)= 则函数的零点个数为________. 2 ?ln?x -x+1?,x>0, ? 答案 2 解析 当 x>0 时,由 f(x)=0,即 ln(x2-x+1)=0, 得 x2-x+1=1,解得 x=0(舍去)或 x=1. 当 x≤0 时,f(x)=ex-x-2,f′(x)=ex-1≤0, 所以函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减. 而 f(0)=e0-0-2=-1<0,f(-2)=e 2-(-2)-2=e 2>0,
- -

故函数 f(x)在(-2,0)上有且只有一个零点. 综上,函数 f(x)有两个零点. 5.(2013· 天津改编)函数 f(x)=2x|log0.5 x|-1 的零点个数为________. 答案 2 1?x 解析 当 0<x<1 时,f(x)=2xlog0.5x-1,令 f(x)=0,则 log0.5x=? ?2? , 1?x 由 y=log0.5x,y=? ?2? 的图象知,在(0,1)内有一个交点,即 f(x)在(0,1)上有一个零点. 当 x>1 时,f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1, 1?x 令 f(x)=0 得 log2x=? ?2? , 1?x 由 y=log2x,y=? ?2? 的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即 f(x)在(1,+∞)上有一个零点, 综上有两个零点.
?kx+1,x≤0, ? 6.已知函数 f(x)=? 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的判断正确的是 ? ?ln x,x>0,

________. ①当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点; ②当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点; ③无论 k 为何值,均有 2 个零点; ④无论 k 为何值,均有 4 个零点.

答案 ② 解析 当 k>0 时,f(f(x))=-1,综合图(1)分析, 1 则 f(x)=t1∈(-∞,- )或 f(x)=t2∈(0,1). k 对于 f(x)=t1,存在两个零点 x1,x2; 对于 f(x)=t2,存在两个零点 x3,x4. 此时共计存在 4 个零点.

当 k<0 时,f(f(x))=-1,结合图(2)分析, 则 f(x)=t∈(0,1),此时仅有 1 个零点 x0.故②正确. 7.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1),当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n +1),n∈N*,则 n=________. 答案 2 解析 由于 2<a<3<b<4,故 f(1)=loga1+1-b=1-b<0, 而 0<loga2<1,2-b∈(-2,-1), 故 f(2)=loga2+2-b<0, 又 loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0), 故 f(3)=loga3+3-b>0, 因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故 n=2. 8.方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为________.


答案 2 1 - 解析 方程变形为 3-x2=2 x=( )x, 2 1x 2 令 y1=3-x ,y2=( ) . 2 如图所示,由图象可知有 2 个交点.

9.(2014· 连云港模拟)已知函数 f(x)=2ax2+2x-3.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则 实数 a 的取值范围为________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 若 a=0,则 f(x)=2x-3, 3 f(x)=0?x= ?[-1,1],不合题意,故 a≠0. 2 下面就 a≠0 分两种情况讨论: 1 5 (1)当 f(-1)· f(1)≤0 时,f(x)在[-1,1]上至少有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0,解得 ≤a≤ . 2 2 - ?f?1?≤0, f? ? ? ? 2a? 1 (2)当 f(-1)· f(1)>0 时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是? -1<- <1, 2a ? ?f?-1?· f?1?>0, 1 ? 综上,实数 a 的取值范围为? ?2,+∞?.
2 ? ?|x +5x+4|,x≤0, 10.(2014· 天津)已知函数 f(x)=? ?2|x-2|,x>0. ?

1

5 解得 a> . 2

若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为________. 答案 1<a<2 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示.

函数 y=f(x)-a|x|有 4 个零点, 即函数 y1=a|x|的图象与函数 f(x)的图象有 4 个交点(根据图象知 需 a>0). 当 a=2 时,函数 f(x)的图象与函数 y1=a|x|的图象有 3 个交点.故 a<2. 当 y=a|x|(x≤0)与 y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与 y1=a|x|的图象有 5 个 交点,

? ?y=-ax 此时,由? 得 x2+(5-a)x+4=0. 2 ?y=-x -5x-4 ?

由 Δ=0 得(5-a)2-16=0,解得 a=1,或 a=9(舍去), 则当 1<a<2 时,两个函数图象有 4 个交点. 故实数 a 的取值范围是 1<a<2. 11.已知函数 f(x)=x(x2-ax-3). (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在区间[1,4]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下, 是否存在实数 b, 使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点? 若存在,求出实数 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f(x)=x(x2-ax-3), ∴f′(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, 即 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立. 3 1 分离参数得 a≤ (x- )在[1,+∞)上恒成立. 2 x 3 1 3 ∵当 x≥1 时, (x- )≥ (1-1)=0, 2 x 2 ∴a≤0. 即 a 的取值范围是(-∞,0]. 1 (2)依题意得 f′(- )=0, 3 1 2 即 + a-3=0, 3 3 ∴a=4, ∴f(x)=x3-4x2-3x. 令 f′(x)=3x2-8x-3=0, 1 得 x1=- ,x2=3. 3 当 x 在[1,4]上变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -6 1 (1,3) - 3 0 -18 (3,4) + -12 4

∴f(x)在区间[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,

即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有 3 个不相等的实根. 显然 x=0 是其中的一个根, ∴方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零的不相等的实根. ?Δ=16+4?3+b?>0, ? ∴? ?-3-b≠0, ? ∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b,且 b 的取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞). 12.(2014· 四川)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底 数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. (1)解 由 f(x)=ex-ax2-bx-1, 有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 因此,当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0, 2 所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0 得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a)) =2a-2aln(2a)-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 (2)证明 设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知 f(x)在区间(0,x0)上不 可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.

故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2, 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增, 2 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减, 2 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. 1 e 所以 <a< . 2 2 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增. 因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0,有 a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.


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