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全国高中数学竞赛二试模拟训练题(50)


加试模拟训练题(50)
1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆)

2. 设 m 和 n 是正整数,a1,a2,…,am 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当 ai+aj

≤n,1≤i≤j≤m,就有某个 k,1≤k≤m,使得 ai+aj=ak,求证:

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3. 在木板上写有若干个 0, 1 和 2. 现在可以擦掉两个不同的数字, 并用另一个数字来代替(代 替 0 和 1 的是 2,代替 1 和 2 的是 0,代替 0 和 2 的是 1).证明:如果由于这种做法,最后在 木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关.

4. 求满足等式 2x y +y =26x +1201 的一切正整数数组(x,y).

2 2

2

2

加试模拟训练题(50)
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1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆)

证明:如图,记 AB ? c,BC ? a, CA ? b, 设AI的延长线交?ABC的外接圆O于K点, 则OK是圆O的半径,记为R, ? OK ? BC, ? OK // AD ? AI AD c ? sin B ? ? ? 2 sin B sin C IK OK R 1 又 ? ?ABI ? ?IBC ? ?B 2 1 ?CBK ? ?CAK ? ?A 2 ?AKB ? ?ACB ? ?C ?BAK ? 1 ?A 2

1 B AB ? BI ? sin AI S ?ABI 2 ? ? ? 2 1 A ?B IK S ?KBI BK ? BI ? sin 2 2 B B B C sin sin 2 sin sin AB 2 ? sin C ? 2 ? 2 2 ? ? A BK cos C sin A cos C sin 2 2 2 2 B C 2 sin sin 2 2 由(1)、 (2)可得: 2 sin B sin C ? A sin 2 A B C ? 4 sin cos cos ? 1 2 2 2 又设?ABC的边BC上的旁切圆半径为 ra , 则: 1 1 bc sin A bc sin A ? S ?ABC ? ra (b ? c ? a ) ? ra ? 2 2 b?c?a sin A sin B sin C sin A sin B sin C ? ra ? 2 R ? ? 2R ? B?C B ?C B?C B?C sin B ? sin C ? sin A 2 sin cos ? 2 sin cos 2 2 2 2
? R? sin A sin B sin C A B C ? 4 R ? sin 2 sin sin ? R B?C B C 2 2 2 sin 2 sin sin 2 2 2 ?即?ABC的外接圆半径等于 BC边上旁切圆的半径

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2. 设 m 和 n 是正整数,a1,a2,…,am 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当 ai+aj ≤n,1≤i≤j≤m,就有某个 k,1≤k≤m,使得 ai+aj=ak,求证:

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【题说】第三十五届(1994 年)国际数学奥林匹克题 1.本题由法国提供. 【证】不妨设 a1>a2>…>am, 若存在某个 i,l≤i≤m,使 ai+am+1-i≤n.则 ai<ai+am<ai+am-1<…<ai+am+1-i≤n 由已知,得 i 元集

这不可能,于是对 1≤i≤m,恒有 ai+am+1-i≥n+1.从而 2(a1+a2+…+am)=(a1+am)+(a2+am-1)+…+(am+a1)≥m(n+1)

3. 在木板上写有若干个 0, 1 和 2. 现在可以擦掉两个不同的数字, 并用另一个数字来代替(代 替 0 和 1 的是 2,代替 1 和 2 的是 0,代替 0 和 2 的是 1).证明:如果由于这种做法,最后在 木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关. 【题说】第九届(1975 年)全苏数学奥林匹克八年级题 6,十年级题 5. 【证】 假设 0 的个数是 p,1 的个数是 q,2 的个数是 r.在每次操作后,p、q 和 r 分别增加 或减少 1,即 p、q、r 改变一次奇偶性.当木板上只留下一个数字时,p、q、r 三个数中,一 个为 1,另两个为 0.由此可见,p、q、r 三数中,必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同; 与它对应的数字最后留在木板上. 4. 求满足等式 2x y +y =26x +1201 的一切正整数数组(x,y). 【题说】1995 年日本数学奥林匹克预选赛题 8. 【解】由条件得 (2x +1)(y -13)=1188=2 ×3 ×11 从而 2x +1 与 y -13 均为 2 ×3 ×11 的因数.又 2x +1 是奇数,故 2x +1 为 3 ×11=297 的因数.由下表
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2

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可知,所求的正整数解为(4,7)和(7,5).

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