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公选课第5讲:历史与数学简史


遵义师范学院
2012-2013学年度第二学期

“数学文化”公共选修课 第 5 讲
历史与数学简史
1

一、学点历史
中国封建王朝的鼎盛时期——唐朝贞观开元 时期著名的“贤相”魏征说:“以铜为镜,可以 正衣冠、以人为镜,可以明得失、以史为镜,可 以知兴替”; 近代实验科学的鼻祖、英国著名哲学家弗兰 西斯.培根说:“史鉴使人明智、诗歌使人巧慧、 数学使人精细、伦理学使人庄重、逻辑修辞之学 使人善辩。” ——都说明历史的重要性。
2

十二集政论连续剧“大国崛起”中对历史有这么一段论述: (2005年)为纪念反法西斯战争胜利六十周年,俄罗斯 举行了盛大的庆典。与六十年前三个大国在雅尔塔(乌克兰) 秘密安排世界秩序不同,这一次,莫斯科请来了六十多个国 家的元首和政府首脑。但真正唱主角的,却是乘坐六十年前 苏联军用卡车前来的2600名二战老兵。 活跃在世界政治舞台上的各国首脑和历经沧桑的老兵, 一同进入了人们的视线。这一刻,历史离我们不再遥远,也 不再是记忆的负担。 忽视过去的人,在未来行程里只是一个缺乏思想准备的 匆匆过客。忽视过去的国家,面对世界变局将不会有成熟的 选择,甚至有迷失方向的风险。 走过六十年,回首五百年,一路巡看交相兴替的大国演 变,我们要做的,其实就是一件事——让历史照亮未来的行 程。 3

什么是历史?历史就是曾经在过去的时间中出现 过的人、物与事,“逝者如斯”,它们已经随着时间

的过去而消失了。但是,几千年来前人的智慧和辛劳
积攒而不断增长的知识和技术,使后人得以现成享用,

也使后来的人们可以把前人的终点当起点,正是在这
里,历史不断向前延续——这属于技术史;几千年来 反复思索的问题以及由此形成的观念,影响着今天的 思路,使今天的人依然常常沿着这些思路思索这些难 解的问题——这属于思想史。正是在这种延续中,历

史不断地演进和螺旋形上升。
4

科林伍德说:“历史的知识是关于心灵
在过去曾经做过什么事的知识,同时它也是

在重做这件事,过去的永存性就活动在现在
之中” 。思考的问题和思索的方式,解释

的话语和实现的途径,一代又一代地重复、
变化、循环、更新,有了时间和空间的连续,

于是就有了历史。

5

“见往可以知来,温故可以知新”。历史上
的知识积累和思想轨迹不会随着有形的器物、 有限的生命一道消失,它们将通过语言文字、 通过耳濡目染、通过学校教育和社会熏陶,一 代代地延续下来并成为以后发展的基础。由于 这种“延续”,古人的思索对于今人还存有意 义,今人还可以重温古人的思索。
6

历史探索是理解自身的最好方式,关注历

史,思考历史是人类前进的基础,尽管这不能改
变历史。宗白华说:“历史上每向前一步的进展,

往往是伴随着向后一步的溯本探原”。美国历史
学家唐纳德说:“历史在本质上是对人类环境无

休止的探询” 。的确,今天是昨天的继续,明
天是今天的延伸。没有历史,就没有今天,也不 会有明天;没有历史,就没有人类社会的发展。
7

我们中华民族的历史往往令人感慨万千:
中国古代的科学文化与西方没有多大差距,甚

至还有些领先,看看以下例子:

8

公元一世纪前后,东西方有两位大天文学家同时

在世。罗马帝国的托勒玫创立了他那伟大的地心说,
而东方汉帝国的太史令张衡,制造了一台水运浑象,

那简直就是把托勒玫的地心说变成了模型。当孔子周
游列国的时候,在喜马拉雅山的那一边,释迦牟尼创 立了佛教。当齐宣王创办稷下书院,汇集各派学者的 同时,柏拉图也在地中海的雅典办了一个学院,亚里 士多德就在那里学习。
9

春秋晚期那个百家争鸣的伟大时代。孔子、老
子、墨子、庄子、韩非子等等,诸子百家,灿若群

星。偏偏在那个时代里,东西方都出现了圣贤大哲。
今天的哲学家称那个时代是世界文化的轴心时 代。那时产生的各种思想,至今还影响着人类。

10

唐代是中国封建社会的鼎盛时期(唐人街)。 明代戏曲家汤显祖称唐代是“有情之天下”,这 就是说唐代社会有助于文化的发展,更适合人性的发 展。李白如果不是生活在唐代,天才就得不到发挥。

11

如果说,文学艺术是在唐朝达到高峰的,
那么中国的科学技术则是在宋代最成熟。寻找 中国科技史的轨迹,往往会发现各项发明创造 的主焦点都在宋代。人类第一批炸药的试验场 就是宋金交战的中原大地。最迟在公元一千年 左右中国人已经能够用弩炮来发射“炸药”了。
12

可是,公元七五一年,中国同阿拉伯人的 穆斯林在塔拉斯河大会战。唐朝的惨败使中国 再也没能力回到中亚去。但这场战争却在科学 史上意义重大。数万被俘的唐朝人给阿拉伯人, 西方人带去了造纸技术。

13

接着,活字印刷术,罗盘和火药相继从中国 传到中世纪黑暗的欧洲,在那里石破天惊。中 华民族智慧凝成的伟大发明,竟使欧洲封建社 会赢得了继希腊以来又一次技术发展高峰。正 是因为站到了这个高峰上,西方到十七世纪便

把一直遥遥领先的中国抛到后面去了。

14

四大发明在它们的家乡却是命运多舛:最 早点燃了那征服星空的火焰的中国人,没能成 为最早飞向宇宙的人。火箭和花炮几百年一贯 制,至今还只发挥著驱鬼辟邪和热闹喜庆的功 能。纸和印刷技术这种不可估量的通讯传播手 段,在史集浩瀚,藏书成风的中国,一千年也 没能酿成知识爆炸,到头来还是西方反过来向 我们输入了铅印技术。
15

尽管沈括早在公元十一世纪就在“梦溪笔 谈”里描述了罗盘针和磁偏角现象,可中国从 来没能成为海上强国,可万万没有想到,倒是 西方列强依靠罗盘针的指引逼到了我们的家门 口,同样是中国人,八百年后竟会在洋人的坚

船利炮之下,一败涂地。
16

那曾领先了上千年的中国文明之光,怎 么到十七世纪以后就暗淡下去了呢?一个如 此聪明的民族,为什么会变得迟钝和衰老起 来?到底是一种什么力量如此捉弄中国人呢? 我们昨天曾经拥有,今天才发现失去了的, 究竟是什么呢?文明的源头已经湮没在一片 浑沌之中。
17

在我们的民族感情上,总有这样一个误区:
似乎近百年的耻辱,只是一种光荣历史的断裂。

自从一八四零年以来,总有人用古代的荣耀和伟
大,来掩饰近代的贫穷和落后。在近百年的现实

痛苦中,好像总需要有一副古老而悠久的安魂剂
聊以自慰。从每一次震惊世界的考古发现中,似 乎从能获得一次安慰。
18

我们有的人总喜欢说“中华民族有五千年的
辉煌历史”,但忘了历史的富足,文明的悠久,

毕竟都是昨天的故事。
我们的考古发现再丰富,文物古迹再精美,

文明的源头再延伸,难道不都意味着祖先对于后
代的嘲笑吗?难道不是让我们今天的遗憾、懊悔 和惭愧更沉重吗?
19

“前事不忘,后事之师”。回顾历史,常常

令人浮想联翩、感慨万分。我们在没有理由睡在
祖先的功劳簿上吃老本了,“我们中华民族有五

千年的历史”再也不能成为炫耀的资本,古老的
文明:玛雅、埃及、希腊、巴比伦……都早已

成为历史,回顾历史的目的是找准前进的方
向和目标。
20

文史文史,有文才有史,有史才有文。中国
文学就得益于历史——正因为对历史的缅怀与反

思,才产生了许多可歌可泣的动人事迹和优秀作
品,丰富了我们的精神文化宝库。

博大精深的中国文学中, “诗言志,歌咏
言”,诗词对联基本上都是“上段写景,下段怀

古”的模式,都是以现实场景作铺垫,通过对历
史的感慨抒发感情。
21

请看几例:
刘禹锡《西塞山怀古.王睿楼船下益州》 毛泽东词:《沁园春· 雪》 王安石词:《桂枝香· 金陵怀古》 孙髯翁联:《 (昆明)大观楼长联》

22

刘禹锡《西塞山怀古.王濬楼船下益州》
王濬楼船下益州,金陵王气黯然收。 千寻铁锁沉江底,一片降幡出石头。 人世几回伤往事,山形依旧枕寒流。 从今四海为家日,故垒萧萧芦荻秋。 又见毛泽东《七律.人民解放军占领南京》
23

1.西塞山:今湖北大冶县东,一名道士洑矶。唐穆宗长庆四年 (824),刘禹锡自夔州调往和州(今安徽和县)任刺史。 他在赴任途中,经过西塞山时写了这首诗。 2.王濬,晋益州刺史。益州:晋时郡治在今成都。晋武帝谋伐 吴,派王濬造大船,出巴蜀,船上以木为城,起楼,每船可 容二千余人。 3.金陵(今南京)当时是吴国的都城。王气:帝王之气。 4.东吴末帝孙皓命人在江中轩铁锥,又用大铁索横于江面,拦 截晋船,终失败。寻:长度单位。 5.(指石头城,故址在今江苏省南京清凉山)王濬率船队从武昌 顺流而下,直到金陵,攻破石头城,吴主孙皓到营门投降。 6.四海为家两句:如今国家统一,旧时的壁垒早已荒芜。
24

毛泽东《沁园春· 雪》
一九三六年二月

北国风光,千里冰封,万里雪飘。望长城内外,惟 余莽莽,大河上下。顿失滔滔,山舞银蛇,原驰蜡象, 欲与天公试比高。须晴日,看红装素裹,分外妖娆。 江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武, 略输文采,唐宗宋祖,稍逊风骚,一代天骄,成吉思汗, 只识弯弓射大雕。俱往矣!数风流人物,还看今朝。
一九四五年八月二十八日,毛泽东从延安飞往重庆,同国民党进行了四十 三天的谈判。其间柳亚子屡有诗赠毛,十月七日,毛书此词回赠。随即发表在 重庆《新华日报》上,轰动一时。
25

王安石《桂枝香· 金陵怀古》

登临送目,正故国晚秋,天气初肃。千里澄江
似练,翠峰如镞(zú横截面为三角形的狭刃)。归帆去棹
(zhào小船或划船的工具)残阳里,背西风,酒旗斜矗。彩

舟云淡,星河鹭起,画图难足。

忆往昔,繁华竞逐,叹门外楼头,悲恨相续。
千古凭高,对此漫嗟荣辱。六朝旧事随流水,叹寒

烟衰草凝绿。至今商女,时时犹唱,后庭遗曲。
26

泊秦淮

杜 牧

烟笼寒水月笼沙,夜泊秦淮近酒家。
商女不知亡国恨,隔江犹唱《后庭花》。

玉树后庭花

陈后主

丽宇芳林对高阁,新装艳质本倾城;

映户凝娇乍不进,出帷含态笑相迎。
妖姬脸似花含露,玉树流光照后庭; 花开花落不长久,落红满地归寂中! 《玉树后庭花》被称为“亡国之音”。
27

隋文帝开皇八年三月,发兵五十一万八千人,由晋王杨 广节度,分进合击,直指陈朝都城建康。庐州总管韩擒虎亲 率五百名精锐士卒自横江夜渡采石矶,最先进入朱雀门。当 时陈朝后主陈叔宝惊荒失措。韩擒虎本期望攻入宫中,抓住 皇帝,立一头功,想不到宫殿中空空如也,陈后主不知去向。 在后花园的一口枯井中,一群士兵中趴在井口大呼小叫,但 井中寂然无声,士兵中有人建议用大石头投入井中,这时井 中忽然传来讨饶的声音。于是用粗绳系一箩筐坠入井中,众 人合力牵拉,觉得十分沉重,大家首先以为皇帝的龙体确实 不同凡体,等到拉上一看,才发现陈后主、张丽华、孔贵嫔 三人,紧紧地抱在一起坐在箩筐中。
28

孙髯翁《大观楼长联》 :
五百里滇池,奔来眼底,披巾岸帻,喜茫茫空阔无边。

看:东镶神骏、西著灵仪、北走蜿蜒、南翔缟素。高人韵士,
何妨选胜登临,趁蟹屿螺洲,梳裹就风还雾鬓;更萍天苇地, 点缀些翠羽丹霞。莫辜负,四围香稻,万倾晴沙,九夏芙蓉,

三春杨柳。
数千年往事,注到心头,把酒凌虚,看滚滚英雄谁在? 想:汉习楼船、唐标铁柱、宋挥玉斧、元跨革囊。伟业丰功, 费尽移山心力,尽珠廉画栋,卷不及暮雨朝云;便断碣残碑, 都付与苍烟落照。只赢得,几杵疏钟,半江渔火,两行秋雁,

一枕清霜。
29

30

滕王高阁临江渚,佩玉鸣鸾罢歌舞。 画栋朝飞南浦云,珠帘暮卷西山雨。

闲云潭影日悠悠,物换星移几度秋。
阁中帝子今何在?槛外长江空自流。

31

· · · · · · · 我们中华民族文学宝库中类似的作品是 多不胜数的,它们能使我们深思,使我们深沉, 使我们成熟。能陶冶我们的情操,启迪我们的

智慧,丰富我们的内涵。

32

漫步历史,历史波诡云谲,秦皇汉武,唐宗宋祖,沧海桑田。 漫话历史,历史云遮雾掩,日升月落,晨钟暮鼓,墟里炊烟。 漫读历史,历史山长水远,天高地阔,朝晖夕阴,天上人间。 历史以复活的生命述说曾经的辉煌,从三皇五帝到四大 发明,从千年古国到万里疆域。

历史以伤痛的废墟述说曾经的耻辱,从焚书坑儒到八国
联军,从疆土不保到精神失守。内忧外患。新痛旧伤。
波诡云谲——好像云彩和水波那样,千姿万态,不可捉摸。形容事物变幻莫测。出自汉扬雄《甘泉 赋》:于是大厦云谲波诡,摧摧而成观。

33

但是,吊古不应伤今。有一位作家说过:
“记住昨天,如果不是为了明天的进取,就莫

如忘却”。人类历史所展现出来的无比丰富性
和复杂性首先是人类科学思考的主要对象,更

是一切哲学思考的源泉和动力,多大程度上深
入历史,思想就有多大程度的深刻性。
34

讲述和研究历史的意义就在于让人们尽可 能多知道过去的东西。虽然历史不可以复原, 但对历史的重构或解释,是人们回到从前的主 要努力。我们称之为“历史”的东西,实际上 是被人“讲”或“写”出来的东西,是一种 “对历史的叙述”。
35

历史事实是客观的,但对历史的理解和阐释却带有
浓厚的主观色彩。由于见仁见智等原因,无论是研究还

是讲述历史,人们总从不同的目的和立场,以不同的方
式来书写历史。每一种“历史叙述”的背后,都必然隐

含着叙述者的一套历史“观念”。这套“观念”支配着
历史叙述者和历史学家去选择讲什么、不讲什么、如何

讲、如何编排形形色色的历史“事实”。历史实际上处
于被人不断改写的历史之中。
36

中国史学,有悠久的历史和丰富的遗产。中国史家 很早就有了史学史意识。至晚在唐代,刘知几已写出了 有系统的、颇具规模的史学批评和史学史著作《史通》

(成书于唐中宗景龙四年,即公元710年)。刘知几还
提出了著名的“史有三长”——才、学、识的理论,对 后世产生了深远的积极影响,至章学诚、梁启超而继承 发展为德、才、学、识“史家四长”的理论,受到近现 代优秀史家的推崇与效法。当代数学家王梓坤教授在

《科学发现纵横谈》中将德、识、才、学作为衡量人才
的标准,应该说是从这里得到启发的。
37

有人说:“现代科学的巨大宏伟的大厦,或许是

人类心灵的最伟大的胜利。但是,它的起源、发展和
成就的故事却是历史当中人们知道得最少的部分之一,

而且我们也很难在一般文献中找到它的踪迹。历史学
家所讲的不外是战争、政治和经济” 。 事实确实如此,有着五千年悠久历史的文明古国 和史学大国,我国的历史学偏重于人文社会科学,洋 洋二十五史,都是如此,见诸与文字的科学技术史相 比实在太少。
38

英国科学史家丹皮尔说过:“再没有什么故事
能比科学思想发展的故事更有魅力了”。各门科学

必须从对自己历史的回眸,才能够真正全面、深刻
地认识和理解自己,把握好今天的工作,科学地预

见明天。
作为人类文化最重要组成部分的数学,其思想

和应用本身就应覆盖整个人类文化。因此,反思历
史,应该说所获更多。
39

陈省身:了解历史的变化,是了解这门科学的一个步骤。

40

二、数学史概要

41

数学是历史最悠久的人类认识领域之一。从远古 屈指计数到现代高速电子计算机的发明;从量地测天

到抽象严密的公理化体系,在五千余年的数学历史长
河中,重大数学思想的诞生与发展,构成了科学史上

最富有理性魅力的题材。
与其他知识学科相比,数学是一门历史性或者说

累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发
展原有理论的基础上建立起来的它们不仅不会推翻原 有的理论,而且总是包容原先的理论。
42

例如,数的理论的演进就表现出明显的累积 性;在几何学中,非欧几何可以看成是欧氏几何 的拓广;溯源于初等代数的抽象代数并没有使前 者被淘汰;同样,现代分析中诸如函数、导数、 积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特

例……

43

科学史家普遍认为:“在大多数的学科里,一 代人的建筑为下一代人所拆毁,一个人的创造被另

一个人所破坏。唯独数学,每一代人都在古老的大
厦上添加一层楼。” 所以,当我们为这幢大厦添

砖加瓦时,有必要了解它的历史。
对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说,

数学史是必读的篇章。
44

有一位数学家说过:
一个人有可能在他不知晓太多它的历史的 情况下发明数学,也有可能在他不知晓太多它 的历史的情况下应用数学,但是一个人在对他 的历史没有相当了解的情况下,不可能具有一 种成熟的对于数学的鉴赏力。

45

世界数学史一般分为四个时期:

1.起源与早期发展(公元前6世纪前)
2.初等数学时期(公元前6世纪一16世纪) (1)古代希腊数学(公元前6世纪公元6世纪) (2)中世纪东方数学(公元3世纪一15世纪) (3)欧洲文艺复兴时期(公元15世纪一16世纪)

46

3.近代数学时期(或称变量数学建立时期,公

元17世纪——18世纪)
4.现代数学时期(19世纪初一现在)

(1)现代数学酝酿时期(19世纪初一1870年)
(2)现代数学形成时期(1870年—1940年)

(3)现代数学繁荣时期(或称当代数学时期,
1950一现在)。
47

中国数学史的分期

48

中国数学史分为五期:

1.先秦萌芽时期(——公元前206年左右);
2.汉唐奠基(初创)时期(公元前200——公元

1000年左右)
3.宋元全盛时期(公元1000年一十四世纪中叶); 4.西学输入时期(十四世纪中叶——二十世纪初); 5.近现代数学发展时期(二十世纪初——现在)。

49

史 前 数 学
1、早期的“数” 1、人与动物的原始数觉(尺蠖、乌鸦, 短尾猴的例子) 2、人类最初的记数方法——石子记数 (手指记数)、结绳记数、刻痕记数
50

有若干种动物看来也具有一种和我们相类 似的原始数觉.当在一个小的物群里边,增加 或者减去一个物品的时候,有的动物也能够辨 认到其中有所变化。有些鸟类是具有这种原始 数觉的,鸟巢里若是有四个卵,拿去一个,鸟 不会发觉,但是如果拿掉两个,这鸟通常就要 逃走了.鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三, 但无法辨别四.

51

有个田主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑 巢的乌鸦,他试了好多次都没有成功:因为人一走近, 乌鸦就离开了巢,飞开了.它栖在远远的树上守着, 等到人离开了望楼,才肯飞回巢去.有一天,这田主 定下了一个计策:两个人走进望楼,一个留着,一个 出来走开了.但是乌鸦并不上当,它老等着,直到留 在望楼里的人也走了出来才罢.这个试验一连作了几 天,两个人、三个人、四个人,都没有成功.末了, 用了五个人,也像以前一样,先都进了望楼,留一个 在里面,其他四人走出来,离开了。这次乌鸦却数不 清了;它不能辨别四与五,马上就飞回巢里去了.
52

我们所知道的最惊人的例子要算叫作

“独居蜂”(solitarv wasp)的昆虫,这种母
蜂在每个巢里下一个卵,并且在巢里面预先

储藏了一批活的尺蠖,作为幼虫孵化后的食
料.使人吃惊的是,各类独居蜂每巢里所放

的尺蠖数目都是一定的:有些类放五条,有
些放十二条,多的甚至于有二十四条的.

53

最特别的是一种叫作蜾蠃(eumenus)的蜂, 这种蜂雄的比雌的小得多,母蜂能用神秘的方 法辨别孵化出来的幼虫是雄的还是雌的,并且

据此相应地分配食品的数量;它并不去改变捕
获物的大小和种类,只给雄卵储存五条尺蠖,

给雌卵储存十条.
(美国.T.丹齐.《数:科学的语言》.

54

(1)手指记数;

(2)结绳记数:美国自
然史博物馆(纽约)就藏有古 代南美印加部落用来记事的 绳结,当时人称之为基普 (quipu):在一根较粗的绳

子上栓系涂有颜色的细绳,
再在细绳上打各种各样的结, 不同的颜色和结的位臵、形

状表示不同的事物和数目。
55

(3)刻痕记数: 迄今发现的人类刻痕记数的最早证据,是1937
年在捷克摩拉维亚(Moravia)地方出土的一块幼狼胫骨(图 1.2), 同一根狼骨的两个侧面),其上有55道刻痕,分成两组:第一组25 道痕,第二组30道痕,每一组内刻痕又按五个一群排列。这块狼骨 的年代,据考大约在3万年前(这类刻痕记数的遗迹,也在其他许多 地方都有发现)。

56

3、世界上几种古老文明的记数系统及其进位制 经历了上述的从记数到计数之后,人类开 始用符号来记录和表示数目,《周易》上说: “上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”, 正是这种过程。

57

中国商代的甲
骨文,使用了十

进乘法累数制记
数。图为河南安 阳出土的殷墟甲 骨文数字。

58

下面是按照时间顺序罗列的世界上几种古老文明的早
期记数系统,即不同的符号系统:

(玛雅是南美洲一个古老文明,留下许多未解之谜)
59

60

61

62

旧石器时代——(距今约250万年~距今约1万年) 新石器时代—— (大约从1万年前开始,结束时间从距今5000多 年至2000多年不等 ) 刻 痕 记数—— 约30000年前(手指和石子记数应更早些); 半 坡 遗址—— 距今约五千至六千年,当是新石器时代中期 ; 结 绳 记数—— 公元前3000年的壁画记载了埃及人用打结的绳 子丈量土地和估算收获 ; 绳 法 经——公元前四、五世紀 ;
63

二、早期的“形” 从“形”的概念来看:原始的人类甚至某 些动物也具有“形”的原始概念.鸟用各种羽 毛和松针等做成的巢是圆形,至少它们知道圆 形比较结实和空间最大;蜜蜂正六边形的巢就 是容积最大、美观、省料和稳定的典型杰作; 人类对“形”的观念首先来源于对自然界 的直觉开始直接认识。然后经过生产生活而逐 步丰富成熟起来的。
64

旧石器时代石器
(距 今约250万年~距今约1万年)

新石器时代石器
(中国大约在前1万年就已进入新石器时代)
65

(2005年摄于西安秦始皇陵)

从总的来看,人类在史前时期所获得的数学 知识只限于最简单的算术知识和几何知识。这 些原始的数学概念的产生,说明数学的来源是 非常现实的。由于人类在这个时期还处于蒙昧 状态,所以不可能完全抛弃事物的具体内容而

单纯考察数量的关系和空间形式,纯粹数学的
抽象形态在这个阶段还不存在。
66

第1阶段

河谷文明与早期数学
—有文物记载的最早数学知识

67

在地球北温带欧亚非三大洲的接壤处,从冰山雪峰中 淌出来的几条大河,分别孕育了人类最古老的几个文明。 它们是: 非洲的尼罗河; 埃及、西亚的底格里斯河和幼发拉底河——美索不达 米亚(伊拉克) 中南亚的印度河和恒河——印度; 东亚的黄河和长江——中国,是古代数学的发源地. 历史学家往往把这些地域的古代文明称为“河谷文明” (有人称为“农耕文明”),与农耕文明相对应的还有游 牧文明、海洋文明。
68

无论是尼罗河还是底格里斯河、幼发拉底河

以及印度河、恒河还是黄河、长江,这几条著名
的东方江河,都成为人类文明的摇篮。 因此,亚细亚是创始的地方。文明的曙光从 亚细亚升起,就像太阳从东方升起一样。

69

一、埃 及 数 学
尼罗河畔的大金字塔,今天像隐退到历史中

去的一个迷梦,永远浑浑沌沌。忧伤的司芬克斯
蹲在这里,仿佛甚么也不想解释。古埃及帝国, 在长达数千年的三十个王朝中,也曾经强盛得犹 如这金字塔一样无以伦比。但是,早在亚历山大 到来之前,它就沦于波斯人之手。在后来的数千 年里,它那被征服的厄运直到近代才结束。
70

埃及文明主要特点:
1、发 祥 地:尼罗河谷——世界上最长的河 流,形成了世界最大沙漠中的绿洲; 2、经历时间:B.C3100—B.C332;前后绵延约 三千年。 3、典型标志:象形文字、方尖碑、金字塔、木 乃伊。
71

埃及象形文字
72

埃及方尖碑
73

埃及金字塔

74

金字塔内部结构图

75

埃及木乃伊
76

埃及数学的几个特征:
1、时间跨度——A.C3100年到A.C332年,跨约3000年;
2、主要文物——纸草书;现存的就是莫斯科纸草书与莱茵 德纸草书(这也许也可以看作是尼罗河的特产); 3、数学成就——简单代数方程求解和直线形求积; “数” 的方面——注重实用数学,加法为主,而且主要是运用单位 分数(即分子为1的分数),基本上没有证明(两种纸草书都 是问题集);“形”的方面——已经具有正方形、矩形乃至

等腰三角形等图案;
77

莱茵德纸草书(全局)
78

莱茵德纸草书(局部)
79

二、美索不达米亚数学(“巴比伦”数学)
曾经屹立在两河流域的巴比伦古城,早已荡然
无存。在八千年前的苏美尔文明之后,美索不达

米亚平原始终浸泡在无穷无尽的征服之中,一个
又一个大帝国倾覆了,许多古老的民族相继从历

史上消失了。
80

1、时间跨度——约A.C2000-A.C1000; 2、文字表示——楔形文字; 3、主要文物——泥版文书;

4、数学成就——开始产生位值制思想与程序化算法
技巧,在代数领域成就很高,甚至可以解三次方

程,求直线构成的立体体积比较成熟;

81

82

83

84

85

起源于人类与大多数动物之摇篮的河谷地域的数 学,在其萌芽时期已经在“数”与“形”方面都具备 了一定的材料和内容,在记数与计数方面也具有各自 的符号系统,甚至还可以解决诸如三次方程之类的问 题。但是,表现在推理论证之上、作为数学特点的理 性思维尚未产生。

86

第2阶段

古希腊数学
真正作为科学的数学的产生,应该以建立在逻辑
推理基础之上的论证数学为标志,而这项工作是由希

腊人来完成的。

87

一、希腊数学的特点——首创逻辑推理
二、希腊数学的分期——为三个时期: (一)、论证数学的发端;(雅典时期) 代表人物:泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、亚里斯多德 (二)、黄金时代——亚历山大学派 ;

代表人物:欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯
(三)、亚历山大后期和希腊数学的衰落 代表人物: 海伦、托勒玫、丢番图 、帕波斯

88

欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论 丰碑。它最大的功绩,是在于数学中演绎范式的确立,这 种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立 的一些命题的逻辑结论,而所有这样的推理链的共同出发 点,是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公 设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。

欧几里得《原本》原作已经失传,现在的各种版本都
是根据后人的修订、注释重新整理出来的。

89

第3阶段

中世纪的东方数学
希腊的衰微和东方的崛起:

希腊几何的演绎精神,随着希腊文明的衰微而在整个
中世纪的欧洲湮没不彰.数学史上继希腊几何兴盛时期之 后是一个漫长的东方时期.除了埃及外,河谷地区再次成 为数学活跃的舞台.中世纪数学的主角,是中国、印度与 阿拉伯地区的数学.
90

中世纪的东方数学的普遍特点:
与希腊数学相比,中世纪的东方数学表现出强烈 的算法精神,特别是中国与印度数学,着重算法的概

括,不讲究命题的形式推导.所谓“算法”,不只是单
纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概

括出来的、带一般性的计算方法.算法倾向本来是古
代河谷文明的传统,但在中世纪却有了质的提高.

91

中世纪的中国数学:
中国地处亚洲东部,太平洋西岸,是世界文明古国之一, 黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮 。数学在中国 的发展源远流长,成就辉煌。研究中国数学史一般依历史 的发展,分五个阶段叙述(也有将第四、第五阶段合并 的)。 一.先秦萌芽时期[秦统一后:公元前22l——2Ol] 二.汉唐初创(或奠基)时期[汉:公元前206—公元22O 年,包括西汉和东汉、唐朝( 618—9O7)] 三.宋元全盛时期[北宋 960—1127;南宋:1127--l279; 元朝:l279--l368] 四.西学输入时期[明朝:1368--l644] 五.近现代数学发展时期 [20世纪初以来]
92

印度与阿拉伯的数学
(一).印度数学 ——“0”与阿拉伯数码的发明和使用

用圆圈符号“0”表示零,可以说是印度数学的一大发
明,公元前2世纪至公元后3世纪的“巴克沙利手稿”中用

点表示0。表示零的点号后来逐渐演变为圆圈,即现在通用
的“0”号,这一过程至迟于公元9世纪已完成,印度数码在 公元8世纪传入阿拉伯国家,后又通过阿拉伯人传至欧洲 (后来被称为“阿拉伯数码”)。
93

(二).阿拉伯数学
地域与时期:“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的

数学,而是指8—15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚
地区的数学,包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所

写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。
在世界文明史上,阿拉伯人在保存和传播希腊、印度 甚至中国的文化,最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前 提方面作出了巨大贡献。
94

至此,应该说初等数学已经形成,纯粹

的初等数学时期已经过去。在后则是初等数
学向高等数学的过渡和以及古典高等数学向

近现代数学的演变和发展,这就是数学发展
的主线。

95

第4阶段

近代数学的兴起
一.中世纪的欧洲
公元5—11世纪,是欧洲历史上的黑暗时期,天主教会

成为欧洲社会的绝对势力.封建宗教统治,使一般人笃信天
国,追求来世,从而淡漠世俗生活,对自然不感兴趣.教会

宣扬天启真理,并拥有解释这种真理的阻对权威,导致了理
性的压抑,欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态.
96

欧洲数学的复苏,是到15、16世纪.在文艺复兴的高 潮中,数学的发展与科学的革新紧密结合在一起,数学在

认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高
度强调.

例如,文艺复兴时期的艺术巨匠达· 芬奇就认为:一个
人若怀疑数学的极端可靠性,他就会陷入混乱之中,…… 人类的一切探讨活动如果缺少数学上的说明和论证,那就 不能称之为科学。

97

二.向近代数学过渡
欧洲人在向近代数学过渡中,比较突出的是代数—— 主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面、
三角学、透视学与射影几何和解析几何的发明四个方面。 代数上的进步还在于引用了较好的符号体系,这对于代 数学本身的发展以及分析学的发展来说,至关重要.正是由于 符号化体系的建立,才使代数有可能成为一门科学.近现代数 学最为明显的标志之一,就是普遍地使用了数学符号,它体现 了数学学科的高度抽象与简炼. 数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达,由于他的符 号体系的引入导致代数性质上产生重大变革.
98

而数学的符号化在我国却是反例:
闭关锁国是清代一项基本国策,在数学上亦不

例外.曾有一位名叫黄漱兰的江苏督学,他在主持
算学考试时,发现某考生答卷上凡用到数目之处,

均写成阿拉伯数字,于是勃然大怒,斥责考生“用
夷变夏,心术殊不可问”.立即停止了该发给这位 考生的津贴,以示惩戒,最后该生发狂而死.

99

李善兰和伟烈亚力在译《代微积拾级》时,采用

过一些西方符号,如乘号×,除号÷,等号=,根号,
指数(位于右上角)等.但他更多是采用汉字替代西算 符号.如阿拉伯数字(1,2,3……)改为汉字的数目 字(一,二,三,…).26个英文字母用甲乙丙丁戊 己庚辛壬癸的十字天干取代A到J,续用子丑寅卯辰巳

午来申酉戍亥的十二字地支取代K~V,最后剩下的
XYZW则代之以天地人元.希腊字母α,β,γ等则用 二十八星宿的名称代替(即角、亢、氐等)。

100

函数符号

f

用 “函”,自然对数的底e用“讷”

(指对数的发明者纳普尔,Napier).求和符号∑代

之以“喝”.把加减号(+,一)改为⊥┬(取上、下
两字之形状).特别是微分符号及积分符号,竟用微 积两字的偏旁“彳”“禾”取代.这就形成了一套光 怪陆离的符号体系,今人读之,宛若天书。试举数例:

101

用纯中文符号排印的数学书
102

用纯中文符号排印的数学书
103

用纯中文符号排印的数学书
104

第5阶段

微积分的创立
微积分的创立与解析几何的发明一起,

标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。

105

文艺复兴以来近代数学最主要的成果——微积分

的创立:
1.牛顿的“流数术”——包含初建、发展以及发表

《原理)与微积分和牛顿的其他贡献。
2.莱布尼茨的微积分——包含特征三角形、分析微积

分的建立、微积分的发表和莱布尼茨的其他数学贡献;
3.牛顿与莱布尼茨优先权问题的争执及后人评论

106

第6阶段 十八世纪数学
微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利.在18
世纪,微积分进一步深入发展,这种发展与广泛的应用紧

密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从
而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特 点的数学领域.在数学史上,18世纪可以说是分析的时

代,也是向现代数学过渡的重要时期.
107

十八世纪数学的进展,内容包括: 一.微积分的发展 群星灿烂——泰勒、麦克劳林、伯努利兄弟、欧拉、拉格朗 日 (一)积分技术与椭圆积分 (二)微积分向多元函数的推广 (三)无穷级数理论的创立 (四)函数概念的深化

(五)微积分严格化的尝试

108

二.微积分的应用与新分支的形成
(一)常微分方程——诞生与进展; (二)偏微分方程——诞生与进展; (三)变分法——诞生与进展; 三.18世纪的几何与代数

(一)微分几何的形成——微分几何的涵义及创立
(二)方程论及其他——方程理论的进展 (三)数论进展——数论的一些问题提出和解决

109

第7阶段

十九世纪数学

110

一 .代 数 学 的 新 生
十九世纪代数学的发展情况,由于代数学在这个世 纪得到了全面和较大的进展,因而称为“代数学的新 生”,主要内容有: 1.代数方程的可解性与群的发现

主要讨论了五次及其以上代数方程解的问题,得到
的成果为:证明了一般五次及其以上代数方程没有公式 解,并对可解的方程给出了判定的充要条件;特别是创立 了“群”的理论,开创了代数学广阔的新天地;
111

2.从四元数到超复数

开阔了代数系统的新视野,从而创立了向量代数和 矩阵代数等代数系统;
3.布尔代数 开创了逻辑的符号演算,奠定了计算机的数学基础; 4.代数数论 创立了代数数论,将十九世纪以前一系列孤立的结 果系统化.
112

二 .几 何 学 的 变 革 十九世纪几何学的进展,包括: 1.欧几里得平行公设——分析了人们对其矛盾的努力

及其结果;
2.非欧几何的诞生——罗巴切夫斯基、波约的贡献;

3.非欧几何的发展与确认——黎曼的成就;
4.射影几何的繁荣——庞斯列 、默比乌斯 、施陶特 等的贡献; 5.几何学的统一—— 克莱因 、希尔伯特的功绩。
113

十九世纪数学的特点:

1.十九世纪以前的数学主要为生产和技术服务,因而导
致十八世纪末,数学界的悲观情绪; 2.十九世纪数学的特点是“独立性” ——数学发展自身 驱动比较明显; “十九世纪数学与前后两个世纪的数 学有很大的不同,它真正成为一门独立存在的自在的科 学而不像过去那样只是依附于自然科学的工具和技术总 汇”

可以认为,经典数学体系在十九世完成,而二十世纪则
进入“现代数学”时期;
114

第8阶段

20世纪数学概观
(Ⅰ)——纯粹数学的主要趋势 (Ⅱ)——空前发展的应用数学

115

(Ⅰ)20世纪数学的特点:
飞速发展——在19世纪变革与积累的基础上,20世纪数学呈 现出指数式的飞速发展,已不再仅仅是代数、几何、分析 等经典学科的集合,而已成为分支众多的、庞大的知识体 系,并且仍在继续急剧地变化发展之中。 数学核心领域(即纯粹数学)的扩张,数学的空前广泛 的应用,以及计算机与数学的相互影响,形成了现代数学 研究活动的三大方面。 呈现出: 更高的抽象性; 更强的统一性; 更深入的基础探讨。
116

1. 新世纪的序幕——介绍希尔伯特的23个问题; 2. 更高的抽象——实变函数论、泛函分析、抽象 代数、拓扑学和公理化概率论五个数学分支的形成和

发展;
3. 数学的统一化——若干数学分支相互渗透、结合; 4. 对基础的深入探讨——集合论悖论 、数学基 础三大学派、数理逻辑的发展等内容;

117

(Ⅱ)1.应用数学的新时代
18世纪是数学与力学紧密结合的时代; 19世纪是纯粹数学形成的时代; 20世纪则可以说既是纯粹数学的时代,又是应用数 学的时代. 特别是20世纪40年代以后,数学以空前的广度与 深度向其他科学技术和人类知识领域渗透,加上电子 计算机的推助,应用数学的蓬勃发展已形成为当代数 学的一股强大潮流.
118

应用数学的这个新时代具有以下几方面的特点.
(1)数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的

知识领域渗透.
(2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用,其中最抽 象的一些分支也参与了渗透. (3)现代数学对生产技术的应用变得越来越直接. (4)现代数学在向外渗透的过程中,产生了一些相对独

立的应用学科

119

(Ⅱ)2.数学向其他科学的渗透
2.1 2.2 2.3 3.1 数学物理——催生量子力学和广义相对论; 生物数学——揭示DNA纽结结构、计算机断层 扫描 ; 数理经济学——一般经济均衡理论的建立; 数理统计

(Ⅱ)3.产生了独立的应用学科
3.2
3.3

运筹学
控制论

120

(Ⅱ)4.计算机与现代数学
4.1 4.2 电子计算机的诞生——诞生及其分代; 计算机影响下的数学:

(一)计算数学的兴旺
(二)纯粹数学研究与计算机 (三)计算机科学中的数学

1.组合数学
2.模糊数学 3.机器证明

121

作为对历史的回顾,下面一节课,
准备给大家播放 “不忍卒读”的中国 近现代史的影片:

圆明园

122

本讲结束,再见!

123


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