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1.2.1-2 充分条件与必要条件、充要条件 学案(人教A版选修2-1)


1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件 【课标要求】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 【核心扫描】 1.判断充分条件、必要条件、充要条件.(重点) 2.证明充要条件和求充要条件.(难点)

自学导引 “若 p, 则 q”是真命题 “若 p, 则 q”是假命题 p?q p?/ q p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的充分条件 条件关系 q 是 p 的必要条件 q 不是 p 的必要条件 试一试:在逻辑推理中 p?q,能否表达成以下 5 种说法: ①“若 p,则 q”为真命题;②p 是 q 的充分条件;③q 是 p 的必要条件;④q 的充分条 件是 p;⑤p 的必要条件是 q. 提示 可以. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的, 都能表示 p?q, 只是说法不同而已. 2.充要条件的概念 一般地,如果既有 p?q,又有 q?p,就记作 p?q,此时,我们说 p 是 q 的充分必要条 件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件,即如果 p?q, 那么 p 与 q 互为充要条件. 想一想:p 是 q 的充要条件与 p 的充要条件是 q 有什么区别? 提示 p 是 q 的充要条件指的是 p?q 是充分性, q?p 是必要性, 即 p 是条件, q 是结论; p 的充要条件是 q 中,q?p 是充分性,p?q 是必要性,即 q 是条件,p 是结论. 名师点睛 1.充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)定义法 ? 若 p?q,但 q/ p,则 p 是 q 的充分而不必要条件; ? 若 q?p,但 p/ q,则 p 是 q 的必要而不充分条件; 若 p?q 且 q?p,则 p 是 q 的充要条件; ? ? 若 p/ q 且 q/ p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)集合法 首先建立与 p,q 相应的集合,即 p:A={x|p(x)};q:B={x|q(x)}. 若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; 若 B?A,则 p 是 q 的必要条件; 若 A?B,则 p 是 q 的充分而不必要条件; 若 B?A,则 p 是 q 的必要而不充分条件; 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; 若 A? B,B? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (3)传递性法 由于逻辑联结符号“?”“?”“?”具有传递性, 因此可根据几个条件的关系, 经过若 干次的传递,判断所给的两个条件之间的相互关系. (4)等价命题法 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系 (特别是对于否定形式或“≠”形式的 1.充分条件与必要条件 命题真假 推出关系

命题)时,可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决,即等价转化为判断其逆否命题. 2.应用充分条件、必要条件、充要条件时需注意的问题 (1)确定条件是什么,结论是什么; (2)尝试从条件推结论,从结论推条件; (3)确定条件是结论的什么条件; (4)要证明命题的条件是充要的, 就是既要证明原命题成立, 又要证明它的逆命题成立. 证 明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.

题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例 1】 指出下列各题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条 件”,“充要条件”,“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)对于实数 x,y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)在△ABC 中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B; (4)已知 x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0. [思路探索] 解答本题首先判断是否有 p?q 和 q?p,再根据定义下结论,也可用等价命 题判断. 解 (1)在△ABC 中,显然有∠A>∠B?BC>AC,所以 p 是 q 的充要条件. (2)因为:x=2 且 y=6?x+y=8,即綈 q?綈 p,但綈 p?/ 綈 q,所以 p 是 q 的充分不 必要条件. (3)取 A=120° ,B=30° ,p?/ q,又取 A=30°,B=120°,q?/ p,所以 p 是 q 的既不充 分也不必要条件. (4)因为 p:A={(1,2)}, q:B={(x,y)|x=1 或 y=2}, A?B,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 规律方法 (1)判断 p 是 q 的什么条件,主要判断 p?q 及 q?p 两命题的正确性,若 p?q 真,则 p 是 q 成立的充分条件,若 q?p 真,则 p 是 q 成立的必要条件. (2)关于充要条件的判断问题,当不易判断 p?q 真假时,也可从集合角度入手判断真假, 所以结合集合关系理解,对解决与逻辑有关的问题是大有益处的. 【变式 1】 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件,必要不充分 条件,充要条件,既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p:△ABC 中,b2>a2+c2,q:△ABC 为钝角三角形; (2)p:△ABC 有两个角相等,q:△ABC 是正三角形; (3)若 a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0. 解 (1)△ABC 中, a2+c2-b2 ∵b2>a2+c2,∴cos B= <0, 2ac ∴B 为钝角,即△ABC 为钝角三角形,反之若△ABC 为钝角三角形,B 可能为锐角,这 时 b2<a2+c2. ? ∴p?q,q/ p,故 p 是 q 的充分不必要条件. (2)有两个角相等不一定是等边三角形,反之一定成立, ? ∴p/ q,q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. (3)若 a2+b2=0,则 a=b=0,故 p?q;若 a=b=0,则 a2+b2=0,即 q?p,所以 p 是 q 的充要条件. 题型二 充要条件的证明 【例 2】 求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2. [思路探索] 本题的条件是 p:m≥2,结论是 q:方程 x2+mx+1=0 有两个负实根.证明

该问题,充分性的证明是 p?q,必要性的证明是 q?p. 证明 (1)充分性:因为 m≥2,所以 Δ=m2-4≥0,所以方程 x2+mx+1=0 有实根,设 两根为 x1,x2, 由根与系数的关系知,x1· x2=1>0,所以 x1,x2 同号. 又 x1+x2=-m≤-2<0,所以 x1,x2 同为负数. 即 x2+mx+1=0 有两个负实根的充分条件是 m≥2. (2)必要性:因为 x2+mx+1=0 有两个负实根,设其为 x1,x2,且 x1x2=1, 2 ? ?Δ=m -4≥0, ? 所以 ?x1+x2=-m<0, ?
?m≥2或m≤-2, ? 即? ? ?m>0, 所以 m≥2,即 x2+mx+1=0 有两个负实根的必要条件是 m≥2. 综上可知,m≥2 是 x2+mx+1=0 有两个负实根的充要条件. 规律方法 充要条件的证明,关键是确定哪是条件,哪是结论,并明确充分性是由条件推 结论,必要性是由结论推条件,也可以理解为证明充分性就是证原命题成立,证必要性就是 证原命题的逆命题成立. 【变式 2】 证明不等式 ax2+2x+1>0 恒成立的充要条件是 a>1. 证明 当 a=0 时,2x+1>0 不恒成立. 当 a≠0 时,ax2+2x+1>0 恒成立 ?a>0 ? ?? ?a>1. ?Δ=4-4a<0 ? 所以不等式 ax2+2x+1>0 恒成立的充要条件是 a>1. 题型三 充分条件和必要条件的应用 【例 3】 (12 分)已知 p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若 p 是 q 的充 分不必要条件.求实数 a 的取值范围. 审题指导

构造集合M={x|p?x?};N={x|q?x?} ― ― → 由已知M ?N ― ― → 解关于a的不等式组 M、N 不等式 → 结果 1 [规范解答]令 M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}={x|x≤- 或 x≥2}; 2 分 2 2 N={x|x -2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2 或 x≥a},4 分 ? 由已知 p?q,且 q/ p,得 M?N. 6分 1 1 ? ? ?a-2>-2 ?a-2≥-2 3 3 3 所以? , 或? ? ≤a<2 或 <a≤2? ≤a≤2 10 分 2 2 2 ?a<2 ?a≤2 ? ? 3 即所求 a 的取值范围是[ ,2]. 12 分 2 【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时,常常借助 集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系. 【变式 3】 是否存在实数 p,使 4x+p<0 是 x2-x-2>0 的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围;否则,说明理由. 解 由 x2-x-2>0,解得 x>2 或 x<-1, 令 A={x|x>2 或 x<-1}, p 由 4x+p<0,得 B={x|x<- }, 4 p 当 B?A 时,即- ≤-1,即 p≥4, 4

求解

构造a的

p 此时 x<- ≤-1?x2-x-2>0, 4 ∴当 p≥4 时,4x+p<0 是 x2-x-2>0 的充分条件. 误区警示 各种条件混淆不清致错 【示例】 一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件 是( ). A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 [错解] ∵一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根. 4-4a>0 ? ? ? ?Δ>0, ∴? 即?1 ?a<0,故选 A. ? ?x1x2<0. <0 ? ?a 先按充要条件求解,求出 a 的范围后,缩小范围即可确定充分不必要条件. [正解] 错解求的其实是一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充 要条件.本题要求的是充分不必要条件. 由于{a|a<-1}?{a|a<0},故答案应为 C. 答案 C 本题探求的是充分不必要条件,正确区分各种条件的关系是解题的关键.如 若要证“p 是 q 的充要条件”则 p 是条件,q 是结论;若要证“p 的充要条件是 q”,则 q 是 条件,p 是结论,这是易错点.



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