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竞赛训练题


数学竞赛训练题
一、选择题:

a2 b2 c2 的值是 ( ) ? ? bc ca ab A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2 2.已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z =xy+y-9,则 x+2y+3z=____________ 3.气象爱好者孔宗明同学在 x(x 为正整数)天中观察到:①有 7 个是雨天;②有 5 个下午 是晴天

;③有 6 个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.某种产品按质量分为 10 个档次,生产最低档次产品,每件获利润 8 元,每提高一个档次, 每件产品利润增加 2 元,用同样工时,最低档次产品每天可生产 60 件,提高一个档次将 减少 3 件,如果获利润最大的产品是第 R 档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量 增加) ,那么 R 等于 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 5.已知四边形 ABCD 从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠A= ∠C ⑥∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的 情况有( ) A. 4 种 B. 9 种 C. 13 种 D. 15 种 6.如图 8-1,已知 AB=10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两 个等边三角形 APC 和 BPD,则线段 CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5
1.已知 abc≠0,且 a+b+c=0,则代数式 C. 6 D. 5( 5 ? 1)

7.如图 8-4,矩形 ABCD 的长 AD=9cm,宽 AB=3cm,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 A. 4cm

( A B P

) D C

10cm

B. 5cm

10cm

C. 4cm 2 3cm

D. 5cm 2 3cm

8.若函数 y ? kx(k ? 0) 与函数 y ?

1 的图象相交于 A,C 两点,AB x
D. k2

垂直 x 轴于 B,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. k 二、填空题

9.若四边形的一组对边中点的连线的长为 d,另一组对边的长分别为 a,b,则 d 与 大小关系是_______ 10.如图 8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC 的平分线,若 AA′=A · E BB′=AB,则∠BAC 的度数为___。 A′ 8-5 C B

a?b 的 2

B′ D

11.已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、 5、7)(5、9、11)??问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长__ 、 ___ 12.若 S ?

1 1 1 1 ? ? ?? 1995 1996 2013

,则 S 的整数部分是_______ c

A b

13.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若∠B=60°, B C a c a 则 的值为_____ ? a?b c?b 14.如图,在△ABC 中,AB=AC,底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N,边 CN 并延长 A 交 AB 于 E。求证:EM∥BN

M E B 15. .已知 p,q 都是质数,且使得关于 x 的二次方程 x2-(8p-10q)x+5pq=0 至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q). N D C

解:原式 ?

? (b ? c) ? a ? (a ? c) ? b ? (a ? b) ? c ? ? bc ac ab a a b b c c        ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? b c a c a b a b c         ? ? ? 3 ? a b c

2、由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)·y=z2+9,所以 x+1,y 是 t2-6t+z2+9=0 的两个 实根,方程有实数解,则△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0,从而知 z=0,解方程得 x+1=3,y=3。所以 x+2y+3z=8 3、选 C。设全天下雨 a 天,上午晴下午雨 b 天,上午雨下午晴 c 天,全天晴 d 天。由题可 得关系式 a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得 2d-a=4,即 d=2,故 b=4, c=3,于 x=a+b+c+d=9。 选 C。设全天下雨 a 天,上午晴下午雨 b 天,上午雨下午晴 c 天,全天晴 d 天。由题可得关 系式 a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得 2d-a=4,即 d=2,故 b=4,c=3, 于 x=a+b+c+d=9。 4、C。 解:第 k 档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为

y ? [60 ? 3(k ? 1)][8 ? 2(k ? 1)]    ?6(k ? 9) 2 ? 8 6 4 ?
所以,生产第 9 档次产品获利润最大,每天获利 864 元。 5、 B。 共有 15 种搭配。 答 解: ①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①

和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形 ABCD 是平行四边形。 ①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形 ABCD 是平行四边 形。应选 B。 6、过 C 作 CE⊥AD 于 E,过 D 作 DF⊥PB 于 F,过 D 作 DG⊥CE 于 G。 显然 DG=EF=

1 AB=5,CD≥DG,当 P 为 AB 中点时,有 CD=DG=5,所以 CD 长度的最 2
D a H b d C

小值是 5。 E A 7、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F,过 P 作 BC 的平 a G 行线分别交 AB、CD 于 G、H。 P b 设 AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d, B c F AP2 ? a 2 ? c 2,CP 2 ? b 2 ? d 2, 则

BP2 ? b 2 ? c 2, DP 2=d 2 ? a 2
2 2 2 2

于是 AP ? CP ? BP ? DP ,故 DP ? AP ? CP ? BP ? 3 ? 5 ? 4 ? 18 ,
2 2 2 2 2 2 2

DP=3 2 8、A。设点 A 的坐标为( x, y ) ,则 xy ? 1 ,故△ABO 的面积为

1 1 xy ? ,又因为△ABO 2 2

与△CBO 同底等高,因此△ABC 的面积=2×△ABO 的面积=1 折叠后,DE=BE,设 DE=x,则 AE=9-x,在 Rt△ABC 中,AB2+AE2=BE2,即

32 ? (9 ? x) 2 ? x 2 ,解得 x=5,连结 BD 交 EF 于 O,则 EO=FO,BO=DO

∵ BD ? 92 ? 32 ? 3 10

∴DO=

3 10 2

在 Rt△DOE 中,EO= DE ? DO ?
2 2

52 ? (

3 10 10) 2 ? 2 2

∴EF= 10 。选 B。

9、设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N,MN=d,另一组对边是 AD 和 BC,其长度分别为 a、b,连结 BD,设 P 是 BD 的中点,连结 MP、PN,则 MP= NP=

b a?b ,显然恒有 d ? ,当 AD∥BC,由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点共 2 2 a?b a?b a?b a?b (或 ? d) 。 线,此时有 d ? ,所以 d 与 的大小关系是 d ? 2 2 2 2
10、12°。设∠BAC 的度数为 x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB= ∴

a , 2

1 (180 ? ? x) 2

1 (180 ? ? x) ? 4 x ? 4 x ? 180 ? ,于是可解出 x=12°。 2

11、以 3,5,7,9,11 构成的三数组不难列举出共有 10 组,它们是(3,5,7)(3,5, 、 9)(3,5,11)(3,7,9)(3,7,11)(3,9,11)(5,7,9)(5,7,11)(5, 、 、 、 、 、 、 、 9,11)(7,9,11) 、 。由 3+5<9,3+5<11,3+7<11 可以判定(3,5,9)(3,5,11) 、 、 (3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有 7 个数组构成三角形三边长。 12、因 1996、1998??2013 均大于 1995,所以 S ?

1 19 ?

1996??2012 均小于 2013, 所以 S ?

1 19 ? 1 2013

1 1995 18 从而知 S 的整数部分为 105。 ? 105 , 19
c 3c ,AD= 。 2 2

?

1 ? 105 ,又 1995、 1 105

13、过 A 点作 AD⊥CD 于 D,在 Rt△BDA 中,则于∠B=60°,所以 DB= 在 Rt△ADC 中,DC2=AC2-AD2,所以有(a-

c 2 2 3 2 ) =b - c ,整理得 a2+c2=b2+ac, 2 4

从而有

c a c 2 ? cb ? a 2 ? ab a 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ? ? ?1 a?b c?b (a ? b)(c ? b) ac ? ab ? bc ? b 2

应选 C


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