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高中数学必修四《简单的三角恒等变换(一)》


3.2 简单的三角恒等变换 (一)
学习目标: 1、进一步巩固两角和(差)公式、倍 角公式,掌握它们的变形公式. 2、了解和差化积与积化和差公式、半 角公式的推导思想。 3、能用升降幂公式进行简单的三角变 换,体会三角变换的基本思路,培养推理、 运算能力.

知识回顾: 和(差)三角函数公式、倍角公式是什么?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

知识回顾: 倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos ? ? 1
2

? 1 ? 2 sin ?
2

2 tan? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

例题讲解

例 、 以 cos ?表 sin 1 试 示
cos ? ? cos 2 ?

2

?
2
2

?
2

? 1 ? 2 sin

?
2

? ?与 有 么 系 什 关 ? 2 ? ?是 的倍角
2

解:?是

?

2 2 在倍角公式cos 2? ? 1 ? 2 sin ?中,
以?代替2?,以

的二倍角 .

?
2

代替?,即得
2

2 1 ? cos? 2 ? 所以sin ? 2 2

cos? ? 1 ? 2 sin

?

,

请 cos?表 cos 用 示

2

?
2

和tan

2

?
2

?

例题讲解

1 ? cos ? sin ? , 2 2
2

?

从左到右升角降幂

1 ? cos ? cos ? , 2 2
2

?

(降幂公式)

1 ? cos ? tan ? . 2 1 ? cos ?
2

?

以上三个式子,你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗?

cos 、 tan ? 已知cos ? ,如何求 sin 、 2 2 2 1 ? cos ? 2 ? ? 1 ? cos ? sin ? , sin ? ? , 2 2 2 2 1 ? cos ? 2? ? 1 ? cos ? cos ? , cos ? ? , 2 2 2 2 1 ? cos ? 2? ? 1 ? cos ? tan ? . tan ? ? . 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? α 半角公式 符号由 所在象限决定. 2

?

?

?

不同的三角函数式主要有:
结构形式的差异, 角的差异, 三角函数名称的差异.

代数式变换与三角变换
代数式变换——对代数式的结构形式进 行变换;

三角变换——寻找各个角之间的联系,选 择适当公式进行变换.

三角恒等变换的特点

三角变换的一般思路:
1、找差异 2、消除差异——由角的联系选择公式 3、对公式变形

巩固练习1

1、 知 180 ? ? ? 270 , 化 已 简 2 ? 2 cos 2?
? ?

2、 简 cos ( 化
2

?
4

? ? ) ? sin (
2

?
4

?? )

1、 已 知 180 ? ? ? 270 , 化 简 2 ? 2 cos2?

?

?

解 :2 ? 2 cos2? ? 4 cos ? ? 2 cos? ? ? 因 为 180 ? ? ? 270
2

所 以 即

2 cos? ? ?2 cos? 2 ? 2 cos 2? ? ?2 cos 2?

? 2 ? 2、化简 cos ( ? ? ) ? sin ( ? ? ) 4 4 2 ? 2 ? cos ( ? ? ) ? si n ( ? ? ) 4 4 ? ? 1 ? cos( ? 2? ) 1 ? cos( ? 2? ) 2 2 ? ? 2 2 1 ? ? ? ( cos( ? 2? ) ? cos( ? 2? )) 2 2 2 1 ? ( ? si n2? ? si n2? ) ? 0 2
2

例题讲解

例2 求证:

? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos 2 2

1 (1) sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

这两个式子左右两边的角有什么关系? 结构形式上又有不同?

1 1、证明 一) [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ( 2 1 ? (sin ? cos ? ? cos? sin ? 2 ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ) 1 ? ( 2 sin ? cos ? ) 2 ? sin ? cos ? 即

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] \ 1 2

(2)证明(一) sin ? ? sin ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? sin cos ? cos sin 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? sin cos ? cos sin 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? 2 sin cos 2 2

法(二)

? ? ? ? 2[sin cos ? cos sin ][cos cos ? sin sin ] 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 2? 2? ? 2(sin cos cos ? cos sin cos 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 2? 2? ? sin sin cos ? cos sin sin ) 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 2? 2? 2? 2? ? 2 sin cos (cos ? sin ) ? 2 sin cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 sin cos ? 2 sin cos 2 2 2 2 ? sin ? ? sin ?

2 sin( ? ) ? cos( ? ) 2 2 2 2 ? ? ? ? ?

?

?

?

?

例题讲解

例2 求证:

? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos 2 2

1 (1) sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

哪 公 中 有 sin ? cos ? , 些 式 含 证 (1)(2)还 其 的 法 ? 明 有 他 方 吗

例题讲解

证明(二):因为 方 程 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 思 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 想 将以上两式的左右两边 分别相加得: sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 sin ? cos ? 1 即sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2

例题讲解

证明(三):由 1)可得: ( sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 sin ? cos ? 设? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 2 2 把?、?的值代入上式即得: sin ? ? sin ? ? 2 sin 那么? ?

? ??

,? ?

? ??

换 元 思 想

? ??
2

cos

? ??
2

例题讲解

例2 求证:

? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos 2 2
积 化 和 差 公 式

1 (1) sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
和 差 化 积 公 式

cos ? sin ?

sin ? ? sin ?

cos ? cos ? cos ? ? cos ? sin ? sin ? cos ? ? cos ?

巩固练习2

? sin ? 1 ? cos ? 1、求证: tan ? ? 2 1 ? cos ? sin?
1 1 2、 已 知sin( ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? , ? ? 2 3 求 sin? cos?, cos? sin?

巩固练习2

证法一: ? ? s i n ? 2 cos s i n? 2 2 ? ? ? 1 ? cos? cos ? 2 cos 2 2 ? sin 2 ? tan ? ? ? 2 cos 2

巩固练习2

? sin ? 2 证法二: tan ? ? 2 cos 2 ? ? s i n ? 2 cos 2 2 ? s i n? ? ? ? 1 ? cos? cos ? 2 cos 2 2

巩固练习2

1 1 解 : s i n ( ? ?) ? , s i n ( ? ?) ? ? ? ? 2 3 1 ? s i n? cos? ? cos? s i n? ? 2 1 s i n? cos? ? cos? s i n? ? 3 由以上两式得

5 1 sin ? cos ?= , ? sin ?= cos 12 12

达标练习

1? m 2
2

1、 若cos14? ? m, 试 用 含 的 式 子 表 示 7 ? . m cos 2、 化 简: 1 ? cos 2? ? 2 sin ? 1 3 3、 已 知cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? , 5 5 求 tan? tan? 的 值. 1 ? cos 2? 4、 已 知tan? ? 3, 求 1 ? cos 2?

2
1 2

9

课堂小结

1、余弦的倍角公式的变形有哪些? 1 ? cos 2? 2 2 sin ? ? 1 ? cos 2? ? 2 sin ? 2 1 ? cos 2? 2 2 cos ? ? 1 ? cos 2? ? 2 cos ? 2 2、三角变换的一般过程是什么?
⑴找差异 ⑵消除差异,由角与 角的关系寻找公式 ⑶对公式变形

统一角、统一函数、统一结构

3、这节课涉及到了哪几个数学思想? 方程思想 换元思想 逆用公式的思想

课堂小结

三角变换角先行 注意结构和名称

三角公式正逆用
各种差异要找清 繁简结构相互变 数学思想记心中

作 业

教材P143

A组

第1题(1)(3)(5)(7) 第3题


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