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辽宁省新民市第一高级中学2014届高三第三次模拟考试 数学(文)试题 Word版含答案


一、选择题 1.复数 ( A. 3 ? 4i

3?i 2 ) ?( 1? i

) B. ?3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. 3 ? 4i )

2.集合 M ? x ? 3 ? x ? 5 , N ? x x ? ?5或x ? 5 ,则 M ? N ? ( A. x x ? ?3或x ? 5

/>?

?

?

?

?

?

B. x ? 5 ? x ? 5

?

?

C. x ? 3 ? x ? 5

?

?

D. x x ? ?5或x ? ?3

?

?

3.某几 何体的三视图如图所示,其正视图,侧视图,俯视图均为全等的正方形,则该几何体 的体积为( ) A.

4 3

B.

8 3

C.

6

D. 2 6
开 始

n=5, k=0 n 为偶






n?

n 2
k=k+1 n =1?
是 输出

n=3n+1



4.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 5 B. 6 C. 7 5.已知 cos ? ? A.

) D. 8

k
结 束

9 25

3 ,则 cos 2? ? sin 2 ? 的值为( 5 18 23 B. C. 25 25

) D.

34 25

?x ? 2 ? 0 ? 6.已知点 P ? x, y ? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值范 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
围是( )

A. ? ?2, ?1?

B. ? ?2,1?

C. ? ?1, 2?

D. ?1, 2 ? )

7.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D. 向左平移 个单位长度 3
B. 向右平移

8.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为 a 的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上, 则该球的表面积为( )

A.

3 2 ?a 2

B. 3? a 2

C. 6? a 2

D.

16 2 ?a 3


9.若 f ( x) ? ? A. [?1, ? ?)

1 2 x ? b ln x 在 [1, ? ?) 上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ? ?) C. (??,1]

D. (??, ?1) )

10.在△ABC 中, sin A ? sin B ? cos 2

C ,则 ?ABC 的形状一定是( 2
C.等边三角形

A.直角三角形

B.等腰三角形

D.等腰直角三角形

11.方程 ( x ? 2) x ? k ? 0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是 A.

(

)

? ?1, 0 ?

B.

? 0,1?
x

C.

? ?1, ?? ?

D.

? ??,1?

12.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ;③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有

F ( m)? F ( n? ) 成立 0 ,其中所有正确命题的序号是(
A.② 二、填空题 13. m ? ?2 , ? ? 与 n ? ?1 , a ? 共线,则 a ? B.①② C.③



D.②③

.

14.已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,满足 a cos B ? b cos A ? c sin C ,向量

m ? ( 3, ?1) , n ? (cos A,sin A) . 若 m ? n ,则角 B ? ___________.
15.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号是 .

①.若

m ?n , m ? ? ,



n?? ;

②.若 m ? n , m ? ? , 则

n ?? ;

③.若 m ?? , m ? ? ,则 ? ? ? ;

④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? .

16.定义:区间 [ x1 , x2 ]( x1 ? x2 ) 长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ?| log 0.5 x | 定义域为 [a, b] ,值域 为 [0,2] ,则区间 [a, b] 长度的最小值为 .

三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 2sin 2 ( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和对称中心; (Ⅱ) 若将 f ( x) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后所得到的图像关于 y 轴对称, 求实数 m 的 最小值.

?
6

), x ? R .

18.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边是 a , b , c ,且 (3a ? c) ? cos B ? b ? cos C . (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 b ? 2 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

[来源:学科网 ZXXK]

19.如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 A BC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1;

20.在如图所示的 几何体中,平面 ACE ? 平 面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90 ? , EF // BC , AC ? BC ? 2, AE ? EC ? 2 .
(Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCEF ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? ACE 的体积.

[来源:学科网]

21 . 已 知

? ? ( ,g ( )) f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? a sin x ? b , g ( x) 在 处的切线方程为 6 6

6 3x ? 12 y ? 18 ? 3? ? 0
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求 g ( x) 的解析式; (III)当 x
[来源:Zxxk.Com]

? 0 时, g ( x) ? me x 恒成立,求 m 的取值范围.

22. (选修 4-1 几何证明选讲) 如图, AB 是 ? O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E ,点 F 为弦 CD 上异于 点 E 的任意一点,连结 BF 、 AF 并延长交 ? O 于点 M 、 N . ⑴ 求证: B 、 E 、 F 、 N 四点共圆; ⑵ 求证: AC 2 ? BF ? BM ? AB2 .
C

A M

E
F

B

D

N

23. (选修 4-2 极坐标与参数方程选讲) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos ? (t是参数,0 ≤ ? ? ? ) , ? y ? 1 ? t sin ?
2 . 1 ? cos 2 ?

以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? ⑴ 求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

⑵ 当? ? 程.

?
4

时,曲线 C1 和 C2 相交于 M 、 N 两点,求以线段 MN 为直径的圆的直角坐标方

24. (选修 4-4 不等式选讲) 设 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 的定义域;

(Ⅱ)若存在实数 x 满足 f ( x) ? ax ? 1 ,试求实数 a 的取值范围.

2013-2014 高三三模数学(文) 答案

所以最小正周期是 ? ,对称中心为 ( ( Ⅱ ) 将 f ( x) ?

8分 g ( x) ? 3 sin[2( x ? m) ? ] ? 3 sin(2 x ? 2m ? ) 3 3 ? ? k? ? ? 所以 2m ? ? k? ? , m ? ? .因为 m ? 0 ,所以 m 的最小值为 . 12 3 2 2 12 18. 【解析】 (Ⅰ)解法一: 由 (3a ? c) ? cos B ? b ? cos C 及正弦定理得

?

的 图 像 3 s i ?x n ( 2 ) 向 左 平 移 m 个 单 位 后 得 到 , 3

?

k? ? ? , 0) , k ? Z . 2 6

6分

?

12 分

(3sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ,
即 3sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C , 所以 3sin A cos B ? sin( B ? C ) , 由 B ? C ? ? ? A 及诱导公式得 3sin A cos B ? sin A , 又 ?ABC 中 sin A ? 0 ,得 cos B ? 解法二: 由 (3a ? c) ? cos B ? b ? cos C 及余弦定理得

1 . 3

(6 分)

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 (3a ? c) ? ? b? 2ac 2ab
化简得: a 2 ? b 2 ? c 2 ?

2 ac 3

所以 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 3
2 2 3

(6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin B ? 由 b ? 2 2 及余弦定理得

(8 分)

1 4 8 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2ac ? 2ac ? ? ac 3 3
即 ac ? 6 (当且仅当 a ? c ? 所以 ?ABC 的面积为 S ?

6 时取到等号)

(11 分)

1 1 2 2 ac sin B ? ? 6 ? ?2 2 2 2 3
(12 分)
[来源:学*科*网]

所以 ?ABC 的面积的最大值为 2 2 .

19. 解析: (Ⅰ)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC //A1C1 且 AC ? A1C1 , 连接 ED , 在 ?ABC 中, 因为 D 、E 分别为 AB 、BC 的中点, 所以 DE ?

1 AC 且 DE //AC , 2

又因为 F 为 A1C1 的中点,可得 A1 F ? DE ,且 A1 F //DE ,即四边形 A1 DEF 为平行四边形, 所以 EF //DA1 ,又 EF ? 平面 A1CD , DA1 ? 平面 A1CD ,? EF // 平面 A1CD ; (6 分)

(Ⅱ)由于底面 ABC 是正三角形, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB , 又由于侧棱 AA1 ? 底面 ABC , CD ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? CD , 又 AA1 ? AB ? A ,因此 CD ? 平面 A1 ABB1 ,而 CD ? 平面 A1CD ,所以平面 A1CD ? 平面

A1 ABB1 ;

(12 分)

20.解析:(Ⅰ)? AE ? EC ?

2, AC ? 2

? AE ? CE

?平面 ACE ? 平面 ABCD , BC ? AC ,
? BC ? 平面ACE ? BC ? AE ? AE ? 平面BCEF
(Ⅱ) VD ? ACE ?

1 2 ? S? ACE ? AD ? 3 3
' x

21.解析:(Ⅰ)令 f ( x) ? e ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 , ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .
' '

(1 分)

∴ f ( x) 的增区间为 (??,0) ,减区间为 (0, ??) , f ( x)极小 ? f (0) ? 1 , (3 分) (Ⅱ) g ( x) ? a cos x , g ' ( ) ?
'

?

6

3 6 3 ,所以 a ? 1 . a? 2 12

又 g( ) ?

?

6

∴6 3?

?

1 ?b 2

1 ? 12( ? b) ? 18 ? 3? ? 0 ,∴ b ? 1 6 2
( 6 分)
x

所以 g ( x) ? sin x ? 1

(III)当 x ? 0 时, sin x ? 1 ? me x ,令 h( x) ? sin x ? 1 ? me 当 m ? 1 时, h(0) ? 1 ? m ? 0 矛盾, 首先证明 sin x ? x 在 [0, ??) 恒成立.

( 8 分)

令 r ( x) ? sin x ? x , r ( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,故 r ( x ) 为 [0, ??) 上的减函数,
'

r ( x) ? r (0) ? 0 ,故 sin x ? x
由(Ⅰ)可知 e x ? x +1 故 当 m ? 1 时,

(10 分)

h( x) ? sin x ? 1 ? me x ? x ? 1 ? me x ? e x ? me x ? (1 ? m)e x ? 0
综上 m ? 1
[来源:学科网 ZXXK]

(12 分)

22.解析:(1)连结 BN ,则 AN ? BN ,又 CD ? AB ,

则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,即 ?BEF ? ?BNF ? 180? , 则 B 、 E 、 F 、 N 四点共圆. (2)由直角三角形的射影原理可知 AC 2 ? AE ? AB , 由 Rt ?BEF 与 Rt ?BMA 相似可知:

(5 分)

BF BE , ? BA BM

BF ? BM ? BA ? BE ? BA ? ( BA ? EA) , BF ? BM ? AB2 ? AB ? AE ,
则 BF ? BM ? AB2 ? AC 2 ,即 AC 2 ? BF ? BM ? AB2 . 23.解析:(1)对于曲线 C1 消去参数 t 得: 当? (10 分)

?

?
2

时, C1 : y ? 1 ? tan ? ( x ? 2) ;当 ? ?

?
2

时, C1 : x ? 2 .

(3 分)

对于曲线 C2 : ? ? ? cos ? ? 2 , x ? y ? x ? 2 ,则 C2 : x ?
2 2 2 2 2 2

2

y2 ?1. 2

(5 分)

(2) 当 ? ?

?
4

时,曲线 C1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,联立 C1 , C2 的方程消去 y 得

2 x 2 ?( x ? 1) 2 ? 2 ? 0 ,即 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,

2 4 16 4 2 | MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) 2 ? ? 2 ? ? , 3 3 9 3
圆心为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 1 2 1 2 8 , ) ,即 ( , ? ) ,从而所求圆方程为 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? . (10 分) 3 3 2 2 3 3 9
(2 分)

? 7 ? 2 x, x ? 3 ? 24. 解析: (Ⅰ)f (x)=|x-3|+|x-4|= ?1,3 ? x ? 4 ?2 x ? 7, x ? 4 ?
作函数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 不等式 g ( x) ?
a=-2 y y=f (x) y=2 y=ax-1 O
-1 53 4 2 9 2

5 9 和 ,由图象知 2 2
(5 分)

2 ? f ( x) 的定义域为[

5 9 , ]. 2 2

y=ax-1 a=
1 2

x

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x.

由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪[

1 ,+∞]. 2

(10 分)


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