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宁夏银川一中2015届高三第三次模拟考试 数学文


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第三次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。考生作答时,将答案答

在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.函数 f ( x) ? lg(1 ? 2 x) 的定义域为 A. ? ??,0? 2. 复数 B. ( ? ? ,0 ) C. (0, )

1 2

D. ( ? ?,

1 ) 2

5 的共轭复数是 1 ? 2i
B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i

A. 1 ? 2i

3.已知向量 a ? (? ,1) , b ? (? ? 2,1) ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 ? 的值为 A.2 B. ? 2 C.1 D. ? 1

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11,则 S 9 等于 A.180 5.已知双曲线 B.90 C.72 D.100

y2 x2 1 页(共 6 页 3),则双曲线的渐近线方程为 ? 文科数学试卷 ? 1(a ? 0, b ? 0)第 的离心率为 a 2 b2

A. y ? ?

2 x 2

B. y ? ? 2 x

C. y ? ? 2 x

D. y ? ?

1 x 2

6.下列命题正确的个数是 A.“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; B.命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”; D.“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b , 则 2a ≤ 2b ?1 ”; A.1 B.2 C. 3 D.4
正视图 1 1
3

2

7.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 外接球的表面积等于 A.

侧视图

7 ? 3

B. 16?

C. 8?

D.

28 ? 3

俯视图

第题图

8.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8

9.已知函数 f ( x ) ? ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ,若存在满足 3

0 ? x0 ? 3 的实数 x0 ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与直线 x ? my ? 10 ? 0 垂
直,则实数 m 的取值范围是 A. [6, ??) C. [2, 6] B. (??, 2] D. [5, 6]
2 2

+ +1

10. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则 的最小值是 A.

1 1 ? a b

1 2

B.-

1 2

C.-2

D.4

11.设不等式组 ?

?x ? y ? 2 ? 0 2 2 表示的区域为 ?1 ,不等式 x ? y ? 1 表示的平面区域为 ? 2 .若 ?1 ?mx ? y ? 2 ? 0

与 ? 2 有且只有一个公共点,则 m 等于

A. ? 3

B. 3

C. ? 3

D.

3 3

12.已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. ? ? 3, 2 ?

?
3

)?
?

m 在 ? 0, ? ? 上有两个零点,则实数 m 的取值范围为 2

?

?

B. ? 3, 2

?

C.

?

3, 2 ? ?

D. ? 3, 2 ?

?

?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
x ? ?2 , ( x ≤ 0) 1 13.设函数 f ( x) ? ? 错误!未找到引用源。 ,则方程 f ( x ) ? 错误!未找到引用源。 2 ? ? log 2 x , ( x ? 0)

的解集为



14.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取 一个数,则它小于 8 的概率是 .

15.若点 P(cos? , sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos( 2? ? 16.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.给出以下四个结论: ①直线 AM 与直线 C1C 相交; ②直线 AM 与直线 BN 平行; ③直线 AM 与直线 DD1 异面; ④直线 BN 与直线 MB1 异面.

3? ) 的值等于 2

.

其中正确结论的序号为__________.(注:把你认为正确的结论序号都填上)

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 文科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足 b2+c2=bc+a2. (1)求角 A 的大小;

4 (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求数列{ } anan+1 的前 n 项和 Sn. 18.(本题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,

PD ? 平面 ABCD, ?BAD=?ADC=90 o ,
DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a ,E 为 BC 中点。
(1)求证:平面 PBC ? 平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA//平面 BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明; 若不存在,请分析说明理由. 19.(本题满分 12 分) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中, 分“优秀、 合格、 尚待改进”三个等级进行学生互评. 某 校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方 法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 等级 频数 优秀 15 合格 尚待改进 5 表 2:女生 等级 频数 优秀 15 合格 3 尚待改进

x

y

(Ⅰ) 从表 2 的非优秀学生中随机选取 2 人交谈, 求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率; (Ⅱ)由表中统计数据填写右边 2? 2 列联表,并判 断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

n ? ad ? bc ? 参考数据与公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

临界值表:

P( K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.01 6.635

20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F1 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,原点到过点 a 2 b2

A? a,0? , B ? 0, ?b ? 的直线的距离是
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 21 . 7

(Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P , 过 F1 作 PF1 的垂线与直线 l 交于

点 Q ,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? a ln x ( a ? R ) . (1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求证: f ? x ? ? ?

x3 5 x 2 11 ? ? 4x ? ; 3 2 6

(3)当 x ? ?e, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M, 且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 文科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴。已知 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin ? ? a(a ? 0) ,射线

? ? ? ,? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

,? ?

?
2

? ? 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A,B,C,D.

(1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (2)求|OA|· |OC|+|OB|· |OD|的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (I)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

银川一中 2015 届高三第三次模拟考试数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D 11 C 12 B

二、填空题: 13. { - 1, ,2 }

2 2

14.

3 5

15. -

4 5

16. ③④

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

18.证明: (1)连结 BD 所以 BC ? DE

?BAD ? ?ADC ? 90?

AB ? a, DA ? 3a

所以 BD ? DC ? 2a 又因为 PD ? 平面 ABCD , 因为 DE ? PD ? D 所以 BC ? 平面 PDE

E 为 BC 中点
……………3 分 所以 BC ? PD ……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ……………7 分

因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PDE (2)当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P 点)时, 连结 AC , BD 交于 O 点

PA // 平面 BDF

AB // CD ,所以 ?AOB 相似于 ?COD 1 1 又因为 AB ? DC ,所以 AO ? OC 2 2 1 1 从而在 ?CPA 中, AO ? AC ……10 分 而 PF ? PC 3 3 所以 OF // PA ………11 分
而 OF ? 平面 BDF 所以 PA // 平面 BDF

PA ? 平面 B D F
………12 分

19.解: (Ⅰ)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2

m 45 , m ? 25 , ? 500 500 ? 400

…………… 2 分

表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a , b, c ,尚待改进的 2 人为 A, B , 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为: ( a, b) , ( a, c ) , (b, c) , ( A, B ) , ( a , A) , ( a , B ) ,

(b, A) , (b, B ) , (c, A) , (c, B ) 共 10 种 ………………… 4 分
设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”, 则 C 的结果为: ? a, A? , ? a, B ? , ?b, A? , ?b, B ? , ? c, A? , ?c, B ? ,共 6 种……………5 分 ∴ P(C ) ? (Ⅱ)

3 6 3 ? , 故所求概率为 …………………68 分 5 10 5

∵ 1 ? 0.9 ? 0.1 , P( K ? 2.706) ? 0.10 ,
2

而 K2 ?

45 ?15 ? 5 ? 15 ?10 ? 9 ? ? 1.125 ? 2.706 …………………11 分 30 ?15 ? 25 ? 20 8 所以没有 90% 的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12 分
2

2 20.(Ⅰ)由于抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为 (1,0) ,所以 c ? 1,因此 a 2 ? b 2 ? 1 ,……2 分

因为原点到直线 AB :

ab 2 21 x y ? , ? ? 1 的距离为 d ? 2 2 7 a b a ?b

解得: a2 ? 4, b2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………5 分 4 3

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x2 y 2 ,得方程 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , ( ? )……………6 分 ? ? 1 ? 3 ?4

由直线与椭圆相切得 m ? 0 且 ? ? 64k 2 m 2 ?4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 , 整理得: 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ,……………………8 分 将 4k 2 ? 3 ? m2 , m2 ? 3 ? 4k 2 代入( ? )式得
m2 x 2 ? 8kmx ? 16k 2 ? 0 ,即 (mx ? 4k )2 ? 0 ,解得 x ? ?

4k 4k 3 ,所以 P(? , ) ,……10 分 m m m

3 3 4k ? m 又 F1 (1,0) ,所以 kPF1 ? m ? ? ,所以 kF1Q ? , 4k 4k ? m 3 ? ?1 m 4k ? m 所以直线 F1Q 方程为 y ? ( x ? 1) ,……………………11 分 3

y ? kx ? m ? ? 联立方程组 ? ,得 x ? 4 , 4k ? m y? ( x ? 1) ? 3 ?

所以点 Q 在定直线 x ? 4 上.……………12 分 21.解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ?
a ,由题意可得 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 x

经检验, a ? 1 时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 a ? 1 (2)证明:由(1)知, f ( x) ? x 2 ? x ? ln x 令 g ( x) ? f ( x) ? (?

(4 分)

x3 5 x 2 11 x3 3x 2 11 ? ? 4x ? ) ? ? ? 3x ? ln x ? 3 2 6 3 2 6
1 x3 ? 1 ( x ? 1)3 ? ? 3( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x x

由 g ?( x) ? x 2 ? 3x ? 3 ?

可知 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (3)由 x ? [e, ??) 知, x ? ln x ? 0 所以 f ( x) ? 0 恒成立等价于 a ? 令 h( x ) ?

x3 5 x 2 11 ? ? 4 x ? 成立 3 2 6

(8 分)

x2 在 x ? [e, ??) 时恒成立 x ? ln x

x2 x( x ? 1 ? 2ln x) ?0, , x ? [e, ??) ,有 h?( x) ? ( x ? ln x) 2 x ? ln x e2 e2 ,所以 a ? . e ?1 e ?1
(12 分)

所以 h( x) 在 [e, ??) 上是增函数,有 h( x) ? h(e) ?

22.证明: (1)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E; (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN, 则由 MB=MC 知 MN⊥BC,∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,∴OM⊥AD, ∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,

∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE 为等边三角形 23.解: (1) C 1 :

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,-------------------2 分

C 2 : y ? a ,-----------------------------------4 分
因为曲线 C 1 关于曲线 C 2 对称, a

? 1 , C 2 : y ? 1 ------5 分

| OA |? 2 2 sin(? ?
(2)

?

) 4 ;

| OB |? 2 2 sin(? ?

?
2

) ? 2 2 cos ?

| OC |? 2 2 sin ? ,
| OD |? 2 2 sin(? ? 3? ? ) ? 2 2 cos( ? ? ) -----------------------8 分 4 4

| OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 4 2 -----------------------10 分 24.解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 ,
∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? 。

-END-


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