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2015高考数学专题二:第二讲 三角恒等变换与解三角形


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专题二 三角函数、平面向量

专题二 第二讲

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第二讲

三角恒等变换与解三角形 (选择、填空题型)

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[命题全解密]

1.命题点:同角三角函数间的基本关系及诱

导公式;三角恒等变换.利用正弦定理与余弦定理解三角形; 以实际生活为背景,与度量工作、测量距离和高度及工程建筑 等生产实际相结合命制新颖别致的考题. 2.交汇点:常与函数、数列、平面向量以及三角函数的图 象和性质解三角形等知识交汇考查.

专题二 第二讲

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3.常用方法:配凑法,“切”与“弦”互换法,代换 法.利用正、余弦定理求边或角的方法;利用正、余弦定理求 解实际问题的方法.

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Z主干知识整合

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主干整合 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sinαcosβ± cosαsinβ. (2)cos(α± β)=cosαcosβ?sinαsinβ. tanα± tanβ (3)tan(α± β)= . 1?tanαtanβ

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα. (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tanα (3)tan2α= . 1-tan2α

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3.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明.

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4.正弦定理 a b c sinA=sinB=sinC=2R(2R为△ABC外接圆的直径). 变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a b c sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

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5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cosA= ,cosB= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cosC= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2 -c2=2abcosC.

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6.面积公式 1 1 1 S△ABC=2bcsinA=2acsinB=2absinC. 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求 解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.

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易错提醒 (1)利用正、余弦定理求解时注意角的范围. (2)求解实际问题时注意解得的结果要与实际相吻合. (3)在利用同角三角函数的平方关系开方时,应注意判断符 号.

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R热点探究悟道

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热点一

三角变换及求值

三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂,解题时要 注意从“等式结构变换”“角变换”“函数名称变 换”“次数变换”等角度寻找突破口,灵活运用切化 弦,升幂降幂,辅助元素,“1的代换”等方法破解.

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典例示法 [例1] ________.
[解析] =2cos
2

?π ? 1 ?2π ? (1)[2014· 唐山一模]若sin ?6-α? = 3 ,则cos ? 3 +2α? = ? ? ? ?

?2π ? ?π ? cos? 3 +2α?=cos2?3+α? ? ? ? ? ?π ? ? ? 7 2 π ? +α?-1=2sin ? -α?-1=- . 9 ?3 ? ?6 ?

7 [答案] -9

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? π? 3 3 ? ? (2)[2014· 东北三校第一次联考]若cos α+6 -sinα= ,则 5 ? ? ? sin? ?

5π? α+ 6 ?=________. ?

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[解析]

? π? 3 3 ? ? ∵cos α+6 -sinα= , 5 ? ?

π π 3 3 ∴cosαcos6-sinαsin6-sinα= 5 ,
? π? 3 3 3 3 3 ∴ 2 cosα-2sinα= 5 ,∴cos?α+3?=5. ? ? ?π ? ? ? 5π?? 5π? π? 3 ? ? ∴sin?α+ 6 ?=cos?2-?α+ 6 ??=cos?α+3?= . ? ?? ? ? ? ? 5 ?

[答案]

3 5

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互动探究 将(1)中“sin 解?
[解] 2cos
2

?π ? ? -α? ?6 ?

?π ? 1 1 ? ? = 3 ”更改为“cos 6-α = 3 ”如何求 ? ?

cos

?2π ? ? +2α? ?3 ?

=cos2

?π ? ? +α? ?3 ?

=1-2sin

2

?π ? ? +α? ?3 ?

=1-

?π ? 7 ? -α?= . ?6 ? 9

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1.化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来 减少函数的种类,做到三角函数名称的统一,通过三角恒等变 换,化繁为简,便于化简求值,其基本思路为:找差异,化同 名(同角),化简求值.

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2.解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表 示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的 三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个 角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大 小.

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真题演练 1. [2014· 课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) 的最大值为________.

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[解析]

f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)

=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφ· cos(x+φ) =sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ) =sin(x+φ-φ) =sinx, ∴f(x)的最大值为1.

[答案]

1

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π 2. [2014· 陕西高考]设0<θ< ,向量a=(sin2θ,cosθ),b= 2 (cosθ,1),若a∥b,则tanθ=________.
[解析]
2

∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-

π 1 cos θ=0,∵0<θ< ,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ= . 2 2

[答案]

1 2

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热点二

利用正弦、余弦定理解三角形

正、余弦定理的综合应用问题多为解答题,这类试 题一般属于中档题,入手比较容易,在解题时,要分析 清楚题目条件,利用正弦定理、余弦定理转化边角关系 进行运算,其关键是等价化归的方向性选择,而且要注 意与三角函数及其他知识的综合运用.

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典例示法 [例2] (1)已知△ABC的面积S和三边a,b,c满足:S=a2- )

(b-c)2,b+c=8,则△ABC的面积S的最大值为( 64 A. 17 120 C. 17 60 B. 17 48 D.17

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[解析]

1 由题意得S=a -b -c +2bc= 2 bcsinA,根据余弦
2 2 2

定理得a2=b2+c2-2bccosA,即a2-b2-c2=-2bccosA,代入上 1 式得2bc-2bccosA= 2 bcsinA,即sinA=4-4cosA,又sin2A+ 8 1 4 cos A=1,解得sinA= ,因为b+c=8,所以S= bcsinA= 17 2 17
2

b+c 2 64 4 bc≤ ×( ) = ,当且仅当b=c=4时等号成立,故△ABC 17 2 17 64 的面积S的最大值为17. [答案] A
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(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 4sin
2 A+B

7 -cos2C= ,且a+b=5,c= 7 ,则△ABC的面积为 2 2

________.

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[解析]
2

A+B 7 因为4sin - cos2 C = 2 2 ,所以2[1-cos(A+B)]-
2

7 7 1 2 2 2cos C+1= 2 ,2+2cosC-2cos C+1= 2 ,cos C-cosC+ 4 =0,解
2 2 1 1 a +b -7 得cosC= 2 .根据余弦定理,有cosC= 2 = 2ab ,则ab=a2+b2-

7,故3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,所以ab=6, 1 1 3 3 3 所以△ABC的面积S△ABC=2absinC=2×6× 2 = 2 .

[答案]

3 3 2

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解三角形问题的方法 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角” 应采用正弦定理; (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三 边”应采用余弦定理.

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真题演练 1 1. [2014· 课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是 2 ,AB= 1,BC= 2,则AC=( A. 5 C. 2 B. D. 1 ) 5

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[解析]

1 1 1 S△ABC= AB· BCsinB= ×1× 2sinB= ,∴sinB= 2 2 2

2 ,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角 2 ,若B=45° 形,不符合题意,因此B=135° ,由余弦定理得AC2=AB2+BC2 -2AB· BCcosB=1+2-2×1× B.
? 2×? ?- ?

2? ? =5,∴AC= 5.故选 2? ?

[答案]

B

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2. [2014· 广东高考]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别 a 为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则b=________.
[解析] 由正弦定理得sinBcosC+cosBsinC=2sinB,即sin(B

a sinA +C)=sinA=2sinB,即b=sinB=2.
[答案] 2

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热点三

解三角形与实际应用问题

由于正、余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三 角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的 热点,其主要要求是:会利用正弦定理和余弦定理等知 识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题.

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典例示法

[例3]

如图,A,B是海平面上的两个小岛,为测量A,B两

岛间的距离,测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行, 在t1时刻航行到C处,测得∠ACB=75° ,∠ACD=120° ,1小时 后,测量船到达D处,测得∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,则A,B 两小岛间的距离为________海里.(注:A,B,C,D四点共面)
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[解析]

由已知得CD=15,∠ACD=120° ,∠ADC=30° ,

∴∠CAD=30° , 15 AD 在△ACD中,sin30° =sin120° ,∴AD=15 3. ∵∠BDC=75° ,∠BCD=45° ,∴∠CBD=60° , 15 BD 在△BCD中,sin60° =sin45° , ∴BD=5 6.

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在△ABD中,∠ADB=45° , AB= AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB = ?15 3?2+?5 6?2-2×15 3×5 6cos45° =5 15, 故两小岛间的距离为5 15海里.

[答案]

5 15

专题二 第二讲

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四步解决解三角形中的实际问题 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍, 得出正确答案.
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真题演练 1. [2014· 浙江绍兴一模]在湖面上高为10 m处测得天空中一 朵云的仰角为30° ,测得湖中之影的俯角为45° ,则云距湖面的 高度为(精确到0.1 m)( A. 2.7 m C. 37.3 m ) B. 17.3 m D. 373 m

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[解析] 依题意画出示意图, CM-10 CM+10 则 tan30° = tan45° , tan45° +tan30° ∴CM= ×10≈37.3 (m). tan45° -tan30°

[答案]

C

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2. [2014· 四川高考]如图,从气球A上测得正前方的河流的两 岸B,C的俯角分别为67° ,30° ,此时气球的高是46 m,则河流 的宽度BC约等于________m.(用 四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin67° ≈0.92,cos67° ≈0.39, sin37° ≈0.60,cos37° ≈0.80, ≈1.73) 3

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[解析]

不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m, cos67° sin67° ≈19.5 m,DC=

于是BD=AD· tan(90° -67° )=46×

AD· tan(90° -30° )=46× 3 ≈79.6 m,∴BC=DC-BD=79.6- 19.5≈60(m).

[答案]

60

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J建模规范答题

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课题9

利用正弦、余弦定理解三角形

[典例] [2014· 课标全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三 个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c- b)sinC,则△ABC面积的最大值为________. [审题过程] 切入点:由已知判断,用正弦定理转化为边的

关系,再用余弦定理解题. 关注点:利用基本不等式求最值.

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[规范解答] 由a=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,① 由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,即(a+b)(a-b)=(c- b)c,②
2 2 2 b + c - a 1 2 2 2 即b +c -a =bc,所以cosA= 2bc =2,

π 又A∈(0,π),所以A= 3 ,又b2+c2-a2=bc≥2bc-4,即 1 1 3 bc≤4,故S△ABC= 2 bcsinA≤ 2 ×4× 2 = 3 ,当且仅当b=c=2 时,等号成立,则△ABC面积的最大值为 3.③
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[模型归纳] 利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下:

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[创新预测] 1.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯 塔在船的南偏西60° 方向,另一灯塔在船的南偏西75° 方向,则 这只船的速度是( A.15海里/时 C.10海里/时 ) B.5海里/时 D.20海里/时

专题二 第二讲

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[解析]

如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以

∠CAD=∠CDA=15° ,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC 中,可得AB=5,于是这只船的速度是10海里/时.

[答案]

C

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2.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道AC.在山脚B处看索道AC,此时张 角∠ABC=120° ;从B处攀登200米到达D处,回头看索道AC, 此时张角∠ADC=150° ;从D处再攀登300米即到达C处,则石 竹山这条索道AC的长度为______米.

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[解析]

在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120° ,由∠

ADB=30° ,得∠DAB=30° . BD AD 因为 = , sin∠DAB sin∠ABD 200 AD 即 = , sin30° sin120° 200sin120° 所以AD= sin30° =200 3(米).

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在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150° , 所以AC2=AD2+DC2-2×AD×DC×cos∠ADC=(200 3 )2 +3002-2×200 3 ×300×cos150° =390000,所以AC=100 39 (米).

[答案]

100 39

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Z专题知能提升

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浙江卷高考真题汇编-三角恒等变换及解三角形(含答案)

浙江卷高考真题汇编-三角恒等变换解三角形(含答案)_数学_高中教育_教育专区。...3 . 2 4、 【2015 高考浙江卷文第 16 题】 (本题满分 14 分)在 ?ABC...


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