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湖南省常德市石门县第一中学2015-2016学年高一数学上学期段考(期中)试题


2015 年下学期高一年级数学段考试题
时量:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.集合 A={1,3},B={2,3,4}则 A∩B=( A.{1} 选C 2.如下图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( ) B.{2} ) C.{3} D.{1,2,3,4}

A.①是棱台 选D



B.②是圆台

C.③不是棱锥

D.④是棱柱

图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图 ④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是 棱柱;很明显③是棱锥. 3.函数 f(x)=loga(4x-3)的图象过定点( A.(1,0) B.(1,1) ) C. ( ,0 )

3 4

D. ( ,1)

3 4

解析 令 4x-3=1,得 x=1.又 f(1)=loga(4×1-3)=loga1=0,故 f(x)=loga(4x-3) 的图象过定点(1,0). 答案 A
2 2 4.设 A={x ? Z x ? px ? 15 ? 0 }, B={x? Z x ? 5 x ? q ? 0 }, 若 A ? B={2,3,5}, A,B 分别为



) A.{3,5}、{2,3} C.{2,5}、{3,5} B.{2,3}、{3,5} D.{3,5}、{2,5}

选A 1 5.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 A.x>y>z C.y>x>z B.z>y>x D.z>x>y )

1 解析 x=loga 2+loga 3=loga 6= loga6, 2
-1-

z=loga 21-loga 3=loga 7= loga7.
1 1 1 ∵0<a<1,∴ loga5> loga6> loga7. 2 2 2 即 y>x>z. 答案 C

1 2

?( 1 ) x ? 7, x ? 0 ? 6、设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? ? x, x ? 0
A. (??, ?3) 【答案】C B. (1, ??) C. (?3,1)



D. (??, ?3) ? (1, ??)

1 1 1 ?3 ( )a ? 7 ? 1 ( )a ? 8 ? ( ) 2 ,所以 ?3 ? a ? 0 .若 【解析】若 a ? 0 ,则由 f (a ) ? 1 得 2 ,即 2

a ? 0 , 则由 f (a ) ? 1 得 a ? 1 ,, 所以 0 ? a ? 1 . 综上 a 的取值范围是 ?3 ? a ? 1 , 即
(?3,1) ,选
C.

7 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 且 y ? f ( x ? 2) 在 [0, 2] 上 是 单 调 减 函 数 , 则

f (0), f (?1), f (2) 由小到大排列为(
A. f (0) ? f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) 【答案】A

) B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (?1) ? f (0)

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



-2-

A. 16 ? 8?

B. 8 ? 8?

C. 16 ? 16?

D. 8 ? 16?

【答案】 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长 为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为

1 ? ? 22 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 =16 ? 8? ,故选 A . 2

9.如果某林区森林面积每年比上一年平均增长 10%,经过 x 年可以增长到原来的 y 倍,那么函 数 y=f(x)的图象大致是( )

解析 假设原来森林面积为 1,则 y=(1+10%) =1.1 . 答案 D

x

x

10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文, 墓碑上刻着一个圆柱, 圆柱内有一个内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我 们来重温这 个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别 为( ) 3 A. ,1 2 2 B. ,1 3 3 3 C. , 2 2 2 3 D. , 3 2

C 设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R,
-3-

4 3 2 3 ∴V 圆柱=π R ×2R=2π R ,V 球= π R . 3

V圆柱 2π R3 3 ∴ = = , V球 4 3 2 πR
3

S 圆柱=2π R×2R+2×π R2=6π R2,S 球=4π R2.


S圆柱 6π R2 3 = = . S球 4π R2 2
)

10.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lgx)的解集是( A.(0,10) C. ( B. (

1 ,10) 10

1 ,?? ) 10

D. (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减,所 1 以 f(x)在(0,+∞)内单调递增,故|lgx|>1,即 lgx>1 或 lgx<-1,解得 x>10 或 0<x< . 10 答案 D

a ?x>1?, ? ? 11.若 f(x)=?? a? ?4-2?x+2?x≤1? ? ? ??
A.(1,+∞)

x

是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为(

)

B.和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x)在(-∞,

? a ? 4- >0, 1]上的最高点不高于其在(1, +∞)上的最低点, 即? 2 a ? ?a≥4-2+2,
a>1, m 的值;
解:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},A∩B=

解得 a∈, 求实 数

?m ? 2 ? 1 ?? ?m ? 3 ?m ? 2 ? 3
18.(1) (lg 5) ? lg 2 lg 50 ? 2
2
2

……10’
1 1? log2 5 2

原式=(lg5) +lg2·lg(2×5 )+2· =(lg5) +lg2·(lg2+2lg5)+2 =(lg5+lg2) +2
2 2

2

=1+2

.

……6’

-4-

(2) 计算 (2a b ) (?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2 2

1 2

3 2

1 6

5 6 3

……12’ 19.如图所示(单位:cm),四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何 体的表面积和体积. 由题意,知所 成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积. 1 2 2 又 S 半球面= ×4π ×2 =8π (cm ), 2

S 圆台侧=π (2+5) ?5-2?2+42=35π (cm2), S 圆台下底=π ×52=25π (cm2),
即该几何全的表面积为 8π +35π +25π =68π (cm ).
2

……6分

π 2 2 3 又 V 圆台= ×(2 +2×5+5 )×4=52π (cm ), 3

V 半球= ×

1 4π 16π 3 3 ×2 = (cm ). 2 3 3 ……12分

16π 140π 3 所以该几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π - = (cm ). 3 3

?2 ? x ? 20.设 f ( x) ? ? x x log log 3 3 ? 3 9 ?
(1)求 f (log 2

x ?1 x ?1

3 ) 的值。(2)求 f ( x) 的最小值。 2

【解析】(1)因为 log2 <log22=1, 所以 f(log2 )= = = .
-x x

……6分

(2)当 x∈(-∞,1]时,f(x)=2 =( ) 在(-∞,1]上是减函数,所以 f(x)的最小值为 f(1)= . 当 x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2), 令 t=log3x,则 t∈(0,+∞), f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t- ) - ,
2

-5-

所以 f(x)的最小值为 g( )=- . 综上知,f(x)的最小值为- . ……12分

21.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元, 1 2 当年产量不足 80 千件时,C(x)= x +10x(万元);当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x 3 + 10 000 -1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内生产的商品

x

能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解 (1)当 0<x<80,x∈N 时, 500×1 000x 1 2 - x -10x-250 10 000 3
*

L(x)=

1 2 =- x +40x-250; 3 当 x≥80,x∈N 时,
*

L(x)=

500×1 000x 10 000 -51x- +1 450-250 10 000 x

10 000 =1 200-(x+ ),

x

1 ? ?-3x +40x-250?0<x<80,x∈N ?, ∴L(x)=? 10 000 ? ?1 200-?x+ x ??x≥80,x∈N ?.
2 * *

……6分

(2)当 0<x<80,x∈N 时,

*

L(x)=- (x-60)2+950,
∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950. 当 x≥80,x∈N 时,
*

1 3

L(x)=1 200-(x+

10 000 )

x

10 000 ∴当 x= ,即 x=100 时,

x

-6-

L(x)取得最大值 L(100)=1 000>950.
综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000, 即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大. ……12分 22.已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0, b ? 1 ) ,在区间 [2,3] 上有最大值 4,最小值 1,
2

设 f ( x) ?

g ( x) . x
x x

(1) 求 a , b 的值; (2) 不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1,1] 上恒成立, 求实数 k 的取值范围; (3)方程 f (| 2 ? 1|) ? k (
x

2 ? 3) ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ? 1|
x

(1) 当 故? 时, 上为增函数

? ? g (2) ? 1 ? 4a ? 4a ? 1 ? b ? 1 ? a ? 1 ?? ?? ? ? g (3) ? 4 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ?b ? 0
上为减函数

当 故?

? ? g (2) ? 4 ?4a ? 4a ? 1 ? b ? 4 ?a ? ?1 ?? ?? g ( 3 ) ? 1 9 a ? 6 a ? 1 ? b ? 1 ? ? b?3 ? ?
……4分



.

.

(Ⅱ)方程

化为

,令



∵ ∴

∴ ∴

记 ……8分

(Ⅲ)方程

化为

-7-

, 令 , 则方程化为 ( )

∵方程 ∴由 的图像知,

有三个不同的实数解,

有两个根 、 且 或 记 ,



则 ∴



……12分

-8-


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