tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省宁波市鄞州区2015届高三下学期模拟数学(文)试卷


浙江省宁波市鄞州区 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x|y=2 },B={y|y= A.{x|x>0} B.{x|x≥0}
x

},则 A∩B=( C.{x|x≥3 或 x≤1}


) D.{x|x≥3 或 0≤x≤1}

2.已知点 A=(﹣1,1) 、B=(1,2) 、C=(﹣3,2) ,则向量 A.﹣ B. C.﹣



方向上的投影为( D.

)

3.已知实数 a,b,则“ A.充分不必要条件 C.充要条件



”是“lna<lnb”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知直线 l,m 和平面 α,β,下列命题中正确的是( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,m?α,则 l∥m C.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β D.若 l⊥α,m?α,则 l⊥m 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (x)的图象向右平移 )的部分图象,如图所示,则将 y=f )

个单位后,得到的图象解析式为(

A.y=sin(2x﹣

) B.y=cos2x

C.y=sin(2x+

) D.y=﹣cos2x

6.已知 A,B,P 是双曲线



=1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线

PA,PB 的斜率乘积 kPA?kPB= ,则该双曲线的离心率为( A. B. C .2

) D.

7.若直线 ax+by=4 与不等式组

表示的平面区域无公共点,则 a+b 的取值范

围(

) B. (﹣3,3) C. (﹣3, ) D. (﹣1,3)

A. ( ,3)

8.设函数 f(x)= 不可能为( A.2 )个. B.3

,则当实数 m 变化时,方程 f(f(x) ) )=m 的根的个数

C .4

D.5

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.已知 sinα= ,α∈(0, ) ,则 cos(π﹣α)=__________,cos2α=__________.

10. 已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣( , a1=1, a2=3, 记 Sn=a1+a2+…+an. 则 a3=__________, 1 n≥2) S2015=__________. 11.已知某几何体的三视图如图所示(长度单位为:cm) ,则该几何体的体积为 __________cm ,表面积为__________cm .
3 2

12.设函数 f(x)=

是一个奇函数,满足 f(2t+3)<f(4﹣t) ,则

a=__________,t 的取值范围是__________. 13.若直线 y=3x+b 与 y=nx+m 相交,且将圆 x +y ﹣6x﹣8y+21=0 的周长四等分,则 m+b ﹣n 的值为__________.
2 2

14.设 x,y 是正实数,且 x+y=3,则

+

的最小值是__________.

15. 在△ ABC 中, AC=3, ∠A=

, 点 D 满足

=2

, 且 AD=

, 则 BC 的长为__________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 c=2,sinC(cosB﹣ sinB) =sinA. (1)求角 C 的大小; (2)若 cosA= ,求边 b 的长.

17. 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PB⊥平面 DEF; (2)若 AD=2DC,求直线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值.

18.数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=1,Sn﹣2Sn﹣1=1(n∈N ,n≥2) ,数列{bn}的前 n 项 2 * 和为 Tn,满足 b1=1,Tn=n bn,n∈N ) . (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)若对 n∈N ,恒有 Sn+1>
*

*

成立,求实数 λ 的取值范围.

19.已知抛物线 C:y =4x,过 x 轴上的一定点 Q(a,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两 点(a 为大于零的正常数) . (1)设 O 为坐标原点,求△ ABO 面积的最小值; (2)若点 M 为直线 x=﹣a 上任意一点,探求:直线 MA,MQ,MB 的斜率是否成等差数 列?若是,则给出证明;若不是,则说明理由. 20.已知函数 f(x)=x ﹣(k+1)x+ ,g(x)=2x﹣k,其中 k∈R (1)若 f(x)在区间(1,4)上有零点,求实数 k 的取值范围;
2

2

(2)设函数 p(x)=

,是否存在实数 k,对任意给定的非零实数 x1,存在

唯一的非零实数 x2(x1≠x2) ,使得 p(x1)=p(x2)?若存在,求出 k 的值,若不存在,请 说明理由.

浙江省宁波市鄞州区 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={x|y=2 },B={y|y= A.{x|x>0} B.{x|x≥0}
x

},则 A∩B=(

)

C.{x|x≥3 或 x≤1} D.{x|x≥3 或 0≤x≤1}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合,然后求解交集即可. x 解答: 解:集合 A={x|y=2 }={x|x∈R}, B={y|y= }={y|y≥0},

则 A∩B={x|x≥0}. 故选:B. 点评:本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法,集合的交集的求法,考查计算能力.

2.已知点 A=(﹣1,1) 、B=(1,2) 、C=(﹣3,2) ,则向量 A.﹣ B. C.﹣

在 D.

方向上的投影为(

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知可求 , 的坐标,根据 在 方向上的投影为: = (θ

为向量的夹角) ,即可求解. 解答: 解:由已知可得, ∴ 设 , =(2,1) , |= , =(﹣2,1) ,

=2×(﹣2)+1×1=﹣3,| 的夹角为 θ,

则向量



方向上的投影为:

=

=



故选:C. 点评:本题主要考查了向量投影定义的简单应用,属于基础试题. 3.已知实数 a,b,则“ < ”是“lna<lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 lna<lnb,则 0<a<b,推出 < , ∴,“ < ”是“lna<lnb”的充要条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据对数不等式的性质是解决本题的关键. 4.已知直线 l,m 和平面 α,β,下列命题中正确的是( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,m?α,则 l∥m C.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β D.若 l⊥α,m?α,则 l⊥m 考点:空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 解答: 解:对于 A,若 l∥α,l∥β,则 α 与 β 可能相交;故 A 错误; 对于 B,若 l∥α,m?α,则 l∥m 或者异面;故 B 错误; 对于 C,若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 位置关系不确定;故 C 错误; 对于 D,若 l⊥α,m?α,满足线面垂直的性质定理故 l⊥m;故 D 正确; 故选 D. 点评:本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握 定理是关键.

5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (x)的图象向右平移

)的部分图象,如图所示,则将 y=f )

个单位后,得到的图象解析式为(

A.y=sin(2x﹣

) B.y=cos2x

C.y=sin(2x+

) D.y=﹣cos2x

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数图象可得 A,由 T= 在函数图象上,又|φ|< 变换规律即可得解. 解答: 解:由函数图象可得:A=1,周期 T= ω= 由( =2, ,1)在函数图象上,可得:sin( , ) , )+ ]=sin(2x﹣ )=﹣cos2x, +φ)=1,可解得:φ=2kπ ,k∈Z,又|φ|< , ﹣ ,可得:T=π,由周期公式可得: ﹣ ,可得 T,由周期公式可得 ω,由( ,1)

,可解得 φ,从而可得 f(x)=sin(2x+

) ,根据左加右减平移

故可解得:φ=

故有:y=f(x)=sin(2x+ 则有:f(x

)=sin[2(x﹣

故选:D. 点评:本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数图象的平移 规律,属于基本知识的考查.

6.已知 A,B,P 是双曲线



=1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线

PA,PB 的斜率乘积 kPA?kPB= ,则该双曲线的离心率为( A. B. C .2

) D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设出点 A,点 P 的坐标,求出斜率,将点 A,P 的坐标代入方程,两式相减,再结合 kPA?kPB= ,即可求得离心率. 解答: 解:由题意,设 A(x1,y1) ,P(x2,y2) ,则 B(﹣x1,﹣y1) , ∴kPA?kPB= ? = ,





=1,



=1,

∴两式相减可得

=



∵kPA?kPB= ,



= ,



= ,即为 c = a ,

2

2

则 e= =



故选 A. 点评:本题考查双曲线的方程,主要考查双曲线的几何性质:离心率的求法,属于中档题.

7.若直线 ax+by=4 与不等式组

表示的平面区域无公共点,则 a+b 的取值范

围(

) B. (﹣3,3) C. (﹣3, ) D. (﹣1,3)

A. ( ,3)

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:由题意画出不等式组

表示的平面区域,结合直线 ax+by=4 与不等式



表示的平面区域无公共点得到关于 a,b 的不等式组,然后利用线性规划

知识求得 a+b 的取值范围.

解答: 解:不等式组

表示的平面区域如图,

联立

,解得 A(1,2) .

联立

,解得 B(﹣4,0) .

联立

,解得 C(4,﹣4) .

要使直线 ax+by=4 与不等式组

表示的平面区域无公共点,







(a,b)所在平面区域如图,

联立

,解得 M(﹣1,﹣2) ,

联立

,解得 N(2,1) ,

令 t=a+b,即 b=﹣a+t, ∴当直线 b=﹣a+t 过 M 时,t 有最小值为﹣3;当直线 b=﹣a+t 过 N 时 t 有最大值为 3. ∴t=a+b 的范围是(﹣3,3) . 故选:B. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法, 是中档题.

8.设函数 f(x)= 不可能为( A.2 )个. B.3

,则当实数 m 变化时,方程 f(f(x) ) )=m 的根的个数

C .4

D.5

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:画出函数 f(x)= ,分类得出当 m=0 时,f(x)=1,或 f(x)=﹣1,

当 m=1 时,f(x)=e,或 f(x)=0,或 f(x)=﹣2,当 m<0 时,0<f(x)<1,当 m>1 时,f(x)>e,或 f(x)<﹣2,分别运用图象判断根的个数. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴图象为 ,

∵方程 f(f(x) ) )=m, ∴当 m=0 时,f(x)=1,或 f(x)=﹣1, 运用图象判断有 4 个根, 当 m=1 时,f(x)=e,或 f(x)=0,或 f(x)=﹣2,

运用图象判断有 5 个根, 当 m<0 时,0<f(x)<1, 运用图象判断有 3 个根, 当 m>1 时,f(x)>e,或 f(x)<﹣2, 运用图象判断有 3 个根, 故运用排除法得出方程 f(f(x) ) )=m 的根的个数不可能为 2 个. 故选:A 点评: 本题综合考查了函数的图象的运用, 分类思想的运用, 数学结合的思想判断方程的根, 难度较大,属于中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.已知 sinα= ,α∈(0, ) ,则 cos(π﹣α)= ,cos2α= .

考点:二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值. 解答: 解:已知 sinα= α)=﹣cosα=﹣ 故答案为: ,α∈(0,
2

) ,所以 cosα=

,cos(π﹣

,cos2α=2cos α﹣1=2× ﹣1= ; .

点评:本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式;关键是熟练掌握公式. 10. 已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣1 (n≥2) , a1=1, a2=3, 记 Sn=a1+a2+…+an. 则 a3=2, S2015=2. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:由 an+1=an﹣an﹣1(n≥2)可推得该数列的周期为 6,易求该数列的前 6 项,由此可求 得答案. 解答: 解:由 an+1=an﹣an﹣1(n≥2) ,得 an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣(an+2﹣an+1)=﹣(an+1﹣an﹣an+1)=an, 所以 6 为数列{an}的周期, 又 a3=a2﹣a1=3﹣1=2,a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1,a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3, a6=a5﹣a4=﹣3﹣ (﹣1) =﹣2, ∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0, ∵2015=335×6+5, S2015=335×0+(1+3+2﹣1﹣3)=2, 故答案为:2,2. 点评:本题考查求数列的通项及前 n 项和公式,注意解题方法的积累,找出数列的周期是解 决本题的关键,属于中档题.

11.已知某几何体的三视图如图所示(长度单位为:cm) ,则该几何体的体积为 16cm ,表 2 面积为 34+6 cm .

3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥,结合图中数据求 出它的体积与表面积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得;

该几何体是如图所示的四棱锥 P﹣ABCD, 且侧面 PCD⊥底面 ABCD; ∴该四棱锥的体积为 V 四棱锥= ×6×2×4=16, 侧面积为 S 侧面积=S△ PAB+2S△ PBC+S△ PCD = ?6 +2? ?2 + ?6?4

=6 +22, S 底面积=6×2=12, ∴S 表面积=S 侧面积+S 底面积=6 +22+12=34+6 . 故答案为:16,34+6 . 点评: 本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题, 是基础题 目.

12.设函数 f(x)=

是一个奇函数,满足 f(2t+3)<f(4﹣t) ,则

a=1,t 的取值范围是( ,+∞) .

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用.

分析:由条件根据奇函数的性质求得 a 的值,从而得到 f(x)的解析式;由所给的不等式结 合 f(x)的图象可得|2t+3|<|4﹣t|,解此绝对值不等式,求得 t 的范围. 解答: 解:函数 f(x)= 是一个奇函数,设 x<0,则﹣x>0,

且 f(﹣x)=﹣f(x) ,即﹣a(﹣x) (﹣x+2)=﹣x(x﹣2) ,化简可得 ax(2﹣x)=x(2﹣x) , ∴a=1. 即 f(x)= ,故函数 f(x)为 R 上的减函数,它的图象如图.

由 f(2t+3)<f(4﹣t) ,可得 2t+3>4﹣t,求得 t> , 求得 t∈(﹣7, ) , 故答案为:1, ( ,+∞) .

点评:本题主要考查函数的奇偶性的性质,函数的单调性的应用,解绝对值不等式,体现了 转化、数形结合的数学思想,属于中档题. 13.若直线 y=3x+b 与 y=nx+m 相交,且将圆 x +y ﹣6x﹣8y+21=0 的周长四等分,则 m+b ﹣n 的值为 .
2 2

考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由题意可得,两直线相较于圆心,且两直线互相垂直,把圆心坐标代入两直线方程, 再根据两直线斜率之积等于﹣1,求得 m、n、b 的值,即可求得 m+b﹣n 的值. 解答: 解:由题意知,圆心(3,4)为两直线的交点,且两直线互相垂直,



,解得

,∴m+b﹣n= ,

故答案为: . 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,判断圆心(3,4)为两直线的交点,且两直线互 相垂直是解题的关键,属于基础题.

14.设 x,y 是正实数,且 x+y=3,则

+

的最小值是 .

考点:基本不等式在最值问题中的应用. 专题:计算题. 分析:由已知可得 + = =

,分离之后结合基本不等式即可 求解 解答: 解:∵x+y=3,x>0,y>0 ∴ + = =

= =x+1 =﹣11+16( =﹣11+ =﹣11 当且仅当 故答案为: 点评:本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简, 配凑基本不等式成立的条件 15.在△ ABC 中,AC=3,∠A= ( (2 ) 即 x=y= 时取等号 )= +y+1+ ) ﹣8

,点 D 满足

=2

,且 AD=

,则 BC 的长为 3.

考点:三角形中的几何计算. 专题:计算题. 分析:由已知,结合向量的基本运算可求得 = ,然后结合已知及向量数量积的

定义及性质可求 AB,最后利用余弦定理可求 BC 解答: 解:∵ ∴ ∵AD=| ∴ 则 13= ∴13=1 整理可得,2c ﹣54=0 ∵c>0 解可得,c=3 2 2 2 由余弦定理可得,a =c +b ﹣2bc?cosA =
2

=2 = ,AC=| |=3,A= = ,设 AB=c

= |= =| ||

|cosA= =

点评:本题主要考查了解三角形的简单应用,解题中要注意结合向量知识,要灵活的运用基 本公式 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 c=2,sinC(cosB﹣ sinB) =sinA. (1)求角 C 的大小; (2)若 cosA= ,求边 b 的长.

考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简,整理求出 tanC 的值, 即可确定出 C 的度数;

(2)由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用两角和与差的正弦函数公式化简 sin(A+C) ,把各 自的值代入求出 sin(A+C)的值,即为 sinB 的值,再由 c,sinC 的值,利用正弦定理求出 b 的值即可. 解答: 解: (1)由题意得 sinC(cosB﹣ sinB)=sinA, 整理得:sinCcosB﹣ sinBsinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,即﹣ sinBsinC=sinBcosC, ∵sinB≠0,∴tanC=﹣ ∵C 为三角形内角, ∴C= ; ,∴sinA= = , )+ × = , ,

(2)∵cosA=

∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ×(﹣ 由正弦定理得: 则 b= = = . ,

点评:此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握定理及 公式是解本题的关键. 17. 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PB⊥平面 DEF; (2)若 AD=2DC,求直线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值.

考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 由 PD⊥底面 ABCD 得 PD⊥DC, 再由 DC⊥BC 证出 BC⊥平面 PDC, 即得 BC⊥DE, 再由 ABCD 是正方形证出 DE⊥平面 PBC,则有 DE⊥PB,再由条件证出 PB⊥平面 EFD; (2)取 AB 中点 G,PD 中点 H,连接 EH,HG,连接 AH,确定∠GHA 为所求直线 BE 与 平面 PAD 所成的角即可. 解答: (1)证明:∵PD⊥底面 ABCD,且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,∴DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC.∵DE?平面 PDC,∴BC⊥DE.

又∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面 PBC. ∵PB?平面 PBC,∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB,且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD… (2)解:取 AB 中点 G,PD 中点 H,连接 EH,HG,连接 AH. ∵E 是 PC 中点, ∴ ,

∴EBGH 为平行四边形,… ∵PD⊥平面 ABCD, ∴平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴AB⊥平面 PAD 连接 AH,… ∴∠GHA 为所求直线 BE 与平面 PAD 所成的角.… ∵AD=2DC, ∴在 Rt△ ADH 中,AH= ∴在 Rt△ AGH 中,AG= ∴sin∠GHA= = .… DC … CD,

点评:本题考查了线线、线面平行的相互转化,通过中位线证明线线平行,再由线面平行的 判定得到线面平行;考查直线 BE 与平面 PAD 所成角的正弦值,属于中档题. 18.数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=1,Sn﹣2Sn﹣1=1(n∈N ,n≥2) ,数列{bn}的前 n 项 2 * 和为 Tn,满足 b1=1,Tn=n bn,n∈N ) . (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)若对 n∈N ,恒有 Sn+1>
* *

成立,求实数 λ 的取值范围.

考点:数列的求和;数列的函数特性;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过 an﹣2an﹣1=(Sn﹣2Sn﹣1)﹣(Sn﹣1﹣2Sn﹣2)=0 可得数列{an}是首项为 1, 公比为 2 的等比数列,进而可得其通项;通过 = 及

bn=

?

?…?

?b1=

可得结论.

(Ⅱ)由题只需要对任意正整数 λ<

恒成立.通过



=

可得数列的单调性,进而可得结论.

解答: 解: (Ⅰ)根据题意,可得 a2=2, 当 n≥3 时,Sn﹣1﹣2Sn﹣2=1, ∴an﹣2an﹣1=(Sn﹣2Sn﹣1)﹣(Sn﹣1﹣2Sn﹣2)=0, 即 an=2an﹣1, 又∵a2=2a1, 所以数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, n﹣1 * 即 an=2 ,n∈N ; 2 当 n≥2 时,Tn﹣1=(n﹣1) bn﹣1, ∴ = ,

∴bn= 故 bn=

?

?…?
*

?b1=

,显然对 n=1 也成立.

,n∈N ;
n

(Ⅱ)由题意 Sn=2 ﹣1,只需要对任意正整数 λ<

恒成立.

记 Cn=

,当 n≥2 时,Cn﹣Cn﹣1=



=



当 n≥3 时数列{Cn}递增;当 n≤2 时数列{Cn}递减. 易知 n=3 或 2 时有最小的项 C2=C3= , 综上:λ< . 点评:本题考查求数列的通项,考查数列的单调性,注意解题方法的积累,属于中档题. 19.已知抛物线 C:y =4x,过 x 轴上的一定点 Q(a,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两 点(a 为大于零的正常数) . (1)设 O 为坐标原点,求△ ABO 面积的最小值; (2)若点 M 为直线 x=﹣a 上任意一点,探求:直线 MA,MQ,MB 的斜率是否成等差数 列?若是,则给出证明;若不是,则说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)联立直线 AB 与抛物线方程,利用韦达定理可得结论;
2

(2)设 M(﹣a,t) ,通过计算 2kMQ 与 kMA+kMB 的值即得结论. 解答: 解: (1)设直线 AB 的方程为:my=x﹣a, 联立方程组 ,消去 x 可得:y ﹣4my﹣4a=0,
2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=4m,y1y2=﹣4a, ∴S△ AOB= ?a?|y1﹣y2|=2a ,

所以当 m=0 时,S△ AOB 有最小值 2a ; (2)结论:直线 MA,MQ,MB 的斜率成等差数列. 证明如下: 设 M(﹣a,t) ,∴kMQ= ,

而 kMA+kMB= (*) 因为 x1x2=

+

=

=a ,x1+x2=m(y1+y2)+2a=4m +2a,

2

2

代入(*)式,可得 kMA+kMB=

=﹣ ,

∴kMA+kMB=2kMQ, 所以直线 MA,MQ,MB 的斜率成等差数列. 点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,涉及到韦达定理、斜率的 计算、 等差中项的性质、 三角形的面积计算公式等知识, 注意解题方法的积累, 属于中档题. 20.已知函数 f(x)=x ﹣(k+1)x+ ,g(x)=2x﹣k,其中 k∈R (1)若 f(x)在区间(1,4)上有零点,求实数 k 的取值范围; (2)设函数 p(x)= ,是否存在实数 k,对任意给定的非零实数 x1,存在
2

唯一的非零实数 x2(x1≠x2) ,使得 p(x1)=p(x2)?若存在,求出 k 的值,若不存在,请 说明理由. 考点:函数与方程的综合运用. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可得△ =(k+4) (k﹣2) ,分类讨论,分别求出实数 k 的取值范围,再取 并集,即得所求.

(2)根据 g(x)在(0,+∞)单调递增,其值域为(﹣k,+∞) ,f(x)在(﹣∞,0)上 的值域为( ,+∞) ,即可得出结论. 解答: 解: (1)由题意知△ =(k+4) (k﹣2)… ①当 f(1)f(4)<0 时, ②当 f(1)f(4)=0 时,k= 或 k= .… ,经检验 k= 符合.…

③当△ =0 时,k=2 或 k=﹣4,经检验 k=2 符合.…

④当

时,解得 2<k< .…

综上 2≤k<



(Ⅱ)显然 g(x)在(0,+∞)单调递增,其值域为(﹣k,+∞) … ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减, ≥0 即 k≥﹣1. …

∴f(x)在(﹣∞,0)上的值域为( ,+∞) ∴

而 k≥﹣1,∴这样的 k 不存在. … 点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,函数的单调性的应用,体现了化归与转 化、以及分类讨论的数学思想,属于中档题.


推荐相关:

浙江省宁波市鄞州区2015届高三下学期模拟数学(文)试卷

浙江省宁波市鄞州区2015届高三下学期模拟数学(文)试卷_数学_高中教育_教育专区。浙江省宁波市鄞州区 2015 届高考数学模拟试卷(文科)一、选择题(本大题共 8 小...


浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学【文】试题(含答案)

浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学【文】试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。“备课大师网”全科【9 门】 :免注册,不收费! 鄞州区 2015 届高考数学...


浙江省宁波市鄞州区2015年高考数学模拟试卷(理科)

2015浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷(理科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目...


2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷(文科)

2015浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷(文科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。详细解析 2015浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷(文科)一、选择题(本大...


浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学理试题 Word版含答案

浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学理试题 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。2015 届鄞州区高考数学模拟试题(理) 2015.5 本试题卷分选择题和非选择题...


浙江省宁波市鄞州区2015年初中毕业生学业模拟考试数学试题

浙江省宁波市鄞州区2015年初中毕业生学业模拟考试数学试题_数学_初中教育_教育专区...(要求每位同学只选自己最认可 的一项观点),并制成了如下扇形统计图, (1)该...


【解析版】浙江省宁波市鄞州区2015年中考数学一模试卷

【解析版】浙江省宁波市鄞州区2015年中考数学一模试卷_中考_初中教育_教育专区。2015 年浙江省宁波市鄞州区中考数学一模试卷一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)...


2014-2015年宁波市鄞州区九年级上期末数学试卷及答案解析

2014-2015年宁波市鄞州区九年级上期末数学试卷及答案解析_数学_初中教育_教育专区。好!!! 2014-2015 学年浙江省宁波市鄞州区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(...


宁波市鄞州区2015年初中毕业生学业模拟考试数学试题及答案

宁波市鄞州区2015年初中毕业生学业模拟考试数学试题及答案_数学_初中教育_教育专区...(要求每位同学只选自己最认可 的一项观点),并制成了如下扇形统计图, (1)该...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com