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黑龙江省哈尔滨六中2014-2015学年高一下学期开学数学试卷 Word版含解析


黑龙江省哈尔滨六中 2014-2015 学年高一下学期开学数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 2.将函数 y=sin 平移 B.m=1 或 m=2 的图象不过原点,则 m 取值是() C.m=2 D.m=1

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右

r />
个单位,所得到的图象解析式是() B.f(x)=cosx C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x

A.f(x)=sinx

3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=﹣ ﹣2.则 f(6.5)等于() A.4.5 B.﹣4.5 4.若满足条件 A.(1, )
2

C.﹣0.5

D.0.5

B. (

的△ ABC 有两个,那么 a 的取值范围是() ) C. D.(1,2)

5.函数 f(x)=x +ax+2 在区间[1,5]上至少有一个零点,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣2 2 ]∪[2 ] B.[﹣3,﹣2 ] C.[﹣ ,﹣2 ] D.(﹣∞,﹣

,+∞) ,则 cos2α=() B. C. D.

6.若 α∈(0,π) ,且 A.

7.若函数 f(x)=loga(2x +x) (a>0,a≠1)在区间( ,1)内恒有 f(x)<0,则 f(x)的 单调递增区间是() A.(﹣∞,﹣ )
4 2

2

B.(﹣ ,+∞)

C.(﹣∞,﹣ )

D.(0,+∞)

8.函数 y=sin x+cos x 的最小正周期为() A. B. C. π D.2π

9. 使函数 的 θ 的一个值是() A. B. C.

是奇函数, 且在

上是减函数

D.

10.在△ ABC 中,若(a+b+c) (a+b﹣c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ ABC 是() A.等边三角形 B. 等腰三角形但不是等边三角形 C. 等腰直角三角形 D.直角三角形但不是等腰三角形 11.当直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是() A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

12.已知定义在[1,+∞)上的函数 f(x)= (1)函数 f(x)的值域为[0,4]; (2)关于 x 的方程
n﹣1 n *

,给出下列结论:

(n∈N )有 2n+4 个不相等的实数根;

*

(3)当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 2; (4)存在 x0∈[1,8],使得不等式 x0f(x0)>6 成立, 其中正确的结论个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 tanα,tanβ 是方程 x +3
2 2

x+4=0 的两根,α,β∈(﹣



)则 α+β=.

14.函数 f(x)=log0.5(3x ﹣ax+5)在(﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是. 15.在△ ABC 中,B=60°,b= ,则 c+2a 的最大值.

16.关于函数 ,下列命题: ①若存在 x1,x2 有 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在区间 ③函数 f(x)的图象关于点 ④将函数 f(x)的图象向左平移 上是单调递增; 成中心对称图象; 个单位后将与 y=2sin2x 的图象重合.

其中正确的命题序号(注:把你认为正确的序号都填上)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步 骤) 17.已知函数 ,在 y 轴 右侧的第一个最高点的横坐标为 (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原 .

来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 18.已知函数 (1)若点 A(α,y) ( 的值; (2)设 x=x0 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,求 g(2x0)的值; (3)求函数 的值域. . )为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,试求实数 α

19.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1﹣sin (1)求 sinC 的值 (2)若 a +b =4(a+b)﹣8,求边 c 的值. 20.设函数 f(x)=cos (
2 2 2

)+

sin(

+x)cos(

﹣x) ,x∈R. , ]上的最小值;

(1)求函数 f(x)的单调递增区间,并求 f(x)在区间[﹣

(2)在三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)+f(﹣A) = ,b+c=7,三角形 ABC 的面积为 2 ,求 a.

21.已知函数 f(x)=loga

(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)当 x∈(n,a﹣2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞) ,求实数 n 与 a 的值. 22.已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)为偶函数.
x

(1)求 k 的值; (2)解关于 x 的不等式 .

黑龙江省哈尔滨六中 2014-2015 学年高一下学期开学数学 试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果幂函数 A.﹣1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 的图象不过原点,则 m 取值是() C.m=2 D.m=1

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 幂函数的图象不过原点,所以幂指数小于等于 0,系数为 1,建立不等式组,解之即 可. 解答: 解:幂函数 的图象不过原点,所以

解得 m=1 或 2,符合题意. 故选 B. 点评: 本题主要考查了幂函数的图象及其特征,考查计算能力,属于基础题.

2.将函数 y=sin 平移

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右

个单位,所得到的图象解析式是() B.f(x)=cosx C.f(x)=sin4x D.f(x)=cos4x

A.f(x)=sinx

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 函数 y=sin 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,求

出函数的表达式,然后平移求出函数解析式. 解答: 解:函数 y=sin 得到 y=sin ,再向右平移 个单位,得到 y=sin =sinx 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,

故选 A 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,注意三角函数的平移原则为左加右减上 加下减. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=﹣ ﹣2.则 f(6.5)等于() A.4.5 B.﹣4.5 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f(x+2)=﹣ ,可得 f(x)是周期为 4 的周期函数,再由 f(x)是 ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x

C.﹣0.5

D.0.5

定义在 R 上的偶函数,可得 f(6.5)=f(1.5) ,代入可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣ 故 f(x+4)=f[(x+2)+2]=﹣ =f(x) , ,

故 f(x)是周期为 4 的周期函数, 故 f(6.5)=f(2.5)=f(﹣1.5)=f(1.5) , 又∵当 1≤x≤2 时,f(x)=x﹣2. ∴f(1.5)=﹣0.5, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的周期性,是函数图象和性质的综合应用, 难度中档. 4.若满足条件 A.(1, ) 的△ ABC 有两个,那么 a 的取值范围是() ) C. D.(1,2)

B. (

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件 C 的度数,AB 及 BC 的值,根据正弦定理用 a 表示出 sinA,由 C 的度数 及正弦函数的图象可知满足题意△ ABC 有两个 A 的范围,然后根据 A 的范围,利用特殊角的 三角函数值即可求出 sinA 的范围,进而求出 a 的取值范围. 解答: 解:由正弦定理得: = ,即 = ,

变形得:sinA= , 由题意得:当 A∈(60°,120°)时,满足条件的△ ABC 有两个, 所以 < <1,解得: <a<2,

则 a 的取值范围是( 故选 C

,2) .

点评: 此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值.要求学生掌握正弦函数的图象与性质, 牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件. 5.函数 f(x)=x +ax+2 在区间[1,5]上至少有一个零点,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣2 2 ]∪[2 ] B.[﹣3,﹣2 ] C.[﹣ ,﹣2 ] D.(﹣∞,﹣
2

,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过题意知,需讨论二次函数 f(x)对称轴的分布情况:对称轴是 x=﹣ ,第一种 情况是,﹣ ≤1,或﹣ ≥5,这时候,f(1)?f(5)≤0;第二种情况,1<﹣ <5,需满足,f (1) ,f(5)有一个大于 0 且 f(﹣ )<0,解出 a 即可. 解答: 解:f(x)=x +ax+2=(x+ ) +2﹣ 对称轴 x=﹣ , ①若﹣ ≤1 或﹣ ≥5,即 a≥﹣2 或 a≤﹣10 时, 则在区间[1,5]上有零点的条件是:f(1)?f(5)≤0,无解; ②若 1<﹣ <5,即﹣10<a<﹣2 时, 则在区间[1,5]上有零点的条件是:f(﹣ )<0,且 f(1) ,f(5)中有一个大于 0,
2 2







解得:﹣

<a<﹣2

,取“=”也成立, ,﹣2 ],

综上所述,实数 a 的取值范围是:[﹣

故选:C. 点评: 熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键. 6.若 α∈(0,π) ,且 A. B.

,则 cos2α=() C. D.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值.

专题: 计算题. 分析: 通过对表达式平方,求出 cosα﹣sinα 的值,然后利用二倍角公式求出 cos2α 的值, 得到选项. 解答: 解: (cosα+sinα) = cosα<0cosα﹣sinα=﹣ cos2α=cos α﹣sin α=(cosα+sinα) (cosα﹣sinα)=﹣
2 2 2

,而 sinα>0, , = ,

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,二倍角公式的应用,本题的解答策略比 较多,注意角的范围,三角函数的符号的确定是解题的关键.
2

7.若函数 f(x)=loga(2x +x) (a>0,a≠1)在区间( ,1)内恒有 f(x)<0,则 f(x)的 单调递增区间是() A.(﹣∞,﹣ ) B.(﹣ ,+∞) C.(﹣∞,﹣ ) D.(0,+∞)

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题要根据题设中所给的条件解出 f(x)的底数 a 的值,由 x∈( ,1) ,得 2x +x∈ (1,3) ,至此可由恒有 f(x)<0,得出底数 a 的取值范围,再利用复合函数单调性求出其 单调区间即可. 解答: 解:函数 f(x)=loga(2x +x) (a>0,a≠1)在区间( ,1)恒有 f(x)<0, 由于 x∈( ,1) ,得 2x +x∈(1,3) ,又在区间( ,1)恒有 f(x)<0,故有 a∈(0,1) 对复合函数的形式进行,结合复合函数的单调性的判断规则知, 由 t=2x +x>0 得: (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) , 由 y=logat 为减函数,t=2x +x 在(﹣∞,﹣ )上为减函数, 函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣ ) 故选:C 点评: 本题考查用复合函数的单调性求单调区间,在本题中正确将题设中所给的条件进行 正确转化得出底数的范围,解决本题的关键. 8.函数 y=sin x+cos x 的最小正周期为() A. B. C. π D.2π
4 2 2 2 2 2 2

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 压轴题. 分析: 用二倍角公式化简原式,变成 y═ cos4x+ ,再利用余弦函数关于周期性的性质可 得答案. 4 2 解答: 解析:y=sin x+cos x =( )+
2

=

=

+

= cos4x+ . 故最小正周期 T= = .

故选 B 点评: 本题主要考查三角函数的周期性的问题.转化成 y=Asin(ωx+φ)的形式是关键. 9. 使函数 的 θ 的一个值是() A. B. C. D. 是奇函数, 且在 上是减函数

考点: 正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin(2x+θ+ θ+ ﹣ =kπ,k∈z,当 k 为奇数时,f(x)=﹣2sin2x,满足在 ,n∈z,当 k 为偶数时,经检验不满足条件. =2sin(2x+θ+ . 上是减函数,此时,θ=2nπ ) 是奇函 ) ,由于它是奇函数,故 上是减函数,此时,θ=2nπ

解答: 解:∵函数 数,故 θ+ =kπ,k∈Z,θ=kπ﹣

当 k 为奇数时,令 k=2n﹣1,f(x)=﹣2sin2x,满足在 ﹣ ,n∈Z,

选项 B 满足条件. 当 k 为偶数时,令 k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在 综上,只有选项 B 满足条件. 上是减函数.

故选 B. 点评: 本题考查两角和正弦公式,正弦函数的单调性,奇偶性,体现了分类讨论的数学思 想,化简函数的解析式是解题的突破口. 10.在△ ABC 中,若(a+b+c) (a+b﹣c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ ABC 是() A.等边三角形 B. 等腰三角形但不是等边三角形 C. 等腰直角三角形 D.直角三角形但不是等腰三角形 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,由(a+b+c) (a+b﹣c)=3ab 利用余弦定理求得 cosC= ,故 C=60°.再 由 sinC=2sinAcosB,利用正弦定理、余弦定理可得 a=b,从而判断△ ABC 的形状. 2 2 2 解答: 解:在△ ABC 中,∵(a+b+c) (a+b﹣c)=3ab,∴a +b ﹣c =ab, ∴cosC= = ,∴C=60°.

再由 sinC=2sinAcosB,可得 c=2a?

=

,∴a =b ,∴a=b,

2

2

故△ ABC 是等边三角形, 故选 A. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,已知三角函数值求角的大小,属于中档 题. 11.当直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是() A.(0,1) B.(0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在同一坐标系中画出直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|的图象,数形结合并分类讨论, 可得满足条件的实数 k 的取值范围. 解答: 解:在同一坐标系中画出直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|的图象如下图所示:

由图可知:当 k≤0 时,直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有且只有 1 个公共点; 当 0<k<1 时,直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有 3 个公共点; 当 k=1 时,直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有 2 个公共点; 当 k>1 时,直线 y=kx 与曲线 y=|x|﹣|x﹣2|有且只有 1 个公共点; 综上满足条件的实数 k 的取值范围是(0,1) , 故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数的零点及零点个数,分段函数的应用,难度不大,属于基 础题.

12.已知定义在[1,+∞)上的函数 f(x)= (1)函数 f(x)的值域为[0,4]; (2)关于 x 的方程
n﹣1 n *

,给出下列结论:

(n∈N )有 2n+4 个不相等的实数根;

*

(3)当 x∈[2 ,2 ](n∈N )时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 2; (4)存在 x0∈[1,8],使得不等式 x0f(x0)>6 成立, 其中正确的结论个数为() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 命题的真假判断与应用;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知解析式,画出函数的图象,进而根据图象分析四个结论的真假,综合分析结 果得出答案. 解答: 解:当 1≤x≤ 时,f(x)=4+8(x﹣ )=8x﹣8; 当 <x≤2 时,f(x)=4﹣8(x﹣ )=﹣8x+16. 当 2<x≤3 时,1< ≤ ,f(x)= f( )= (8× ﹣8)=2x﹣4; 当 3<x≤4 时, < ≤2,f(x)= (﹣8× +16)=﹣2x+8.

当 4<x≤6 时,2< ≤3,f(x)= (2× ﹣4)= x﹣2; 当 6<x≤8 时,3< ≤4,f(x)= (﹣2× +8)=﹣ x+4.…. 画出函数 f(x)的图象: 由图象可知: (1)函数 f(x)的值域为[0,4],正确; (2)当 n=1 时,关于 x 的方程 f(x)= 有 7 个不相等的实根,因此②不正确; (3)当 x∈[2
n n﹣1

,2 ]时,函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S,则 S= ×2

n

n﹣1

×2

3﹣

=2,正确;

(4)画出函数 y= (x>0)的图象,可知与函数 y=f(x)有交点, 如 x= ,3,6 等,因此不存在 x0∈[1,8],使得不等式 f(x0)> 此正确. 综上可知: (1) (3) (4)正确. 故正确结论的个数为 3 个, 故选:C 即 x0f(x0)>6 成立,因

点评: 本题考查了分段函数的解析式、图象及其性质,考查了分类讨论、数形结合的思想 方法,属于难题 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 tanα,tanβ 是方程 x +3
2

x+4=0 的两根,α,β∈(﹣



)则 α+β=﹣



考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 此题运用根与系数的关系求出 tanα+tanβ 的值和 tanαtanβ 的值,根据两角和与差的正 切公式即可求出 α+β,但一定要注意 α,β 的范围 解答: 解:tanα,tanβ 是方程 tanα+tanβ=﹣3 tanαtanβ=4, , 的两根,

tan(α+β)= 又∵α、β∈(﹣ ,

= ) ,∴α+β∈(﹣π,π) .

又∵tanα+tanβ=﹣3,tanα?tanβ=4, ∴α、β 同为负角,∴α+β=﹣ 故答案为﹣ 点评: 此题考查根与系数的关系和两角和的正切,解题时一定要注意 α,β 的角度范围,这 是本题容易出错的地方 14.函数 f(x)=log0.5(3x ﹣ax+5)在(﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是[﹣8, ﹣6]. 考点: 复合函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先根据复合函数的单调性确定函数 g(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,再根据对数 函数的真数大于 0 可得答案. 2 解答: 解:设 g(x)=3x ﹣ax+5,故函数 g(x)在(﹣1,+∞)上是增函数 ,解得﹣8≤a≤﹣6. 故答案为[﹣8,﹣6] 点评: 本题主要考查复合函数的运算性质,即同增异减的性质. 15.在△ ABC 中,B=60°,b= ,则 c+2a 的最大值 2 .
2



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理和已知条件求得 a 和 c 的关系,设 c+2a=m 代入,利用判别大于等于 0 求得 m 的范围,则 m 的最大值可得. 解答: 解:由余弦定理 cosB= 所以 a +c ﹣ac=b =3, 设 c+2a=m,即 c=m﹣2a, 代入上式得, 2 2 7a ﹣5am+m ﹣3=0 2 △ =84﹣3m ≥0, 故 m≤2 ,当 m=2 时, 此时 a= ,c= . 符合题意.
2 2 2

= ,

因此最大值为 2

故答案为:2 . 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数方程的思想的运用. 16.关于函数 ,下列命题: ①若存在 x1,x2 有 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立; ②f(x)在区间 ③函数 f(x)的图象关于点 ④将函数 f(x)的图象向左平移 上是单调递增; 成中心对称图象; 个单位后将与 y=2sin2x 的图象重合.

其中正确的命题序号①③(注:把你认为正确的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据二倍角公式,可化简函数的解析式为正弦型函数的形式,根据函数的周期性可 判断①;根据函数的单调性可判断②;根据函数的对称性可判断③;根据函数图象的变换法 则可判断④. 解答: 解:函数 = =2sin(2x+ )

由 ω=2,故函数的周期为 π,故 x1﹣x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立,故①正确; 由 2x+ ∈[﹣ +2kπ, +2kπ]得,x∈[﹣ +kπ,﹣ +2kπ](k∈Z) ,故[﹣ ,﹣ ]

是函数的单调增区间,区间 当 x= 时,f(x)=0,故点

应为函数的单调减区间,故②错误; 是函数图象的对称中心,故③正确; 个单位后得到函数的解析式为 ( f x) =2sin[2 (x+ ) + ]=2sin

函数 ( f x) 的图象向左平移 (2x+ ) ,故④错误

故答案为:①③ 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质,熟练掌握三角函数的 图象和性质是解答的关键. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步 骤) 17.已知函数 ,在 y 轴 右侧的第一个最高点的横坐标为 (Ⅰ)求 ω 的值; .

(Ⅱ)若将函数 f(x)的图象向右平移

个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原

来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域;正弦函数 的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 分析: (Ⅰ)用二倍角公式可将函数化简为 f(x)=sin(2ωx+ 第一个最高点的横坐标为 可解得 ω=1, )+ ,由正弦函数的性质,根据图象变换规律得出(x) ≤2kπ+ + (k∈Z) ,即可解出其单调增区间. )+ ,再由在 y 轴右侧的

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sin(2x+ =sin( x﹣ )+ ,令 2kπ+

≤ x﹣

解答: 解: (Ⅰ)f(x)= = sin2ωx+ cos2ωx+ )+ . ,将 x=

sin2ωx+1+cos2ωx

=sin(2ωx+ 令 2ωx+ =

代入可得:ω=1, )+ , )+ )]+ =sin(2x﹣ )+ ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sin(2x+ 函数 f(x)的图象向右平移

个单位后得出 y=sin[2(x﹣

再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)=sin( x ﹣ )+ ,

最大值为 1+ = , 令 2kπ+ ≤ x﹣ ≤2kπ+ , ], (k∈Z) . (k∈Z) ,

4kπ+ π≤x≤4kπ+

单减区间[4kπ+ π,4kπ+

点评: 本题考查了利用两角和与差的公式化简解析式,三角函数的性质,图象变换规律.

18.已知函数



(1)若点 A(α,y) (

)为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,试求实数 α

的值; (2)设 x=x0 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,求 g(2x0)的值; (3)求函数 的值域.

考点: 正弦函数的图象;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性;余弦函数的图象. 专题: 计算题. 分析: (1)点 A(α,y)为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点,得到两个函数之间的关 系,得到角的表示形式,根据角的范围作出结果. (2)对 f(x)利用二倍角进行整理,写出对称轴的表示形式,代入 g(x)得到结果. (3)把两个函数的和的形式利用二倍角公式整理出可以求解函数的值域的形式,根据函数的 定义域和正弦函数的图象求出值域 解答: 解: (1)∵点 A(α,y) ( ∴
2 2

)为函数 f(x)与 g(x)的图象的公共点 ?cos2α﹣sin2α=1



?cos 2α+sin 2α﹣2sin2αcos2α=1?sin4α=0 ∴4α=kπ,k∈Z ∴α=0 (2)∵ ∴2x0=kπ,k∈Z∴g(2x0)= (3)∵h(x)=f(x)+g(x) ∴ = = ∵ ∴ 即函数 h(x)的值域为 ∴ ∴ . . = = ∵

点评: 本题考查三角函数的恒等变形和对称性,值域,本题解题的关键是整理出函数的可 以求解函数的性质的形式,即 y=Asin(ωx+φ)的形式. 19.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1﹣sin (1)求 sinC 的值 2 2 (2)若 a +b =4(a+b)﹣8,求边 c 的值.

考点: 余弦定理;半角的三角函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二倍角公式将已知等式化简;将得到的式子平方,利用三角函数的平方关 系求出 sinC. (2)利用求出的三角函数的值将角 C 的范围缩小,求出 C 的余弦;将已知等式配方求出边 a, b;利用余弦定理求出 c 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)由 即 ∴ ∵a +b =4(a+b)﹣8 2 2 ∴(a﹣2) +(b﹣2) =0 ∴a=2,b=2 由余弦定理得 ∴ 点评: 本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦 定理.
2 2 2



20.设函数 f(x)=cos (

)+

sin(

+x)cos(

﹣x) ,x∈R. , ]上的最小值;

(1)求函数 f(x)的单调递增区间,并求 f(x)在区间[﹣

(2)在三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A 为锐角,若 f(A)+f(﹣A) = ,b+c=7,三角形 ABC 的面积为 2 ,求 a.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)运用诱导公式.二倍角的正弦公式,两角和的正弦公式,即可得到 f(x) ,再 由正弦函数的单调增区间,解不等式即可得到;根据函数的单调性得到最小值, (2)先求出 A 的度数,再根据三角形的面积公式,余弦定理即可求出 a 的值. 解答: 解: (1)f(x)=cos ( (π+2x)]+ ∵﹣ ∴﹣ cosxsinx= ﹣ cos2x+ ≤ +2kπ,k∈z,
2

)+

sin(

+x)cos( )+ ,

﹣x)= [1+cos

sin2x=sin(2x﹣

+2kπ≤2x﹣ +kπ≤x≤

+kπ,k∈z, +kπ, ,﹣ +kπ],k∈z, )单调递减,在[﹣ )=﹣ , , ]单调递增,

∴函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ ∴函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ ∴当 x=﹣

时,函数 f(x)有最小值,即 f(﹣

(2)∵f(A)+f(﹣A)= , ∴sin(2A﹣ ∴sin(2A﹣ )+ +sin(﹣2A﹣ )﹣sin(2A+ )+ = ,

)= ,

∴cos2A=﹣ , ∵A 为锐角 ∴2A= ,即 A= , bc=2 ,

由三角形的面积公式得到,S= bcsinA=

∴bc=8, 由余弦定理可得, 2 2 2 2 2 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣3bc=7 ﹣3×8=25, ∴a=5. 点评: 本题考查三角函数的化简和求值,考查正弦函数的单调性和值域的运用,正弦定理 与余弦定理是解三角形最常用的工具, 熟练掌握基本公式并能灵活应用是解题的关键, 属于中 档题.

21.已知函数 f(x)=loga

(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)当 x∈(n,a﹣2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞) ,求实数 n 与 a 的值. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值域;函数单调性的判断与证明;对数函数的单调性与 特殊点. 2 2 2 分析: (1)由已知条件得 f(﹣x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成立,化简即 m x ﹣1=x ﹣1 对定义域中的 x 均成立,解出 m,并代入题目进行检验. (2)将对数的真数进行常数分离,先判断真数的单调性,再根据底数的范围确定整个对数式 得单调性. (3)由题意知, (r,a﹣2)是定义域(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)的子集,再分(r,a﹣2)? (﹣∞,﹣1) 、 (r,a﹣2)?(1,+∞)两种情况,分别根据函数的单调性和值域,求得实数 r 与 a 的值. 解答: 解: (1)由已知条件得 f(﹣x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成立. 所以
2 2 2

,即



即 m x ﹣1=x ﹣1 对定义域中的 x 均成立. 2 所以 m =1,即 m=1(舍去)或 m=﹣1. (2)由(1)得 设 , ,

当 x1>x2>1 时,

,所以 t1<t2.

当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2) .所以当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减 函数. 同理当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. (3)因为函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 所以①:n<a﹣2<﹣1,0<a<1. 所以 f(x)在(n,a﹣2)为增函数,要使值域为(1,+∞) ,则 (无解)

②:1<n<a﹣2,所以 a>3.所以 f(x)在(n,a﹣2)为减函数,要使 f(x)的值域为(1, +∞) , 则 ,所以 ,n=1.

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及函数的特殊点,属于中档题. 22.已知函数 f(x)=log9(9 +1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值;
x

(2)解关于 x 的不等式



考点: 函数奇偶性的性质;指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)转化为 log9 ﹣log9(9 +1)=2kx 恒成立求解. (2)利用(3 ﹣a) (3 ﹣ )
x x x

>0,分类讨论求解. 解答: 解: (1)∵f(x)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 log9(9 +1)﹣kx=log9(4 +1)+kx, ∴log9 ﹣log9(9 +1)=2kx,
x
﹣x

9

∴(2k+1)x=0,∴k=﹣ , (2)



( I)①a>1 时?3 >a 或 ②0<a<1 时
x x

x

?{x|x>log3a 或 或 x<log3a},



或 3 <a,{x|x>log

③a=1 时?3 ≠1,{x|x≠0}. 点评: 本题考查了函数的性质,不等式的解法,属于中档题.


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