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黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高三数学试题(文史类)
满分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若复数 z ?

5i , 则 z 的共轭复数对应的点所在的象限为( 1 ? 2i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 2.如果命题 " ? ( p ? q)" 为假命题,则( ) A. p, q 均为真命题 B. p, q 均为假命题 C. p, q 中至少有一个为真命题 D. p, q 中至多有一个真命题 3.设 a ? 0.5 , b ? log4 0.1 , c ? 0.4 A. a ? c ? b B. b ? c ? a
0.1 0.1

,则(

) C. b ? a ? c

D. c ? a ? b 则 a 的最大值是( , D. 3 2

?x ? y ? 5 ? 0 ? ? 4.已知向量 a ? ( x, y), 若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A. 73 B.

?

)

5 2 2

C.

43

5.一个五面体的三视图如右图,正视图是等腰直角三角形,侧视图是 直角三角形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查,制成 了该地区 快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图) ,根据 图中提供的 信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭( ) A. 82 万盒 B. 83 万盒 C. 84 万盒 D. 85 万盒

7.函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ? 0, 间的 距离为 5 , 则 f ( 1 ) ? ( A. 3 B. ? 3 )

?
2

? ? ? ? )的部分图象如上图所示, 其中 A, B 两点之

C. 1

D. ? 1

8.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( A.

)

1 2

B. 1

C. ? 1

D. 2

9.数列 {a n }, {bn } 满足 a1 ? b1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? 则数列 {ban } 的前 10 项的和为( A. )

bn ?1 ? 2, n ? N * , bn

1 10 4 10 4 9 1 (4 ? 1) B. (4 ? 1) C. (4 9 ? 1) D. (4 ? 1) 3 3 3 3 2 F F l 10.已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 ,过 的直线 与抛物线 C
相交于 A 、 B 两点,则 OA ? OB ( O 为坐标原点)的最小值为(
2 2

)

A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 ? ? ? x ? R 11.函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x ) ,对 ,都有 f ( x) ? f ( x) 成立,若 f (ln 2) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? e 的解是( A. x ? 1 B. 0 ? x ? 1
x

) C. x ? ln 2
x

D. 0 ? x ? ln 2

12.若 f ( x) 为偶函数,且 x0 是 y ? f ( x) ? e 的一个零点,则 ? x0 一定是下列哪个函数的零 点( ) B. y ? f ( x)e x ? 1 D. y ? f ( x)e
?x
x A. y ? f (? x)e ? 1

C.

y ? f ( x)e x ? 1

?1

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.正四棱锥 O ? ABCD 的体积为

3 2 ,底面边长为 3 ,求正四棱锥 2 O ? ABCD 的内切球的表面积_____________.

C

14.向量 AB, AC 在正方形网格中的位置如图所示,设向量 a ? AC ? ? AB ,

?

A

B

? 若 a ? AB ,则实数 ? ? __________. 15.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长, 则 1 ? 2 的最小值为 . a b b 16 . 若 对 于 任 意 的 实 数 b ? ?2,4? , 都 有 2 (b ? a) ? 4 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 . 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

cos A ?

10 2 5 , a sin A ? b sin B ? c sin C ? a sin B . 10 5

(1)求 B 的值; (2)设 b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S .

18.(本小题满分 12 分)

如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据 模糊,无法确认, 在图中以 x 表示.

35 , 求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差; 4 (2)在(1)的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取一 名, 记事件 A:“两名同学的投篮命中次数之和为 17 ”, 求事件 A 发生的概率.

(1)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,其对角线的交点为 O , 且 SA ? SC, SA ? BD . (1)求证: SO ? 平面 ABCD ; (2)设 ?BAD ? 60? , AB ? SD ? 2 , P 是侧棱 SD 上的一点, 且 SB ∥平面 APC ,求三棱锥 A ? PCD 的体积.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

2 1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到两焦点的距离和为 ,短轴长为 , 2 3 2 a b

直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点. (1)求椭圆 C 的方程;
2 2 (2)若直线 MN 与圆 O : x ? y ?

y
N

1 相切, 25

证明: ?MON 为定值;
M

OO

x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? (3) 若 g ( x) ? ? 立, 求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

1? a ,求函数 h ? x ? 的单调区间; x
使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成 ?? 上存在一点 x0 ,

1? a , 在 ?1 ,e? ? e ?2 . 7 1 8 2 8 x

作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图所示, AB 是圆 O 的直径, AC 切圆 O 于点 A , AC ? AB , CO 交圆 O 于点 P , CO 的延长线交圆 O 于点 F , BP 的延长线交 AC 于点 E .

AP FA ? ; PC AB (2)若圆 O 的直径 AB ? 1 ,求 tan ?CPE 的值.
(1)求证:

(23)(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度 单位相同;

, 0 ?? ?? ) 设 P(2,1) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点. (1)当 ? ? 0 时,求 | AB | 的长度; (2)求 | PA | 2 ? | PB | 2 的取值范围.

? x ? 2 ? t cos ? ? 曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin( ( t 为参数, ? ? ) ,直线 l 的参数方程为 ? 4 y ? 1 ? t sin ? ?

(24) (本小题满分 10)选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高三数学试题(文史类)答案
一、选择题:CCAAB 三、解答题: 17.解析: (1)? a sin A ? b sin B ? c sinC ? DDABC CB 14.3 15. 3 ? 2 2 16. a ? ?1 二、填空题: 13. (4 ? 7 )?

2 5 2 5 ab . a sin B ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 5 5

a 2 ? b2 ? c 2 5 .又? A、B、C 是 ?ABC 的内角, ? ? cos C ? 2ab 5 3 10 2 5 . ,sin C ? ? sin A ? 10 5 10 5 3 10 2 5 2 , ? ? ? ?? ? cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ? 10 5 10 5 2 A、B、C ?ABC 0 ? A?C ?? 又 ? 是 的 内 角 , ? , 3? ? .? B ? ? ? ? A ? C ? ? . ? A?C ? 4 4 c b b ? ? sin C ? 4 10 . (2)? ,? c ? sin C sin B sin B 1 1 3 10 ? 60 ? ?ABC 的面积 S ? bc sin A ? ?10 ? 4 10 ? 2 2 10 11 1 2 18.解析: (Ⅰ) x ? 8 , s ? ; (Ⅱ) . 16 3 19.解析: (1)证明:∵底面 ABCD 是菱形,∴ AC ? BD . 又? BD ? SA, SA ? AC ? A,? BD ? 平面 SAC . 又? SO ? 平面SAC, BD ? SO ? SA ? SC, AO ? OC,? SO ? AC 又? AC ? BD ? O,? SO ? 平面 ABCD . (2)连接 OP , ∵ SB ? 平面 APC , SB ? 平面 SBD ,平面 SBD ? 平面 APC ? OP ,? SB ? OP . 又∵ O 是 BD 的中点,∴ P 是 SD 的中点. 由题意知 ? ABD 为正三角形.? OD ? 1 .由(1)知 SO ? 平面 ABCD ,∴ SO ? OD . 3 又? SD ? 2 ,∴在 Rt ? SOD 中, SO ? 3 .∴ P 到面 ABCD 的距离为 2 1 ?1 ? 3 1 ?VA? PCD ? VP? ACD ? ? ? ? 2 ? 2sin120? ? ? ? 3 ?2 ? 2 2 ? 20.解析: (1) 9 x 2 ? 16 y 2 ? 1 ; (2) ?MON ? ; 2
21. 解析: (1) x ? y ? 2 ? 0 ; (2)当 a ? ?1 时,单调递增区间为 (a ? 1, ??) 时,单调递减

区间为 (0, a ? 1) ;当 a ? ?1 时,单调递增区间为 (0, ??) 时,无单调递减区间; (3)a ?

e2 ? 1 e ?1

2. 或 a ?﹣
22. 解析: (1)见解析; (2)

5 ?1 . 2

23. 解析:(1) | AB |? 2 2 -----------------------4 分 (2) | PA |2 ? | PB |2? (14, 22] ——————————10 分 24. 解析:解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? 0 即 | x ? 2 | ? | 2 x ? 3 |? 0

3 ? ? 3 ? x? ? ? x?2 ? 2? x 等价于: ? 或? 2 或? 2 ?? x ? 1 ? 0 ? ? ? x ? 1 ? 0 ? ?3 x ? 5 ? 0 3 3 5 解得 1 ? x ? 或 ? x ? 或 x ?? 2 2 3 5 所以原不等式的解集为: {x |1 ? x ? } 3 (2) f ( x) ? 2 ? x? | 2 x ? a | 所以 f ( x) ? 0 可化为 | 2 x ? a |? 2 ? x ① 即 2x ? a ? 2 ? x 或 2x ? a ? x ? 2 ①式恒成立等价于 (3x ? 2)min ? a 或 ( x ? 2)max ? a ?a ? 4 ? x ? (??, 2) , ? a ?? 或 a ? 4



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