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宁夏银川一中2014届高三数学上学期第三次月考试卷 文 新人教A版1111


银川一中 2014 届高三年级第三次月考 数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数

i (2 ? i ) 等于 1 ? 2i
B. ? i C.1 D.—1

A.i

2.设全集 U=R,集合 A={x| A.[-1,3)

x ?1 , ,则(CUA)∩B 等于 ? 0 } B={x|1< 2 x <8} x?2
C. (1,2] D. (2,3)

B. (0,2]

3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q

4.设{ an }是公比为正数的等比数列,若 a3=4,a5=16,则数列{ an }的前 5 项和为 A.41 B.15 C.32 D.31

5.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = A. ?4 6.函数 f ( x) ? x ? x ?
3 2

??

?

?

??

?

? ?

?? ?

?

B. ?3

C. ?2

D. -1

1 的图象大致是 2
y y y

y

O

x A.

O O B x C

x O D 1 x

7. 已知等比数列 ?a n ?中, 各项都是正数, a1 , 且 A. 1? 2 B. 1? 2

a ? a9 1 则 等于 ( a3 ,2a 2 成等差数列, 8 a6 ? a7 2
C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2



8.曲线 y ? x ln x 在点 (e, e) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为

1

A.2

B.-2

C.

1 2

D. ?

1 2

9.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及 其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 A. 2sin ? ? 2cos ? ? 2 B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 D. 2sin ? ? cos ? ? 1

A. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

B. 关于直线 y=x 对称 D. 关于 y 轴对称

11. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 2 ,OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ,则向量 CA 在 CB 方向上的投影为 A. 3 B. 3 C. ? 3 D. ? 3

12.设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x) 不存在零点的是 ... A. ? ?4, ?2 ? B. ? ?2, 0? C. ? 0, 2 ? 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知数列{an}满足 a1=33, an+1-an=2n,则 an= . 。 D. ? 2, 4 ?

14.在 ?ABC 中,BC= 2 5 ,AC=2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 15.已知函数 f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x, f ?( x)是f ( x) 的导函数,则 f ( ) ?

?

?

4

4

.

16.已知 a, b 是两个互相垂直的单位向量,且 c ? a ? c ? b ? 1, | c |?

2 ,则对任意的正实数

t, | c ? t a ? b | 的最小值是

1 t



三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本题满分 12 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1+3, 3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式.
2

(2)令 bn ? ln a 2 n ?1 , n ? 1,2, ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 18. (本题满分 12 分) 海岛 B 上有一座高为 10 米的塔,塔顶的一个观测站 A,上午 11 时测得一游船位于岛北 偏东 15°方向上,且俯角为 30°的 C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西 75°方向上, A 且俯角 45°的 D 处。 (假设游船匀速行驶) (1)求 CD 的长; (2)又经过一段时间后,游船到达海岛 B 的正西 方向 E 处,问此时游船距离海岛 B 多远。 19. (本题满分 12 分) E 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? 2n ? 2an . (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若数列{ bn }满足 bn ? n log 2 (a n ? 2) ,求数列{ 20. (本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? D B C

1 }的前 n 项和 Tn . bn

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的

最高点与相邻对称中心的距离为 1 ? (1)求函数 f ( x) 的表达式;

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角,且满足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 2)e 在 x ? 1 处取得极值.
x

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值; (3)求证:对任意 x1 , x2 ? [0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点,
3

AE 的延长线交 BC 于 F .
(1)求

BF 的值; FC

(2)若△ BEF 的面积为 S 1 ,四边形 CDEF 的面积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? (? 为参数) (t 为参数) C2 : ? , 。 ? y ? 3sin ? ? y ? 3 ? sin t

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t C3 : ? (t 为参数)距离的最小值. ? y ? ?2 ? t
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 ? 2 x | ? | x ? 3 | . (1)解不等式 f ( x) ? 6 ; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| 2a ? 1 | 的解集不是空集,试求实数 a 的取值范围.

银川一中 2014 届高三第三次月考数学(文科)试卷参考答案 一、选择题: 1D2B3A4D5B6A7C8A9A10D11A12A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. n ? n ? 33
2

14.4 或 4 2

15.1

16. 2 2

三、解答题:

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 17. 解: (1)由已知得 : ? (a1 ? 3) ? ( a3 ? 4) 解得 a2 ? 2 .设数列 {an } 的公比为 q , ? 3a2 . ? ? 2
由 a2 ? 2 ,可得 a1 ? 解得 q1 ? 2,q2 ?

2 2 ,a3 ? 2q .又 S3 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , q q

1 n ?1 .由题意得 q ? 1 ? q ? 2 .? a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2 . , 2
2n

(2)由于 bn ? ln a 2 n ?1 由(1)得 a 2 n ?1 ? 2

? 4 n 所以 bn ? ln 4 n ? n ln 4
4

又 bn ?1 ? bn ? ln 4 ?{bn } 是等差数列.

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn =
18、

n(n ? 1) ln 4 ? n(n ? 1) ln 2 . 2

CD ? BD 2 ? BC 2 ? 20米

(6 分)

(6 分)

19、

20、(Ⅰ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 . ∵最高点与相邻对称
2 2 6 2

中心的距离为 1 ?

?2
16

,则

2? T ? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 ,又 f (x) 过 ? ,即 T ? ? , ∴ 4 4 |? |

5

点(

2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1 ,即 3 3 6 2 ? 1 1 ? ? ? 1 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . (6 2 2 2 2 3 6 2

?

,1) ,∴ sin(

分) (Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得
(6 分)
x

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
21、 (Ⅰ) f '( x) ? ae ? (ax ? 2)e ? (ax ? a ? 2)e
x x

由已知得 f '(1) ? 0 即 (2a ? 2)e ? 0
x

解得: a ? 1
x

当 a ? 1 时,在 x ? 1 处函数 f ( x) ? ( x ? 2)e 取得极小值,所以 a ? 1 (Ⅱ) f ( x) ? ? x ? 2 ? e ,
x

(4 分)

f'( x) ? e x + ? x ? 2 ? e x ? ? x ? 1? e x .
x

(??,1)


1
0

(1, ??)
+ 增

f ?( x) f ( x)

所以函数 f ( x) 在 ? ??,1? 递减,在 ?1, ?? ? 递增 当 m ? 1 时, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)e 当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? m ? 1
m

f ( x) 在 ? m,1? 单调递减,在 ?1, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (1) ? ?e .
当 m ? 0 时, m+1 ? 1,

f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递减, f min ( x) ? f (m ? 1) ? (m ? 1)em?1.

综上

? (m ? 2)e m , m ? 1, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值 f ( x) ? ? ?e, 0 ? m ? 1, ? min ?(m ? 1)e m ?1 , m ? 0. ?
x

(4 分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? 2 ? e , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 所以 f max ( x) ? 0,

f'( x) ? e x + ? x ? 2 ? e x ? ? x ? 1? e x .
x1 , x2 ? [0, 2]

因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0 , 所以,对任意 ,都有

f min ( x) ? ?e

6

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? e

(4 分)

7


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