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北京大学附中2013版《创新设计》高考数学二轮复习考前抢分必备专题训练:统计与概率


北京大学附中 2013 版《创新设计》高考数学二轮复习考前抢分必备专题训练:统计与概率 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子(假 设它落在正方形区域内任何位置的机会均等) ,它落在阴影区域内的概率为

的面积为( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2 ,则阴影区域 3

A.

4 3

B.

8 3

C.

2 3

D.无法计算

【答案】B 2.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B A.

?n, p ?,且 E(? ) ? 300, D(? ) ? 200, 则 p 等于(
C. 1 D. 0

)

2 3

B.

1 3

【答案】B 3.设随机变量 X ~ N ( ? , ?
2

) ,且 p( X ? c) ? p ? X ? c ? ,则 c 的值(
C. ? D.

)

A.0 【答案】C

B. 1

?
2

4.随机变量 Y~ B(n, p) ,且 E (Y ) ? 3.6 , D(Y ) ? 2.16 ,则( A. 【答案】B n=4 p=0.9 B. n=9 p=0.4 C.n=18 p=0.2

) D. N=36 p=0.1

5.有 10 名学生,其中 4 名男生,6 名女生,从中任选 2 名学生,恰好是 2 名男生或 2 名女生的 概率是( A. ) B.

2 45

2 15

C.

7 15

D.

1 3

【答案】C 6.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩 ?

~ N (90, a2 ), ( a ? 0, 试卷满 3 分 150 分) ,统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 ,则此 5 次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( ) A. 200 B. 300 C. 400 D. 600

【答案】A

7.某校高一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有 20 名同学,统计表如 下表.由于不小心弄脏了表格,有两个数据看不到:

下列说法正确的是(

) B.这组数据的中位数与众数一定相等. D.以上说法都不对.

A.这组数据的中位数是 40,众数是 39. C.这组数据的平均数 P 满足 39<P<40. 【答案】C

8.某单位有职工 1000 人,其中青年职工 450 人,中年职工 350 人,老年职工 200 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的中年职工为 7 人, 则样本容量为( A. 11 ) B. 13 C. 20 D. 30

【答案】C 9.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍.为了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( ) A.7 B.9 C.18 D.36 【答案】C 10. 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 右图) 。由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )

A.20 【答案】C

B.25

C.30

D.35

11. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查, 设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟. 有1000名小学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是680,则平 均每天做作业的时间在0~60分钟内的学生的频率是( )

A.

680

B.

320

C.

0.68

D.

0.32

【答案】D 12.假设关于某设备的使用年限 x (年)和所支出的费用 y (万元) ,有如下表所示的统计资料:

根据上表提供的数据,求出了 y 关于 x 的线性回归方程为 值为( A. 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 ) 5.5 B. 5.0 C. 4.5

y ? 1.23x ? 0.08 ,那么统计表中 t 的
D. 4.8

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设随机变量 X ~ B(2, p) , Y ~ B(3, p) ,若 P ( X ? 1) ? 【答案】 8

3 ,则 P(Y ? 1) ? 4

7


14. 从 1, 2, 3, 4 这四个数中一次随机取两个数, 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 【答案】

1 3

15. 某学校高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 , 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级 的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取____________名学生. 【答案】15 16.假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本,若规定:选取数据时,每行从左向右,如果数据个数 不足,再转入下一行读数。如选出第 8 行第 7 列的数 7,从选定的数 7 开始向右读,按照这 种方法继续向右读,依次下去(下表为课本随机数表附表 1 的第 6 行至第 10 行)

那么取出的前五个样本的编号是____________ 【答案】785,567,199,507,175 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.袋中装有大小相同的 10 个球,其中 5 个白球,3 个红球,2 个黑球,现在依次从中取出 3 个球。 (1)求取出的 3 个球不是同一种颜色的概率; (2)求取出的 3 个球中所含红球的个数 ? 的分布列及期望。 【答案】 (Ⅰ)记事件 A: “取出的 3 个球不是同一种颜色”
3 3 C5 ? C3 11 P A ? ? 3 C10 120

? ?

P ? A? ? 1 ? P A ?

? ?

109 120

(Ⅱ)由题意知: ? 可取 0、1、2、3,

P ?? ? 0 ? ?

3 C3 35 7 ; ? ? 3 C10 120 24

P ?? ? 1? ?

2 1 C7 C3 63 21 ? ? 3 C10 120 40

1 2 C7 C 21 7 ; P ?? ? 2 ? ? 3 3 ? ? C10 120 40

3 C3 1 P ?? ? 3? ? 3 ? C10 120

分布列:

期望: E? ? 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10

18.袋中有 2 个红球,n 个白球,各球除颜色外均相同。已知从袋中摸出 2 个球均为白球的概率 为

2 , (Ⅰ)求 n; (Ⅱ)从袋中不放回的依次摸出三个球,记ξ 为相邻两次摸出的球不同色 5

的次数(例如:若取出的球依次为红球、白球、白球,则ξ =1) ,求随机变量ξ 的分布列及其 数学期望 Eξ 。 【答案】 (1)n=4 (2) ? ? 0,1,2

P( ? ? 0) =

3 15

P( ? ? 1) =

8 15

p (? ? 2) ?

4 15

Eξ =

16 15

19.某会议室用 3 盏灯照明,每盏灯各使用节能灯棍一只,且型号相同。假定每盏灯能否正常照 明只与灯棍的寿命有关,该型号的灯棍寿命为 1 年以上的概率为 0.8,寿命为 2 年以上的概 率为 0.3,从使用之日起每满 1 年进行一次灯棍更换工作,只更换已坏的灯棍,平时不换。 (I)在第一次灯棍更换工作中,求不需要更换灯棍的概率; (II)在第二次灯棍更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该灯需要更换灯棍的概率; (III)设在第二次灯棍更换工作中,需要更换的灯棍数为ξ ,求ξ 的分布列和期望。 【答案】 (I)设在第一次更换灯棍工作中,不需要更换灯棍的概率为 P1,则 P 1
2

? 0.83 ? 0.152

(II)对该盏灯来说,在第 1,2 次都更换了灯棍的概率为 (1 ? 0.8) ;在第一次未更换灯棍 而在第二次需要更换灯棍的概率为 0.8(1 ? 0.3) ,故所求概率为

P ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8(1 ? 0.3) ? 0.6;
(III) ? 的可能取值为 0,1,2,3; 某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为 p ? 0.6.
0 0 0 P(? ? 0) ? C3 p (1 ? p) 3 ? C3 0.4 3 ? 0.064, 1 0 1 P(? ? 1) ? C3 p (1 ? p) 2 ? C3 0.6 ? 0.4 2 ? 0.288,

P(? ? 2) ? C32 p 2 (1 ? p)1 ? C32 0.6 2 ? 0.41 ? 0.432,
3 0 3 P(? ? 3) ? C3 p (1 ? p) 0 ? C3 0.6 3 ? 0.4 0 ? 0.216,

? ? 的分布列为

此分布为二项分布 ? —N(3,0.6)

? E? ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8.
20.某种产品的广告费用支出 x(万元)与销售额 y(万元) 之间有如下的对应数据:

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 9 万元时,销售收入 y 的值.

?= 注:①参考公式:线性回归方程系数公式 b
5 5

?x y
i i=1 n

n

i

? nxy ? nx
i i
2

?x
i=1

? ; ? = y ? bx ,a

2 i

②参考数据: i=1 , i=1 【答案】 (1)作出散点图如下图所示:

? x i 2 = 145

? yi 2 = 13500



?x y
i=1

5

= 1380

.

(2) x =

1 ? (2 + 4 + 5 + 6 + 8) = 5 , 5

1 y = ? (30 + 40 + 60 + 50 + 70) = 50 , 5
已知

? x i 2 = 145
i=1

5


i

?x y
i i=1

5

i

= 1380

.

?= 由公式 b

?x y
i i=1 n

n

? nxy ? nx
2

?x
i=1

? = 6.5 , ? ,可求得 b ? = y ? bx ,a

2 i

? = 17.5 , a ? = 6.5x +17.5 ; 因此回归直线方程为 y
? = 9 ? 6.5 +17.5 = 76 (万元). (3)x=9 时,预报 y 的值为 y
21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能 耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:

(1)请在给出的坐标系内画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程

? ?a ?; y ? bx

(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 92 吨标准煤.试根据(2)求出的回归方程,预 测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数据: 3×2.5+4×3+5×4+6 ×4.5=66.5)
n ? x i yi ? nxy ? ? i ?1 ? ?b ? n ? (参考公式: ? x i2 ? nx 2 ) ? ? i ?1 ? ? ? ? ? y ? bx ?a

【答案】(1)如下图

7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 产量 3 4 5

(2)

x=

3? 4?5?6 =4.5 4 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =3.5 y= 4
n 2

能耗
n i ?1

? x i y i =3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5

i ?1

? xi = 3 + 4 + 5 + 6
2

2

2

2

=86

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? y ? bx a
故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨)。 22.从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名同学的数学成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图 所示,成绩不小于 90 分为及格。 (I)试完成甲班制取 10 名同学数学成绩频率分布表,并估计甲班的及格率。

(II)从每班抽取的同学中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; 【答案】 (Ⅰ)

估计甲班的及格率为 0.2+0.2=0.4 (Ⅱ)甲班有 6 人不及格,编号为 a,b,c,d,e,f; 乙班有 5 人不及格,编号为 1,2,3,4,5. 从每班抽取的同学中各抽取一人,共有 10×10=100 个基本事件. 其中事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,两人都不及格”记作 A ,则 A 的基本事件有: a1,a2,a3,a4,a5; b1,b2,b3,b4,b5; c1,c2,c3,c4,c5; d1,d2,d3,d4,d5; e1,e2,e3,e4,e5; f1,f2,f3,f4,f5.共 30 个基本事件,则 P( A) ?

30 3 ? 100 10

∴ 对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人,至少有一人及格”的概率为 1-

3 7 = . 10 10

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