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上海十三校2013届高三上学期12月联考数学理试卷


上海十三校 2013 届高三上学期 12 月联考数学理试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分。 1.已知集合 M ? { x | ?1 ? x ? 2} , N ? { y | y ? 2.不等式

1 2 x ? 1, x ? M },则 M ? N ? __________。 2

1

? 1 的解集是_________________。 x ?1

3.设 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,若函数 f ( x) 的图像过点 (1 , 2) ,且 f ?1 (2 x ? 1) ? 1 ,则 x ? ______。 4.若 sin ? ? ? ,则行列式

3 5

cos? sin ?

sin ? ? __________。 cos?

5.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? a ? cos ? x ,若 f (1) ? 2 ,则实数 a ? _____。 6.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? a) (常数 a , b ? R )是偶函数,且它的值域为 [?4 , ? ?) ,则该函数 的解析式为______________。 7.若 lim(
n ??

4 4a 4 a n ?1 ? ?? ? ) ? 9 ,则实数 a 的值等于________。 1? a 1? a 1? a

8.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? 积之比为________。 9.一个等差数列 { an } 中,

??? ?

? 1 ???? 2 ??? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 ?PAC 的面 5 5

an 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为__________。 a2 n

10.若函数 f ( x) ? ? x2 ? (2a ? 1) | x | 有四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是_________。

a 11.已知正项等比数列 { an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 、 n ,使得 am ? an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为__________。 m n
12.已知等比数列 { an } 的首项为 2,公比为 2,则 13.设函数 f ( x) ? x2013 ? x , x ? R ,若当 ? ?[0 , 取值范围是__________。 14.设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c 的值域为 [0 , ? ?) ,且 f (1) ? 4 ,则 u ? 值为__________。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 4 分。

aan?1 aa1 ? aa2 ?? ? aan

? __________。

?
2

) 时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则 m 的

a c 的最大 ? c2 ? 4 a2 ? 4

15.已知 A ? { x | y ? lg ( x ? 1) , x ? R } , B ? { x |

(A) x ? B ”是“ x ? A ”的充分不必要条件(B) x ? B ”是“ x ? A ”的必要不充分条件 “ “ (C) x ? B ”是“ x ? A ”的充分必要条件 (D) x ? B ”是“ x ? A ”的既不充分又必要条件 “ “ ??? ? ??? ??? ? ? ? B C 16.若在直线 l 上存在不同的三点 A 、 、 ,使得关于 x 的方程 x2 OA ? xOB ? BC ? 0 有解(点 O 不在直线 l 上) ,则此方程的解集为 (A) { ? 1} (B) ? (C) { ( )

1 ? 1, x ? R} ,则 x





?1 ? 5 ?1 ? 5 , } (D) { ? 1, 0} 2 2

17.已知函数 f ( x) , x ? R 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,则方 程 f ( x) ? (A)8

1 在区间 [?10 , 10] 上的解的个数是 1? | x | (B)9 (C)10

( (D)11



18.数列 { an } 满足: a1 ? 1 ,

1 1 t 2 2 ,记 Sn ? a12 ? a2 ? ? ? an ,若 S2n?1 ? Sn ? 对任意 ?4 ? 2 an an ?1 30
( (D)7 )

的 n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为 (A)10 (B)9 (C)8 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式:

ax ? 1 ? 0 (a ? 0) 。 x?2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。

?log (1 ? x) , x ? 0 , 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x ? 0 .
f f f (1)计算: f (?1) 、 (0) 、 (1) 、 (2) ,并求出 f (n ? 3) 与 f (n) , n ? N * 满足的关系式;
(2)对于数列 { an } ,若存在正整数 T ,使得 an ?T ? an ,则称数列 { an } 为周期数列, T 为数列的 周期,令 an ? f (n) , n ? N * ,证明: { an } 为周期数列,指出它的周期 T ,并求 a2012 的值。

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。 如图所示,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD ,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射

Q CD 弧度(其中点 P 、 分别在边 BC 、 上运动) ,设 ?PAB ? ? , tan ? ? t 。 Q C D (1)试用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值;
角 ?PAQ 始终为

?

4

(2)求探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。

A

? 4 ?

P B

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意的 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) | ? M 成立, 则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。

1 ? m ? 3x 1 1 。 1 ? m ? 3x 3 9 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上是否为有界函
已知函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , g ( x) ? 数,请说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0 , 1] 上的上界为 T ( m) ,求 T ( m) 的取值范围。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 已知集合 A ? { a1 , a2 , ? , an } 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,对任意的 x , y ? A ,且

xy 。 36 1 1 n ?1 ? (1)求证: ? ; a1 an 36 1 1 1 (i ? 1, 2 , ? , n ? 1) ,然后再完成所要证的结论。 ? (提示:可先求证 ? ) ai ai ?1 36
x ? y ,都有 | x ? y | ?
(2)求证: n ? 11 ; (3)对于 n ? 11 ,试给出一个满足条件的集合 A 。

,

2012 年高三年级十三校联考数学(理科)试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分。 1.已知集合 M ? { x | ?1 ? x ? 2} , N ? { y | y ? 2.不等式

1 2 x ? 1, x ? M },则 M ? N ? 2

( ? 1 , 1) 。

1 ? 1 的解集是 (0 , 1) ? (1 , 2) 。 x ?1
1 。 2

3.设 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,若函数 f ( x) 的图像过点 (1 , 2) ,且 f ?1 (2 x ? 1) ? 1 ,则 x ? 4.若 sin ? ? ? ,则行列式

3 5

cos? sin ?

sin ? 7 ? 。 25 cos?

5.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? a ? cos ? x ,若 f (1) ? 2 ,则实数 a ? 3 。 6.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? a) (常数 a , b ? R )是偶函数,且它的值域为 [?4 , ? ?) ,则该函数 的解析式为 f ( x) ? x 2 ? 4 。 7.若 lim(
n ??

4 4a 4 a n ?1 1 ? ?? ? ) ? 9 ,则实数 a 的值等于 。 3 1? a 1? a 1? a

8.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? 积之比为 。 9.一个等差数列 { an } 中,
1 2

??? ?

? 1 ???? 2 ??? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 ?PAC 的面 5 5

an 1 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为 {1 , } 。 2 a2 n
1 2

10.若函数 f ( x) ? ? x2 ? (2a ? 1) | x | 有四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是 ( , ? ? ) 。

a 11.已知正项等比数列 { an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 、 n ,使得 am ? an ? 4a1 ,则

1 4 3 ? 的最小值为 。 2 m n
12.已知等比数列 { an } 的首项为 2,公比为 2,则 13.设函数 f ( x) ? x2013 ? x , x ? R ,若当 ? ?[0 , 取值范围是 ( ? ? , 1) 。 14.设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4 x ? c 的值域为 [0 , ? ?) ,且 f (1) ? 4 ,则 u ? 值为 。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 4 分。 15.已知 A ? { x | y ? lg ( x ? 1) , x ? R } , B ? { x |
7 4

aan?1 aa1 ? aa2 ?? ? aan

? 4 。

?
2

) 时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则 m 的

a c 的最大 ? 2 c ?4 a ?4
2

(A) x ? B ”是“ x ? A ”的充分不必要条件(B) x ? B ”是“ x ? A ”的必要不充分条件 “ “ (C) x ? B ”是“ x ? A ”的充分必要条件 (D) x ? B ”是“ x ? A ”的既不充分又必要条件 “ “ ??? ? ??? ??? ? ? ? B C 16.若在直线 l 上存在不同的三点 A 、 、 ,使得关于 x 的方程 x2 OA ? xOB ? BC ? 0 有解(点 O 不在直线 l 上) ,则此方程的解集为 (A) { ? 1} (B) ? (C) { (
A

1 ? 1, x ? R} ,则 x

( B )



?1 ? 5 ?1 ? 5 , } (D) { ? 1, 0} 2 2

17.已知函数 f ( x) , x ? R 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,则方 程 f ( x) ? (A)8

1 在区间 [?10 , 10] 上的解的个数是 1? | x | (B)9 (C)10

( B ) (D)11

18.数列 { an } 满足: a1 ? 1 ,

1 1 t 2 2 ,记 Sn ? a12 ? a2 ? ? ? an ,若 S2n?1 ? Sn ? 对任意 ?4 ? 2 an an ?1 30
( A ) (D)7

的 n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为 (A)10 (B)9 (C)8 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式:

ax ? 1 ? 0 (a ? 0) 。 x?2

1 19.∵ a ? 0 ,∴原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 。???????????????????????(3 分) a

当a? 当a?

1 时,不等式的解集为 ( ? ? , 2) ? ( 2 , ? ? ) ;??????????????????????(6 分) 2 1 1 时,不等式的解集为 ( ? ? , ) ? ( 2 , ? ? ) ;??????????????????????(9 分) 2 a 1 1 时,不等式的解集为 ( ? ? , 2) ? ( , ? ? ) 。????????????????????(12 分) 2 a

当0?a?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。

?log (1 ? x) , x ? 0 , 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x ? 0 .
f f f (1)计算: f (?1) 、 (0) 、 (1) 、 (2) ,并求出 f (n ? 3) 与 f (n) , n ? N * 满足的关系式;
(2)对于数列 { an } ,若存在正整数 T ,使得 an ?T ? an ,则称数列 { an } 为周期数列, T 为数列的 周期,令 an ? f (n) , n ? N * ,证明: { an } 为周期数列,指出它的周期 T ,并求 a2012 的值。
20. (1) f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f ( ?1) ? ?1 , f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 。???????(4 分) 当 n ? N * 时,由已知可得: f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) , f ( n ? 3) ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 1) ,?????(6 分) 两式相加: f (n ? 3) ? ? f ( n) 。?????????????????????????????(7 分) (2)由(1)得: an ? 3 ? ?an ,∴ an ? 6 ? ?an ? 3 ? an 。??????????????????????(10 分) ∴ { a n } 是周期为 6 的周期数列。????????????????????????????(11 分) ∴ a2012 ? a335?6 ? 2 ? a2 ? f (2) ? ?1 。???????????????????????????(14 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。 如图所示,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD ,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射

Q CD 弧度(其中点 P 、 分别在边 BC 、 上运动) ,设 ?PAB ? ? , tan ? ? t 。 Q C D (1)试用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)求探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。
角 ?PAQ 始终为

?

4

21. (1)设 BP ? t , CP ? 1? t , 0 ? t ? 1 , ?DAQ ?
CQ ? 1 ?

?
4

? ? , DQ ? tan (

?
4

??) ?

1? t , 1? t

1? t 2t ? 。?????????????????????(2 分) 1? t 1? t
2

A
2

? 4 ?

P B

2t 1 ? t 2t 2 1 ? t ? ? 1 为定值。 分) ∴ PQ ? CP2 ? CQ2 ? (1 ? t )2 ? ( , l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? (6 ) ? 1? t 1? t 1? t 1? t 1 2 ) (0 ? t ? 1) 。????????????????(8 分) (2) S ? S正方形 ABCD ? S?ABP ? S?ADQ ? 2 ? (1 ? t ? 2 1? t 2 又函数 y ? 1 ? t ? 在 [0 , 2 ? 1] 上是减函数,在 [ 2 ? 1 , 1] 上是增函数,?????????(10 分) 1? t 2 1 1 2 ? 3 ,∴ ? 2 ? (1 ? t ? ) ? 2 ? 2 。????????????????(13 分) ∴ 2 2 ?1? t ? 1? t 2 2 1? t
所以探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值为 2 ? 2 ( km2 ) 。????????(14 分)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意的 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) | ? M 成立, 则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。

1 ? m ? 3x 1 1 。 1 ? m ? 3x 3 9 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上是否为有界函
已知函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , g ( x) ? 数,请说明理由;

(2)若函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0 , 1] 上的上界为 T ( m) ,求 T ( m) 的取值范围。
1 1 22. (1) a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x ? ( ) x , f ( x) 在 ( ? ? , 0) 上递减 ? f ( x ) ? f (0) ? 3 ,∴ f ( x) ? (3 , ? ? ) 。 (2 分) 3 9 故不存在常数 M ? 0 ,使得 | f ( x) | ? M 成立。∴函数 f ( x) 在 ( ? ? , 0) 上不是有界函数。????(4 分) 1 1 1 (2)由题意可知 | f ( x) | ? 4 在 [ 0 , ? ? ) 上恒成立, ?4 ? f ( x ) ? 4 ,即 ?5 ? ( ) x ? a ? ( ) x ? 3 ? ( ) x 。??(5 分) 9 3 9 1 x 1 x 1 x 1 x ∴ ?5 ? 3x ? ( ) ? a ? 3 ? 3x ? ( ) 在 [ 0 , ? ? ) 上恒成立,∴ [ ? 5 ? 3x ? ( ) ] max ? a ? [3 ? 3x ? ( ) ] min 。?(7 分) 3 3 3 3 1 1 x 设 3 ? t , h(t ) ? ?5t ? , p(t ) ? 3t ? ,由 x ? [0 , ? ? ) ,得 t ? 1 。 t t (t2 ? t1 )(5t1t2 ? 1) (t ? t )(3t1t2 ? 1) 设 1 ? t1 ? t2 ,则 h(t1 ) ? h(t2 ) ? ? 0 , p(t1 ) ? p(t2 ) ? 1 2 ? 0, t1t2 t1t2

∴ h (t ) 在 [1 , ? ? ) 上单调递减, p (t ) 在 [1 , ? ? ) 上单调递增。????????????????(9 分) ∴在 [1 , ? ? ) 上, h(t ) max ? h(1) ? ?6 , p(t )min ? p(1) ? 2 。∴实数 a 的取值范围是 [ ? 6 , 2] 。???(10 分) (3) g ( x) ? ?1 ? ①若 | ②若 |
2 1 ? 3m 1? m ? g ( x) ? ,∵ m ? 0 , x ? [ 0 , 1] ,∴ g ( x) 在 [ 0 , 1] 上递减,∴ 。 (12 分) m ? 3x ? 1 1 ? 3m 1? m

1? m 1 ? 3m 1? m 1? m 3 |?| | ,即 m? (0 , | ;此时 T (m) ? | | ;??????(13 分) ] 时, | g ( x) | ? | 1? m 1 ? 3m 1? m 1? m 3 1? m 1 ? 3m 1 ? 3m 1 ? 3m 3 |?| | ,即 m ? ( | ;此时 T (m) ? | | 。????(14 分) , ? ? ) 时, | g ( x) | ? | 1? m 1 ? 3m 1 ? 3m 1 ? 3m 3 1? m 1 ? 3m 3 3 | , ? ? ) ;当 m ? ( | , ? ?) 。 (16 分) ] 时, T (m) ? [| , ? ? ) 时, T (m) ? [| 1? m 1 ? 3m 3 3

综上,当 m? (0 ,

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 已知集合 A ? { a1 , a2 , ? , an } 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,对任意的 x , y ? A ,且

xy 。 36 1 1 n ?1 ? (1)求证: ? ; a1 an 36 1 1 1 (i ? 1, 2 , ? , n ? 1) ,然后再完成所要证的结论。 ? (提示:可先求证 ? ) ai ai ?1 36
x ? y ,都有 | x ? y | ?

(2)求证: n ? 11 ; (3)对于 n ? 11 ,试给出一个满足条件的集合 A 。
23. (1)依题意有 | ai ? ai ?1 | ?
ai ai ?1 ( i ? 1 , 2 , ? , n ? 1) ,又 a1 ? a2 ? ? ? an , 36 aa a ?a 1 1 1 1 ( i ? 1 , 2 , ? , n ? 1) 。??????????(2 分) ∴ ai ?1 ? ai ? i i ?1 ? i ?1 i ? ,可得 ? ? 36 ai ai ?1 36 ai ai ?1 36



1 1 1 1 1 1 n ?1 1 1 n ?1 ,即 ? ? 。???????????????(4 分) ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a2 a3 an ?1 an 36 a1 an 36
n ?1 1 n ?1 ,又 a1 ? 1 ,可得 1 ? ,因此 n ? 37 。??????????????(5 分) ? 36 a1 36

(2)由(1)可得 同理,

1 n?i 1 1 n?i 1 n?i ,可知 ? 。又 ai ? i ,可得 ? 。?????????????(7 分) ? ? i 36 ai an 36 ai 36

∴ i ( n ? i ) ? 36 ( i ? 1 , 2 , ? , n ? 1) 都成立。????????????????????????(8 分) 当 n ? 12 时,取 i ? 6 ,则 i ( n ? i ) ? 6( n ? 6) ? 36 ,与 i ( n ? i ) ? 36 不符,∴ n ? 12 。??????(9 分)

又当 n ? 11 时, i ( n ? i ) ? ( (3)由(1)可知, ∵1?

i ? n?i 2 n ) ? ( )2 ? 36 ,符合题意,∴ n ? 11 。???????????(10 分) 2 2

1 1 1 , ? ? ai ai ?1 36

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? , ? ? , ? ? , ? ? , ? ? , 2 36 2 3 36 3 4 36 4 5 36 5 6 36

∴可设 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 5 , a6 ? 6 。????????????????(12 分) 由 由 由 由 由
36 1 1 1 ,可得 a7 ? ,取 a7 ? 8 ;???????????????????????(13 分) ? ? 5 a6 a7 36 72 1 1 1 ,可得 a8 ? ,取 a8 ? 11 ;???????????????????????(14 分) ? ? 7 a7 a8 36 396 1 1 1 ,可得 a9 ? ,取 a9 ? 16 ;??????????????????????(15 分) ? ? 25 a8 a9 36 144 1 1 1 ,可得 a10 ? ,取 a10 ? 29 ;?????????????????????(16 分) ? ? 5 a9 a10 36 1044 1 1 1 ,可得 a11 ? ,取 a11 ? 150 ;????????????????????(17 分) ? ? 7 a10 a11 36

∴满足条件的一个集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 11 , 16 , 29 , 150} (答案不唯一) 。???????(18 分) 说明:也有同学在第(2)小题的证明过程中,先逐一求得 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 5 , a6 ? 6 ,
a7 ? 8 , a8 ? 11 , a9 ? 16 , a10 ? 29 , a11 ? 150 ,

然后由

1 1 1 1 1 1 1 1 ,可得 ? ? ? ? ? ? ? 0 ,∴ a12 不存在,即 n ? 11 。 a11 a12 36 a12 a11 36 150 36


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