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山东省聊城三中2013届高三上学期第一次模块检测数学(理)试题


聊城三中 2013 高三年级第一次质量检测

数学试题(理)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 。 1. 函数 f ? x ? ? A. ?0,???

2x ? 1 的定义域为 log2 x
B. ?1,???

>(

) C. ?0,1? ( ) D. ?0,1? U ?1,???

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0

B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 4 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 4 ? 0 ( ) D. y ? 2 )
?x

3. 下列函数中,既是偶函数又在 ?0,??? 单调递增的函数是 A. y ? x 3 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x 2 ? 1

4. 设 x, y ? R ,则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x 2 ? y 2 ? 4 ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

5. 若角 ? 的终边上有一点 P(?4, a) ,且 sin ? ? cos ? ? ? A. 3 B. ? 3 C.

16 或 3 3

12 ,则 a 的值为( 25 16 D. 或? 3 3
)



6 .下图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是(

A. ①y ?

1 x 3 ,②y

? x2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1
3 1 x 2 ,④y

1

B. ①y ? x3 ,②y ? x 2 ,③y ? x 2 ,④y ? x ?1 D. ①y ?
1 x 3 ,②y

1

C. ①y ? x ,②y ? x ,③y ?
2

?x

?1

?

1 x 2 ,③y

? x 2 ,④y ? x ?1

7. 7.已知 sin (π 6-α )=13,则 cos(2π 3+2α )的值是( A.-79 B.-13 C.13 D.79 8.函数 f ?x ? ? ln x ? ln?2 ? x ? ? x 的单调递增区间为 (

)



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A. 0, 2

?

?

B.

?

2 ,2

?

C. ?2,???

D. ? 2 , 2

?

?

9. 根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? ? ? f ( x) ? ? 第A ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A

(A,c 为常数)。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装

件产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25

) D. 60,16 )

10. 已知函数 f ?x? ? 3 sin x ? cos x, x ? R ,若 f ?x ? ? 1, 则 x 的取值范围为( A ? x k? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

C ? x k? ?

? ?

?
6

? ? ? 5? ? 5? , k ? Z ? . D. ?x 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ? Z? 6 6 6 ? ? ?

11. 如右图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x 2 和曲线 y ? 叶形图(阴影部分), 向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在 叶形图内部的概率是( ) A.

x 围成一个

1 2

B.

1 6

C.

1 4

D.

1 3

2 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? ( x ? 1) ,

如果 g ? x? ? f ? x? ? log5 x ? 1 ,则函数 y ? g ? x ? 的所有零 点之和为( A.2 ) B.4 C.6 D.8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上 13.曲线 y ? x ? x ? 1 在点 ?1,3? 处的切线方程是__________________.
3

14.已知 0 ? ? ?

?

?? ? , 且 tan? ? ? ? ? 3 ? 2 ,则 ? ? ___________. 2 3? ?
x

15.已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是___________. 16.函数 f ?x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ?x ? 为
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单函数.例如,函数 f ?x ? ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ① 函数 f ?x ? ? x 2 (x ? R)是单函数; ② f ?x ? 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 若 ③ f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; 若 ④ 函数 f ?x ? 在某区间上具有单调性,则 f ?x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
2 2 17. (本小题满分 12 分) 已知 A ? x x ? 9 ,B ? x x ? 6 x ? 7 ? 0 ,C ? x x ? 2 ? 4 .

?

?

?

?

?

?

(1)求 A ? B 及 A ? C ; (2)若 U ? R ,求 A ? CU ( B ? C ) .

18. (本小题满分 12 分)二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 (1)求 f (x) 的解析式;

f (0) ? 1 .

(2)若不等式 f ( x) ? 2 x ? m 在区间 ?? 1,1? 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ? 19. (本小题满分 12 分)设向量 a ? (cos( ? ? ), sin(? ? ? )),b ? (cos( ? ? ), sin(? ? ? )),且
a+b= ( , ) (1)求 tan ? ;

4 3 5 5

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ?1

2 sin(? ? ) 4

?

(1)求 A 和 ? 的值;

20. (本小题满分 12 分)某商店预备在一个月内购入每张价值 20 元的书桌共 36 台,每批购 入 x 台( x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购 入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月共用去运费和保管费 52 元,现在全 月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f (x) ; (2)能否恰当的安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
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21.(本小题满分 12 分)若向量 m ? (sin ?x, 3 sin ?x), n= ?cos?x, sin ?x ?(? ? 0) ,在函数

f ?x ? ? m ? n+ t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为
最大值为 3 . (1) 求函数 f (x) 的解析式; (2) 求函数 f (x) 的单调递增区间.

? ? ?? ,且当 x ? ?0, ? 时, f (x) 的 4 ? 3?

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ?x ? ? ax ? ln x, 其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (1)当 a ? ?1 时,求 f (x) 的最大值; (2)若 f (x) 在区间 ?0, e?上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,推断方程 f ? x ? ?

ln x 1 ? 是否有实数解. x 2

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聊城三中高三年级质量检测数学试题(理)答案
一. 选择题 1-5 DBBCC 二.填空题
13. 4 x ? y ? 1 ? 0 三.解答题 17.解:? 14.

6-10 BAADB

11-12 DD

? 4

15. a ? 0

16.①③

cos B b ?? , cos C 2a ? c
2

?

?a ?a

2

? c 2 ? b 2 2ab b ?? , 2 2 2 2a ? c ? b ? c 2ac

? ?

整理得 a 2 ? c ? b 2 ? ?ac, ? cos B ? 从而 B ? 120
?

a2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? , 2ac 2ac 2

(2)由余弦定理得: a ? c ? ac ? 13
2 2

又 a ? c ? 4,? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 16

由①②得 ac ? 3. ? S ?ABC ?

1 1 3 3 ac sin B ? ? 3 ? sin 120? ? . 2 2 4
2

18.解:(1)由 f ?0? ? 1, 可设 f ?x? ? ax ? bx ? 1?a ? 0? 故 f ?x ? 1? ? f ?x? ? a?x ? 1? ? b?x ? 1? ? 1 ? ax2 ? bx ? 1 ? 2ax ? a ? b
2

?

?

由题意得: ?

?2a ? 2 ?a ? 1 ,解得 ? ;故 f ?x? ? x 2 ? x ? 1 ?b ? ?1 ?a ? b ? 0
2

2 (2)由题意得, x ? x ? 1 ? 2 x ? m ,即 x ? 3x ? 1 ? m, 对 x ? ?? 1,1? 恒成立, 2 令 g ?x ? ? x ? 3x ? 1 ,又 g ?x ? 在 ?? 1,1? 上递减,故 g ?x ?min ? g ?1? ? ?1 ,故 m ? ?1 .

19. 由 三 角 函 数 定 义 得 : cos? ?

2 2 5 , cos ? ? , ?? , ? 为 锐 角 , 10 5

? sin ? ?

7 2 5 1 , sin ? ? ,? tan? ? 7, tan ? ? . 10 5 2

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tan? ? tan ? (1) tan?? ? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
2?

1 2 ? ?3. 1 1? 7 ? 2 7?

2 tan ? ? (2) tan 2 ? ? 1 ? tan2 ?

1 2 ? 4, 2 3 ?1? 1? ? ? ?2?

4 tan? ? tan2? 3 ? ?1 . ? tan?? ? 2? ? ? ? 4 1 ? tan? tan2? 1? 7 ? 3 3? 3? ? ? , ? 为锐角,? 0 ? ? ? 2 ? ? ,? ? ? 2 ? ? . 2 4 7?
20.解:(1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分

36 批,每批价值 20 x 元,由题意 x

36 16 1 ? 4 ? k ? 20 x ,由 x ? 4 时, y ? 52 得 k ? ? x 80 5 144 ? f ?x ? ? ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N ? x 144 ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N ? (2)由(1)知? f ? x ? ? x

f ?x ? ?

?

?

?

?

? f ??x ? ? ?

144 ? 144 ? 4 x 2 4 x 2 ? 36 ?4? ? x2 x2 x2

?

?

2 令 f ??x ? ? 0 ,即 x ? 36 ? 0 解得 x ? 6 或 x ? ?6 2 令 f ??x ? ? 0 ,即 x ? 36 ? 0 解得 ? 6 ? x ? 6 .? 0 ? x ? 36

? f ?x ? 在 ?0,6? 上单调递减,在 ?6,36? 上单调递增.

? 当 x ? 6 时, f ?x ? 取得最小值, f ? x ?min ? f ?6 ? ?
故需每批购入 6 张书桌,可使资金够用. 21.解:由题意得

144 ? 4 ? 6 ? 48 . 6

f ?x ? ? m﹒n+ t ? sin ?x cos?x ? 3 sin 2 ?x ? t

1 3 3 ?? 3 ? ? sin 2?x ? cos2?x ? ? t ? sin? 2?x ? ? ? ?t 2 2 2 3? 2 ?

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(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为
?

? ,? f ?x ? 的最小周期 T ? ? 4

2? ?? 3 ? ? ? ,? ? ? 1 ,? f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ? ?t 2? 3? 2 ?

? ? ? 3 3? ? ? ?? , 当 x ? ?0, ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ?? ?,? f ?x ? ? t , 3 ? t , 3? ? 2 2 ? ? ? 3?
? f ?x?max ? 3,? 3 ? t ? 3,?t ? 0,

?

?

?? 3 ? . ? f ?x ? ? sin? 2 x ? ? ? 3? 2 ?
(2) 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

?k ? Z ? ,解得: k? ? ?

12

? x ? k? ?

5? , 12

? 5? ? ? 所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ?k? ? , k? ? ??k ? Z ? . 12 12 ? ?
22.解:(1)当 a ? ?1 时, f ?x? ? ? x ? ln x , f ?? x ? ? ?1 ? 当 0 ? x ? 1 时, f ??x? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ??x? ? 0 .
1 1? x ? . x x

? f ?x ? 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是减函数.? f ?x?max ? f ?1? ? ?1 .
(2)
1 1 ?1 ? f ??x ? ? a ? , x ? ?0, e?, ? ? ,?? ?, x x ?e ?

1 ①若 a ? ? ,则 f ??x? ? 0 ,从而 ? x ? 在 ?0.e? 上是增函数, e

? f ?x?max ? f ?e? ? ae ? 1 ? 0 .不合题意.
1 1 1 ②若 a ? ? ,则由 f ??x ? ? 0, 得; a ? ? 0. 即 0 ? x ? ? , e x a 1 1 由 f ?x ? ? 0 ,得: a ? ? 0 ,即 ? ? x ? e . x a

1? ? ? 1 ? 从而 f ?x ? 在 ? 0,? ? 上是增函数,在 ? ? , e ? 上是减函数. a? ? ? a ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? f ?x ?max ? f ? ? ? ? ?1 ? ln? ? ? ,令 ? 1 ? ln? ? ? ? ?3 ,则 ln? ? ? ? ?2 , ? a? ? a? ? a? ? a?
?? 1 ? e 2 ,即 a ? ?e 2 . a

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1 ? ?e 2 ? ? ,? a ? ?e 2 为所求. e

③由①知当 a ? ?1 时, f ?x ?max ? f ?1? ? ?1,? f ?x? ? 1. 又令 g ?x ? ?
ln x 1 1 ? ln x ? , g ?? x ? ? ,令 g ??x ? ? 0 ,得 x ? e . x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?0, e ? 上单调递增; 当 x ? e 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?e,??? 上单调递减.
1 1 ln x 1 ? ? 1? g ?x ? ? 1. ? f ?x? ? g?x? ,即 f ? x ? ? ? , e 2 x 2 ln x 1 ? 没有实数解. ? 方程 f ? x ? ? x 2 ? g ?x ?max ? g ?e ? ?

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