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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点一

含有逻辑联结词的命题的真假判断

[例 1] (2014· 青岛模拟)给出下列两个命题,命题 p1:y=ln [(1-x)(1+x)]为偶函数;命 1- x 题 p2:y=ln 为奇函数,则下列命题是假命题的是( 1+ x A.p1∧p2 C

.p1∨p2 B.p1∨(非 p2) D.p1∧(非 p2) 1-x 的定义域均为(-1,1),对于函 1+x )

[自主解答] 由题意知,y=ln[(1-x)(1+x)]与 y=ln

数 f(x)=ln[(1-x)· (1+x)],f(-x)=ln[(1+x)(1-x)]=f(x),即 y=ln[(1-x)(1+x)]为偶函数, 1- x 1+x 1-x 命题 p1 为真命题;对于函数 g(x)=ln ,g(-x)=ln =-g(x),即 y=ln 是奇函数, 1+ x 1-x 1+x 命题 p2 是真命题,故 p1∧(非 p2)为假命题. [答案] D 【方法规律】 判断“p∧q”、“p∨q”、“非 p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“非 p”命题的真假.

已知 l,m,n 是空间中的三条直线,命题 p:若 m⊥l,n⊥l,则 m∥n;命题 q:若直线 l,m,n 两两相交,则直线 l,m,n 共面,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨q C.p∨(非 q) D.(非 p)∧q 解析:选 C 命题 p 中,m,n 可能平行,还可能相交或异面,所以命题 p 为假命题; 命题 q 中,当三条直线交于三个不同的点时,三条直线一定共面,当三条直线交于一点 时,三条直线不一定共面,所以命题 q 也为假命题.所以命题非 p 和命题非 q 都为真命题, 故 p∨(非 q)为真命题. 考点二 根据命题的真假求解参数的取值范围

[例 2] 已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x2 +ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范 围是( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞)

C.(-∞,-12)∪(-4,4)

D.[-12,+∞)

a [自主解答] 命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 q 等价于- ≤3, 4 即 a≥-12.由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). [答案] C 【互动探究】 保持本例条件不变,若 p∧q 为真,则如何选择? 解析:选 B p∧q 为真,∴p 和 q 均为真.

∴a 的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞). 【方法规律】 根据命题的真假性求参数的方法步骤 (1)求出当命题 p,q 为真命题时所含参数的取值范围; (2)判断命题 p,q 的真假性; (3)根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围. (2014· 台州模拟)已知命题 p:关于 x 的不等式 ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命 题 q:函数 y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 解析:由关于 x 的不等式 ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1; 由函数 y = lg(ax2 - x + a) 的定义域为 R ,知不等式 ax2 - x + a > 0 的解集为 R ,则
?a>0, ? 1 ? 解得 a> . 2 2 ? 1 - 4 a < 0 , ?

因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”, a≤0或a≥1, 0<a<1, ? ? ? ? 1 0, ?∪[1,+∞). 故? 1 或? 1 即 a∈? 2? ? ? ? ?a>2, ?a≤2, 1 0, ?∪[1,+∞) 答案:? ? 2?

考点三

全称命题、特称命题

1.全称命题与特称命题是高考的常考内容,题型多为选择题,难度较小,属容易题.

2.高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度: (1)判断全称命题、特称命题的真假性; (2)全称命题、特称命题的否定. [例 3] (1)(2014· 洛阳模拟)下列命题中为假命题的是( A.?x∈R,2x 1>0


)

B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x0∈R,tan x0=2 )

C.?x0∈R,lg x0<1

(2)(2013· 重庆高考)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定是( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 ( )

(3)(2012· 湖北高考)命题“?x0∈?RQ,x3 0∈Q”的否定是 A.?x0??RQ,x3 0∈Q C.?x??RQ,x3∈Q B.?x0∈?RQ,x3 0?Q D.?x∈?RQ,x3?Q

[自主解答] (1)A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x 1>0;B 项,∵x∈


1 1 N*,∴当 x=1 时,(x-1)2=0 与(x-1)2>0 矛盾;C 项,当 x0= 时,lg =-1<1;D 项, 10 10 当 x0∈R 时,tan x0∈R,∴?x0∈R,tan x0=2. (2)全称命题的否定是特称命题.“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R, 使得 x2 0<0”. (3)特称命题的否定是全称命题.“?x0∈?RQ,x3 x3?Q”. 0∈Q”的否定是“?x∈?RQ, [答案] (1)B (2)D (3)D

全(特)称命题问题的常见类型及解题策略 (1)全(特)称命题的真假判断.①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立,但要判断一个全称命题为假命题,只要能举出集合 M 中的 一个 x=x0,使得 p(x0)不成立即可;②要判断一个特称命题为真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题. (2)全(特)称命题的否定.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定 全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称 量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

x2 y2 1.(2014· 海淀模拟)命题 p:?α∈R,sin(π-α)=cos α;命题 q:?m>0,双曲线 2- 2 m m =1 的离心率为 2.则下列结论正确的是( )

A.p 是假命题 C.p∧q 是假命题

B. ? p 是真命题 D.p∨q 是真命题

π π π 解析:选 D 依题意,对于命题 p,注意到当 α= 时,sin(π-α)=sin α=sin =cos , 4 4 4 m2+m2 x2 y2 因此命题 p 是真命题;对于命题 q,注意到双曲线 2- 2=1 的离心率 e= = 2, m m m2 因此命题 q 是真命题.故 ? p 是假命题,p∧q 是真命题,p∨q 是真命题. 2.命题“函数 y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为( A.?x0∈M,f(-x0)≠f(x0) B.?x∈M,f(-x)≠f(x) C.?x∈M,f(-x)=f(x) D.?x0∈M,f(-x0)=f(x0) 解析:选 A 由偶函数的定义及命题“函数 y=f(x)(x∈M)是偶函数”,可知“?x∈M, f(-x)=f(x)”,该命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,即“?x0∈M, f(-x0)≠f(x0)”. 3.已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 m 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 中的命题为假命题的是( ) )

A.?x0∈R,f(x0)≤f(m) B.?x0∈R,f(x0)≥f(m) C.?x∈R,f(x)≤f(m) D.?x∈R,f(x)≥f(m) 解析:选 C ∵a>0,∴函数 f(x)=ax2+bx+c 在 x=- ∴f(m)是函数 f(x)的最小值.故 C 为假命题. ———————————[ 课 堂 归 纳 —— 通 法 领 b 处取得最小值. 2a

悟]———————————————— 1 个关系——逻辑联结词与集合的关系 “且”“或”“非”三个逻辑联结词,对应着集合中的“交”“并”“补”. 2 类否定——含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题: 全称命题 p: ?x∈M, p(x); p : ?x0∈M, p (x0). (2)特称命题的否定是全称命题:特称命题 p:?x0∈M,p(x0); p :?x∈M, p x). 3 点提醒——命题否定中的易错点 (1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提. (2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否
? ? ? ?

定. (3)“p∨q”的否定是“( ? p )∧( ? q )”;“p∧q”的否定是“( ? p ∨( ? q )”.


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