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数学理卷·2014届河南省安阳一中高二下学期期中考试 (2013.04)


一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
? ? ?i ? 1、复数 ? ? i (
A. ? ? ?i

) B. ? ? ?i C. ? ? ? ?i D. ? ? ? ?i

2、设随机变量 A. 0.1

X ? B ? 40, p ?
B. 0.2

/>
,且 E ( X ) ? 16, 则 p 等于( C. 0.3 D. 0.4



? ? 3、两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 ? 和 ? ,两个零件是否加工为一等品相互
独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )

? A. ?

? B. ??

? C. ?

? D. ?

4、抛掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点” ,事件 B=“蓝骰子出现的点数是偶数” ,则 P ( A | B ) 为( )

1 A. 2

5 B. 36

1 C. 12


1 D. 6

5、下列推理是归纳推理的是 (

A. M , N 为定点,动点 P 满足 || PM | ? | PN ||? ?a ?| MN | ( a ? ?) ,则动点 P 的轨迹是以 M , N 为焦 点的双曲线; B.由

a1 ? 2, an ? 3n ? 1 求出 S1 , S 2 , S3 , 猜想出数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的表达式;

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 b C.由圆 x ? y ? r 的面积 S ? ? r ,猜想出椭圆 a 的面积 S ? ? ab ;
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇. 6、随机变量 X 的概率分布规律为 P ( X ? n) ? 的值为( A. ) B.

a ? ? ?, ?, ?) , ( n ? ?, 其中 a 是常数,则 P ( ? X ? ) n(n ? ?) ? ?

? ?

? ?
n

C.

? ?

D.

? ?

? ? ? ? ? ?? x ? ? x ? ? 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为( 7、
第 1 页 共 7 页



A.-540

B.-162

C.162

D.540

8、将 5 名实习老师全部分配到高三年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 ( ) B.90 种 C.180 种 D.270 种

A.30 种

9、从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参 加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有( A.60 种 B.96 种 C.120 种 D.48 种 )

10、某省举行的一次民歌大赛中,全省 六个地区各选送两名歌手参赛,现从这 12 名歌手中选出 4 名优胜 者,则选出的 4 名优胜者中恰有两人是同一地区送来的歌手的概率 是( A. )

8 83

B.

64 165

C.

16 33

D.

6 11

11、用数字 2,3,5,6,7 组成没有重复数字的五位数,使得每个五位数中的相邻的两个数都互质,则得 到这样的五位数的概率为( A. ) C.

? ?

B.

? ??

? ??

D.

? ?

x 2 y2 - 2 =1 2 b 12、双曲线 a (a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上任一点, c c ???? ???? ? 2 2 PF PF 2 |的最小值为 m.当 3 ≤m≤ 2 时,其中 c= a +b ,则双曲线的离心率 e 已知| 1 |·|
的取值范围是 ( )
2 2

A. (1, 2]

3 ( , 2) B. 2

C.

(1,

6 ] 2

D.

[

6 , 2] 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13、 (1 ? x ? x 2 )(1 ? x)10 展开式中 x 4 的系 数为 ________ 14、将 4 名志愿者分配到 A、B、C 三个亚运场馆服务,每个场馆至少 1 人, 不同的分配方案有 ________ 种(用数字作答)。 15、设函数 f ( x) ? x m ? bx 的导函数为 f / ( x) ? ? x ? ? 且

?

?

?

f (? x)dx ? a ,则

? ( ax ? )?? 展开式中各项的系数和为 ________ ?
16、某射手射击 1 次,击中目标的概率是 ?.? ,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有 影响。有下列结论:①他第 3 次击中目标的概率是 ?.? ;②他恰好击中目标 3 次的概率是 ?.? ? ? ?.? ③ 他至少击中目标 1 次的概率是 ? ? ?.?? 。其中正确结论的序号是 ________

三、解答题 :(本大题共 6 小题,共 70 分应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、(10 分)在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张奖券中有一等奖卷 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二 等奖卷 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖。某顾客从这 10 张中任抽 2 张,求:(1)
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该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值 X(元)的分布列和数学期望。

5 an a1 ? , an ?1 ? {a } 2 2(an ? 1) ( n ? N ? ) ,用数学归纳法证明: an ? 2( n ? N ? ) 。 18、 (12 分)数列 n 中, 3 19、 (12 分)现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 4 ,命中得 1 分,没有命中得 0 2 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 3 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分。该射手每次 射击的
结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX.

2

20、 (12 分)已知函数

f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a 3 , x ? 2 是 f ( x ) 的一个极值点.

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若当 x ? [1, 3] 时, 21、 (12 分)已知两定点

f ( x) ? a 2 ?

2 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

, ,动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ ,垂 ???? ? ???? ? PM ? MQ Q 足为 ,点 M 满足 ,点 M 的轨迹为 C .

E ? ?2, 0 ? F ? 2, 0 ?

??? ? ??? ?

(1)求曲线 C 的方程; (2)过点

D ? 0, ?2 ?

???? ??? ? ??? ? 作直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,点 N 满足 ON ? OA ? OB ( O 为原点) ,求四边形

OANB 面积的最大值,并求此时的直线 l 的方程.
22、 (12 分)已知函数 f ( x ) ? ln 1 ? 2 x ? mx . (Ⅰ)若 f ( x ) 为定义域上的单调增函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的最大值;

4 f (a ) ? f (b) ? ?2 a ?b . (Ⅲ)当 m ? 1 时,且 ? ? b ? a ? ? ,证明: 3

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安阳一中 2012—2013 学年下学期第一次阶段考试高二数学参考答案 (理)
一、选择题:BDBDB DABAC CD

二、填空题:13、135;14、36;15、1;16、①③ 三、解答题:
17、解:(1)记 顾客中奖为事件 A. P ( A) ?
1 1 2 C4 C6 ? C4 2 2 ? ,即该顾客中奖的概率为 。 2 C10 3 3 0 2 C4 C6 1 ? , 2 C10 3

(2)X 所有可能的取值为(单位:元):0,10,20,50,60.且 P ( X ? 0) ?

P ( X ? 10) ? P( X ? 60) ?
X P

1 1 1 C3 C6 2 C32 C11C6 1 2 ? ? ? , ( 20) ( 50) ? P X ? ? ? P X , , 2 2 2 C10 5 C10 15 C10 15 1 1 C1 C3 1 ? .故 X 的分布列为 2 C10 15

0

10

20

50

60

1 3

2 5

1 15

2 15

1 15

1 2 1 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 16 。 3 5 15 15 15
该顾客获得的奖品总价值 X(元)的数学期望为 16。 18、解:(1) 当 n=1 时,

a1 ?

5 ?2 2 ,不等式成立.
a k ? 2( k ? N ? ) ,

(2)假设当 n=k 时不等式成立,即

2 (ak ? 2) 2 ak ?0 ak ?1 ? 2 ? ?2 ? ? a k ?1 ? 2 2(ak ? 1) 2(ak ? 1) , 则

? 当 n=k+1 时, 不等式也成立
综合(1) (2) ,不等式对所有正整数都成立 19、解: (Ⅰ)

P?

3 1 2 1 1 1 2 7 ? ( ) ? ? C2 ? ? ? 4 3 4 3 3 36 ;

(Ⅱ) X 的可能取值为:0,1,2, 3,4,5

P ( X ? 0) ?

1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P ( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P ( X ? 2) ? C 2 ? ? 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9, 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 P ( X ? 3) ? C 2 ? ? , P ( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P ( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3
0 1 2 3 4 5

X P

1 1 1 1 12 9 3 9 1 1 5 1 1 1 1 41 ?3 12 . EX=0× 36 +1× 12 +2× 9 +3× 3 +4× 9 +5× 3 = 12

1 36

1 3

第 4 页 共 7 页

? 动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,? 点 P 的轨迹是以 E F 为直径的圆, ? 动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 4 . 21、 解 (1) ???? ? ???? ? PM ? MQ 设 M(x,y)是曲线 C 上任一点,因为 PM ? x 轴, ,? 点 P 的坐标为(x,2y), ? 点 P 在圆
2 2

??? ? ??? ?

x 2 ? y 2 ? 4 上,? x 2 ? (2 y ) 2 ? 4 ,
x ? y2 ? 1 4 ? 曲线 C 的方 程是 .
(2)因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 当直线 l 的斜率不存在时显然不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx-2, l 与椭圆交于
2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,由

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x 2 2 2 ? ? y ?1 ( ?4 得 1+4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 x1 ? x2 ? k? 16k 12 3 , x1 x2 ? k2 ? 2 2 2 2 2 ? ? 16 k ? 48(1 ? 4 k ) ? 0 1 ? 4k 1 ? 4k ,由 4 ,即 ,得
? S ?OAB ?

3 3 或k ? ? , 2 2

1 | OD || x1 ? x2 |?| x1 ? x2 |, 2

16k 2 12 S?OANB ? 2S ?OAB ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) ?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?2

162 k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) 4k 2 ? 3 ? 8 (1 ? 4k 2 ) 2 (1 ? 4k 2 ) 2 …………10 分`
第 5 页 共 7 页

令t ? k

2

?

(1 ? 4t ) 2 16t 2 ? 8t ? 1 (4t ? 3) 2 ? 8(4t ? 3) ? 16 16 ? ? ? 4t ? 3 ? 8 ? 4t ? 3 4t ? 3 4t ? 3 4t ? 3

3 1 7 7 t ? ,? 4t ? 3 ? 0 t ? - (舍)或t ? t? 2 (4 t ? 3) ? 16 4 4 4, 4 满足 ? ? 0 , , ,解 得 4t ? 3 ? 8 ? k?? 16 7 1 S?OANB ? 8 ? ? 2 ? 16 t? 4t ? 3 4 时“=”成立) 4 , (当且仅当 ,

?当

7 , 2 平行四边形 OANB 面积的最大值为 2. y? 7 7 x ? 2和y ? ? x?2 2 2 1 (x ? ? ) 2 f ?( x) ? 1 ?m 1 ? 2x


所求直线 l 的方程为

22、解: (Ⅰ) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx ,



因 为 f ( x) 为 定 义 域 上 的 单 调 增 函 数 , 由

f ?( x) ?

1 1 ?m?0 x?? 1 ? 2x 2 恒成立, 对

m??

1 1 ? ?0 1 ? 2 x ,而 1 ? 2 x ,所以 m ? 0

∴当 m ? 0 时, f ( x ) 为定义域上的单调增函数 (Ⅱ)当 m ? ?1 时,由

f ?( x) ?

1 ? 2x ?1 ? ?0 1 ? 2x 1 ? 2x ,得 x ? 0

1 x ? ( ? ,0 ) 2 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x ? (0,?? ) 时, f ?( x ) ? 0 当
∴ f ( x ) 在 x ? 0 时取得最大值,∴此时函数 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? 0

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