tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

1椭圆、双曲线及抛物线


椭圆、双曲线及抛物线
真题试做 3 1.(2013· 高考广东卷)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 4 4 5 2 5 2 5 5 2 2. (2013· 高考课标全国卷Ⅰ)O 为坐

标原点, F 为抛物线 C: y =4 2x 的焦点, P 为 C 上一点, 若|PF|=4 2, 则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 x2 y2 3 3.(2013· 高考天津卷)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被 a b 3 4 3 椭圆截得的线段长为 . 3 (1)求椭圆的方程;(2)设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点, → → → → 若AC·DB+AD·CB=8,求 k 的值.

考情分析 圆锥曲线是高考的重点和热点,是高考中每年必考内容.选择题、填空题和解答题均有涉及,所占分 数在 12~18 分.主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.从近三 年题目来看,以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重,联系方程、不等式以及圆锥曲线的转 化,题型灵活多样.

考点一 圆锥曲线的定义及方程 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本,利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命 题点,在历年的高考试题中曾多次出现.对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种:一是在解答题中作为试 题的入口进行考查;二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查. (1)(2013· 高考江西卷)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( ) A.2∶ 5 B.1∶2 C. 1∶ 5 D.1∶3 x2 y2 (2)(2013· 高考天津卷)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心 a b 率为 2,则该双曲线的方程为________.

强化训练 1 (1)(2013· 石家庄市质量检测)中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为 则该椭圆的方程为( x2 y2 A. + =1 16 12 x2 y2 B. + =1 12 8 ) x2 y2 C. + =1 12 4 x2 y2 D. + =1 8 4

2 , 2

第 1 页 共 1 页

y2 (2)(2013· 辽宁省五校联考)设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 考点二 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线离心率的求解、双曲线渐近 线方程的求解,难度为中档. x2 y2 (1)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左, 右焦点分别为 F1, F2, P 是 C 上的点, a b PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( ) 3 1 1 3 A. B. C. D. 6 3 2 3 x2 y2 (2)(2013· 高考天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 a b A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p=( ) 3 A.1 B. C.2 D .3 2 x2 y2 1 强化训练 2 (1)(2013· 荆州市质量检测)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2 a b 2 +2bx+c=0 的两个实数根分别是 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)到原点的距离为( ) 7 7 A. 2 B. C.2 D. 2 4 x2 y2 2 (2)(2013· 深圳市调研考试 )已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于一点 a b M(1,m),点 M 到抛物线焦点的距离为 3,则双曲线的离心率等于( ) 1 1 A.3 B.4 C. D. 3 4 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考解析几何试题的重点内容之一.它主要涉及圆锥曲线的性质、 直线的基本知识,以及线段的中点、弦长等问题,在选择题、填空题、解答题中均有出现. x2 y2 (2012· 高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1, a b 0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.

x2 y2 2 强化训练 3 (2012· 高考北京卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0),离心率为 , a b 2
第 2 页 共 2 页

直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

圆锥曲线间常考的三种交汇 圆锥曲线是高考的热点和难点,关于圆锥曲线的综合问题一般是压轴题,而关于圆锥曲线的选择题、 填空题也存在一定的难度,特别是圆锥曲线与其他知识的交汇题型,其试题难度更大,题目测试更灵活. 一、抛物线与圆的交汇 (2012· 高考浙江卷)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知 曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a= ________.

二、抛物线与双曲线的交汇

x2 y2 (2013· 高考江西卷)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若 3 3 △ABF 为等边三角形,则 p=________.
2

三、双曲线与椭圆的交汇 (2013· 高考浙江卷)

x2 如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的 4 公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( ) 3 6 A. 2 B. 3 C. D. 2 2

_体验真题· 把脉考向_
第 3 页 共 3 页

c 3 1. 【解析】选 B.右焦点为 F(3,0)说明两层含义:双曲线的焦点在 x 轴上;c=3.又离心率为 = ,故 a 2 x2 y2 a=2,b2=c2-a2=32-22=5,故 C 的方程为 - =1,故选 B. 4 5 2. 【解析】选 C.设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ 2=4 2, ∴x0=3 2, 2 ∴y0 =4 2x0=4 2×3 2=24, ∴|y0|=2 6. 1 1 ∵F( 2,0),∴S△POF= |OF|·|y0|= × 2×2 6 2 2 =2 3. c 3 3. 【解】(1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c. a 3 (-c)2 y2 6b 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 + 2=1,解得 y=± , a2 b 3 2 6b 4 3 于是 = ,解得 b= 2. 3 3 又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), y=k(x+1), ? ?2 2 由方程组?x y ? ? 3 + 2 =1, 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 6k2 由根与系数的关系可得 x1+x2=- , 2+3k2 3k2-6 x1x2= . 2+3k2 因为 A(- 3,0),B( 3,0), → → → → 所以AC·DB+AD·CB=(x1+ 3,y1)· ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· ( 3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ . 2+3k2 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2 _典例展示· 解密高考_ 【例 1】 【解析】(1)

如图所示,由抛物线定义知|MF|=|MH|,所以|MF|∶|MN|=|MH|∶|MN|.由于 |MH| |OF| 1 △MHN∽△FOA,则 = = , |HN| |OA| 2 则|MH|∶|MN|=1∶ 5, 即|MF|∶|MN|=1∶ 5. (2)由题意可知抛物线的准线方程为 x=-2,∴双曲线的半焦距 c=2.又双曲线的离心率为 2,∴a=1, y2 b= 3,∴双曲线的方程为 x2- =1. 3 2 y 【答案】(1)C (2)x2- =1 3 c 2 [强化训练 1]【解析】(1)选 D.依题意,2c=4,c=2.又 e= = ,则 a=2 2,b=2,所以椭圆的标准 a 2
第 4 页 共 4 页

x2 y2 方程为 + =1,故选 D. 8 4 4 (2)选 C.由已知|PF1|= |PF2|,代入到|PF1|-|PF2|=2 中得|PF2|=6,故|PF1|=8.又双曲线的焦距为|F1F2| 3 1 =10,所以△PF1F2 为直角三角形,所求的面积为 ×8×6=24. 2 【例 2】 【解析】

(1)如图,由题意知 |PF2| 1 sin 30°= = , |PF1| 2 ∴|PF1|=2|PF2|. 又∵|PF1|+|PF2|=2a, 2a ∴|PF2|= . 3 2a |PF2| 3 3 ∴tan 30°= = = . |F1F2| 2c 3 c 3 ∴ = .故选 D. a 3 a2+b2 c b (2)由已知得 =2,所以 2 =4,解得 = 3,即渐近线方程为 y=± 3x.而抛物线准线方程为 x=- a a a p p 3 p p 3 p ?,B?- , ?,从而△AOB 的面积为1· 3p·p= 3,可得 p=2. ,于是 A?- ,- 2 2 2 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 【答案】(1)D (2)C c 1 b 3 2b [强化训练 2]【解析】(1)选 A.因为 e= = ,所以 a=2c,由 a2=b2+c2,得 = ,x1+x2=- =- a 2 a 2 a c 1 2 2 3,x1x2= = ,点 P(x1,x2)到原点(0,0)的距离 d= x2 1+x2= (x1+x2) -2x1x2= 2. a 2 p (2)选 A.点 M 到抛物线焦点的距离为 +1=3,∴p=4,∴抛物线方程为 y2=8x,∴m2=8.双曲线的渐 2 2 b b b2 c 近线方程 y=± x,两边平方得 y2= 2x2,把(1,m)代入上式得 8= 2,即 b2=8a2.∴双曲线的离心率 e= = a a a a a2+b2 a2+8a2 = =3. a a2 【例 3】 【解】(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即 b=1, a b b 所以 a2=b2+c2=2. x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 x2 ? ? 2 +y2=1, (2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由? 消去

? ?y=kx+m,

y 并整理得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以Δ 1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0.① ?y2=4x, ? 由? ?y=kx+m, ? 消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ 2=(2km-4)2-4k2m2=0,
第 5 页 共 5 页

2

2

2

整理得 km=1.② 2 2 ? ?k= , ? ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ?m= 2, ? ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2 a=2,

? ?c 2 [强化训练 3]【解】(1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 y = k ( x - 1 ), ? ? (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? ? 4 + 2 =1, 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2k2-4 4k2 x1+x2= . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 (1+k2)(4+6k2) = . 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S= |MN|·d= . 2 1+2k2 |k| 4+6k2 10 由 = ,解得 k=± 1. 3 1+2k2 |k| , 1+k2

第 6 页 共 6 页


推荐相关:

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结(1)

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结(1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结椭圆...


椭圆,双曲线,抛物线知识点

椭圆,双曲线,抛物线知识点_高二数学_数学_高中教育_教育专区。左老师备战考高基础复习资料 椭圆 (焦点在 x 轴) 标准 方程 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)...


椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案 .doc

椭圆双曲线抛物线综合练习题及答案 .doc_数学_高中教育_教育专区。、选择题(每小题只有个正确答案,每题 6 分共 36 分) 1. 椭圆 x 2 25 ? y 2 ...


椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。1、已知椭圆方程为 x2 y2 + = 1 ,则这个椭圆的焦距为( 23 32 C. 3 ) A.6 2、椭圆 4 x ...


有关圆,椭圆,双曲线,抛物线的详细知识点

有关圆,椭圆,双曲线,抛物线的详细知识点_数学_高中教育_教育专区。<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心 O(a,b),半径 r。 (1)圆的一般式方程...


椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理

椭圆双曲线抛物线典型例题整理_数学_高中教育_教育专区。椭圆典型例题、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0...


高中数学专题__椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题《圆锥曲线》知识点小结 椭圆双曲线抛物线 椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的...


椭圆、双曲线抛物线试卷及答案_.doc

4 8.双曲线 x2 2 9.若椭圆 2 ? y ? 1 ( a ? 0)的条准线经过点 (?2, 0) ,则椭圆的离心率为___。 a 1 10.已知抛物线型拱的顶点距离水面...


高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题四《圆锥曲线》知识点小结 椭圆双曲线抛物线 椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )...


高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

高中数学椭圆双曲线抛物线历年真题及详解_数学_高中教育_教育专区。高中数学...PF2 . ? ?1 P 为椭圆 C 上点, a2 b2 若 ?PF1 F2 的面积为 9,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com