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山东省潍坊市2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


山东省潍坊市 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={y|y=lg(x +10) ,x∈R) ,集合 B={x||x﹣2|<1},则(?UB) ∩A=() A.{x|0≤x<1 或 x>3}B.{x|

x=1 或 x≥3} C.{x|x>3} D.{x|1≤x≤3}
2

2. (5 分)下列函数中,与函数

定义域相同的函数为()

A.

B.

C.

D.y=x e

3 x

3. (5 分)已知 sin(α+ A.

)= ,则 cos(α+

)=() C. ﹣ D.﹣

B.
2

4. (5 分)“a≥3”是“?x∈[1,2],x ﹣a≤0”为真命题的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)已知函数 f(x)=x +(m ﹣4)x+m 是偶函数,g(x)=x 在(﹣∞,0)内单调递 增,则实数 m=() A.2 B.±2 C. 0 D.﹣2 6. (5 分)将函数 y=cos2x+1 的图象向右平移 图象对应的表达式为() A.y=sin2x B.y=sin2x+2 C.y=cos2x D.y=cos(2x﹣ ) 个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数
2 2 m

7. (5 分) 设命题 p: 曲线 y=e

﹣x

在点 (﹣1, e) 处的切线方程: y=﹣ex; 命题 q: 函数 y=sinx+

(0<x<π)值域为[4,+∞) ,则下列判断正确的是() A.“p∨q”为真 B.“¬p∨q”为真 C.“¬p∧q”为真 8. (5 分)函数 f(x)=﹣cosxlnx 的部分图象大致是图中的()
2

D.“¬p∧¬q”为真

A.

B.
3 2

C.

D.

9. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切, 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为()

A.1

B. 2

C . ﹣1

D.﹣2

10. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(﹣x)=f(x) ,f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[0,1]时, f(x)=x ,又函数 g(x)=|cos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)﹣f(x)在[﹣ , ]上的零点 个数为() A.8
3

B. 7

C. 6

D.5

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)命题“若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0”的逆否命题是. 12. (5 分)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在射线 3x+4y=0 (x<0)上,则 2sinα+cosα 的值为.

13. (5 分)计算 log2sin

﹣log

cos

的值为.

14. (5 分)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,f′(x)的最小值为. 15. (5 分)如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1) 3 +x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)= 的所有序号为.
x

x

2x

.以上函数是“H 函数”

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)

16. (12 分)已知 m∈R,设命题 P:?x∈{x|﹣2<x<2},使等式 x ﹣2x﹣m=0 成立;命题 Q: 函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.“P∨Q”为真命题,“P∧Q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sin(π﹣x)?cosx+sin x﹣cos x,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)在[0,π]上的单调区间. (Ⅱ)若函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位后,得到的图象关于原点对称,求实 数 m 的最小值. 18. (12 分)设函数 f(x)=log2(ax ﹣2x+2)定义域为 A. (Ⅰ)若 A=R,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ是否存在实数 a,使 f(x)的最大值为 2?若存在求出 a 的值,若不存在,说明理由. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2cos <φ<
2 2 2 2 2

2

(ωx+φ)﹣2

sin (ωx+φ)cos (ωx+φ) (ω>0.0 ,2) .

)其图象的两个相邻对称中心的距离为

,且过点(﹣

(Ⅰ)函数 f(x)的达式; (Ⅱ)若 f( ﹣ )= ,α 是第三象限角,求 cosα 的值.

20. (13 分)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权 向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t(吨)满足函数关系 .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元 (以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量; 2 (2)甲方每年受乙生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元) ,在乙方按照获得最大利润的产 量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少? 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 h(x)=x ﹣mx+4,当 a=2 时,若?x1∈(0,1) ,?x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h (x2)成立,求实数 m 的取值范围.
2

山东省潍坊市 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理 科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={y|y=lg(x +10) ,x∈R) ,集合 B={x||x﹣2|<1},则(?UB) ∩A=() A.{x|0≤x<1 或 x>3}B.{x|x=1 或 x≥3} C.{x|x>3} D.{x|1≤x≤3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 y 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,根据全集 U=R 求出 B 的补集,找出 B 补集与 A 的交集即可. 解答: 解:由 A 中 y=lg(x +10)≥1,得到 A={y|y≥1}, 由 B 中不等式变形得:﹣1<x﹣2<1,即 1<x<3, ∴B={x|1<x<3}, ∵全集 U=R ∴?UB={x|x≤1 或 x≥3}, 则(?UB)∩A={x|x≥3 或 x=1}. 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分)下列函数中,与函数

定义域相同的函数为()

A.

B.

C.

D.y=x e

3 x

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;阅读型. 分析: 原函数的定义域是满足分母不等于 0 的 x 的取值集合,然后逐一分析给出的四个选 项中函数的定义域,比较后即可得到答案. 解答: 解:函数 定义域是{x|x≠0}.

而函数 函数 函数
3 x

的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}, 的定义域是{x|x>0}, 的定义域是{x|x≠0},

函数 y=x e 的定义域是 R. 所以与函数 定义域相同的函数为 .

故选 C. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,函数的定义域,就是使函数解析式有意义的自 变量 x 的取值集合,是基础题. 3. (5 分)已知 sin(α+ A. )= ,则 cos(α+ )=() C. ﹣ D.﹣

B.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数间的诱导公式即可求得答案. 解答: 解:∵sin(α+ ∴cos(α+ )= , )+ ]=﹣sin(α+ )=﹣ ,

)=cos[(α+

故选:C. 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题. 4. (5 分)“a≥3”是“?x∈[1,2],x ﹣a≤0”为真命题的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由恒成立可得 a≥4,再由集合{a|a≥4}是集合{a|a≥3}的真子集,可得结论. 2 解答: 解:∵“?x∈[1,2],x ﹣a≤0”为真命题, 2 ∴a≥x ,在 x∈[1,2]时恒成立, 2 而当 x∈[1,2]时,x 的最大值为 4, 故只需 a≥4, 因为集合{a|a≥4}是集合{a|a≥3}的真子集, 2 故“a≥3”是“?x∈[1,2],x ﹣a≤0”为真命题的必要不充分条件, 故选 B 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及恒成立问题,得出 a≥4,并用集合的包含关系是解决 问题的关键,属基础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=x +(m ﹣4)x+m 是偶函数,g(x)=x 在(﹣∞,0)内单调递 增,则实数 m=() A.2 B.±2 C. 0 D.﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 根据函数的奇偶性的性质求出 m,结合幂函数的性质即可得到结论. 2 2 解:∵函数 f(x)=x +(m ﹣4)x+m 是偶函数,
2 2 m 2

∴f(﹣x)=f(x) , 即 f(﹣x)=x ﹣(m ﹣4)x+m=x +(m ﹣4)x+m, 2 2 则﹣(m ﹣4)=m ﹣4, 2 解得 m ﹣4=0,解得 m=2 或﹣2, 2 ∵若 m=2,g(x)=x 在(﹣∞,0)内单调递减,不满足条件, ﹣2 若 m=﹣2,g(x)=x 在(﹣∞,0)内单调递增,满足条件, 故选:D 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用以及幂函数的性质,比较基础.
2 2 2 2

6. (5 分)将函数 y=cos2x+1 的图象向右平移 图象对应的表达式为() A.y=sin2x B.y=sin2x+2

个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数

C.y=cos2x

D.y=cos(2x﹣



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先把函数解析式中的 x 变化为 可得到答案. 解答: 解:把函数 y=cos2x+1 的图象向右平移 个单位,得 ,利用诱导公式整理后把函数式右边减 1 即

=sin2x+1, 再向下平移 1 个单位,得 y=sin2x+1﹣1=sin2x. ∴将函数 y=cos2x+1 的图象向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对应

的表达式为: y=sin2x. 故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减,是基础 题.
﹣x

7. (5 分) 设命题 p: 曲线 y=e

在点 (﹣1, e) 处的切线方程: y=﹣ex; 命题 q: 函数 y=sinx+

(0<x<π)值域为[4,+∞) ,则下列判断正确的是() A.“p∨q”为真 B.“¬p∨q”为真 C.“¬p∧q”为真

D.“¬p∧¬q”为真

考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;不等式的解法及应用. 分析: 本题可以先对命题 p、q 进行化简转化,从而判断出其真假,再根据复合函数真假判 断的规律,得到正确选项. 解答: 解:∵y=e ,
﹣x

∴y′=﹣e . ∴当 x=﹣1 时,y=e,k=y′=﹣e. ∴曲线 y=e 在点(﹣1,e)处的切线方程为 y﹣e=﹣e(x+1) , ﹣x ∴曲线 y=e 在点(﹣1,e)处的切线方程:y=﹣ex, ∴命题 p 为真命题 ∵y=sinx+ (0<x<π) ,
﹣x

﹣x

∴可设 sinx=t, 则 y=t+ , (0<t≤1) .





∴y=t+ 在区间(0,1]上单调递减. 当 t=1 时,函数有最小值 y=5. ∴函数 y=sinx+ (0<x<π)值域为[5+∞) . (0<x<π)值域为[4,+∞) ,不成立.

∴命题 q:函数 y=sinx+

∴命题 q 为假命题. ∴命题 p∨q 为真命题. 故选 A. 点评: 本题考查了利用导函数求切线、由单调性求函数值域以及复合命题真假的判断等知 识,有一定的运算量,属于中档题. 8. (5 分)函数 f(x)=﹣cosxlnx 的部分图象大致是图中的()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 图表型. 分析: 由于函数 f(x)=﹣cosxlnx 不是基本初等函数,我们可以用排除法,排除错误答案, 最后得到正确的答案,确定函数的奇偶性后,进而排除图象不关于 Y 轴对称的图象,判断出 函数的单调后,排除不满足条件的答案,即可得到正确的结论. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=﹣cosxlnx 为偶函数, ∴函数的图象关于 Y 轴对称, 故可以排除 C,D 答案 2 又∵函数 f(x)=﹣cosxlnx 在区间(0,1)上为减函数 故可以排除 B 答案. 故选 A
2

点评: 本题考查的知识点的图象,其中正确分析函数的性质,并根据函数的性质,判断出 函数图象的形状是解答本题的关键. 9. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切, 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为()
3 2

A.1 考点: 专题: 分析: 解答: 切,

B. 2

C . ﹣1

D.﹣2

定积分在求面积中的应用. 导数的综合应用. 根据导数的几何意义以及导数的基本运算,结合积分公式,即可得到结论. 3 2 解:∵函数 f(x)=﹣x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相
2

∴函数的导数 f′(x)=﹣3x +2ax+b,且 f′(0)=b=0, 3 2 则 f(x)=﹣x +ax , ∵x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为
3 2



∴由 f(x)=﹣x +ax =0 解得 x=0 或 x=a,由图象可知 a<0, 则根据积分的几何意义可得﹣
4

=﹣ (

) |

=



即 a =1,解得 a=﹣1 或 a=1(舍去) , 故选:C 点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用积分求阴影部分的面积的计算,要求 熟练掌握导数的应用. 10. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(﹣x)=f(x) ,f(x)=f(2﹣x) ,且当 x∈[0,1]时, f(x)=x ,又函数 g(x)=|cos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)﹣f(x)在[﹣ , ]上的零点 个数为() A.8
3

B. 7

C. 6

D.5

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意函数 h(x)=g(x)﹣f(x)在[﹣ , ]上的零点个数可化为函数 g(x)与 函数 f(x)的交点个数,作图分析即可. 解答: 解:函数 h(x)=g(x)﹣f(x)在[﹣ , ]上的零点个数可化为 函数 g(x)与函数 f(x)的交点个数, 由题意作出函数 g(x)与函数 f(x)的图象如下:

由图可知,有 5 个交点, 故选 D. 点评: 本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系,同时考查了学生的作图能力,属 于基础题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)命题“若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0”的逆否命题是若 a>0,且 b>0,则 ab>0. 考点: 四种命题. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,直接写出答案即可. 解答: 解:根据原命题与逆否命题的关系,知: 命题“若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0”的逆否命题是 “若 a>0,且 b>0,则 ab>0”. 故答案为:“若 a>0,且 b>0,则 ab>0”. 点评: 本题考查了原命题与它的逆否命题之间的相互转化问题,解题时应明确四种命题之 间的关系,是基础题. 12. (5 分)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在射线 3x+4y=0 (x<0)上,则 2sinα+cosα 的值为 .

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 在角 α 的终边上任意取一点 P(﹣4a,3a) ,a>0,由任意角的三角函数的定义求得 sinα= 和 cosα= 的值,从而求得 2sinα+cosα 的值.

解答: 解:根据角 α 的终边落在射线 3x+4y=0(x<0)上,在角 α 的终边上任意取一点 P (﹣4a,3a) ,a>0, 则 r=|OP|= =5a,∴sinα= = = ,cosα= = =﹣ ,

故 2sinα+cosα= ﹣ = , 故答案为: . 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.

13. (5 分)计算 log2sin

﹣log

cos

的值为﹣2.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用对数的运算性质与二倍角的正弦可将原式化为 log2sin log cos =log2 sin ,即可求得答案. ﹣

解答: 解:log2sin

﹣log

cos

=log2sin

+log2cos

=log2 sin

=

=﹣2,

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,考查二倍角的正弦与对数函数的性质,属 于中档题. 14. (5 分)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,f′(x)的最小值为 考点: 简单复合函数的导数. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 首先求出 f(x)的解析式,再求导,最后利用基本不等式求出最小值. x 2x 解答: 解:∵f(e )=x+e , x x x 2 ∴f(e )=lne +(e ) , 2 ∴f(x)=lnx+x ,x∈(0,+∞) ∴f′(x)= ≥2 =2 ,当且仅当 x= 时取等号.
x 2x



故答案为: 点评: 本题主要考查了函数解析式的求法,求导的运算法则,以及基本不等式,知识点比 较多,属于中档题. 15. (5 分)如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1) 3 +x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)= 的所有序号为②③.
x

.以上函数是“H 函数”

考点: 函数单调性的性质. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 3 2 ①y=﹣x +x+1;y'=﹣3x +1,则函数在定义域上不单调. ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;y’=3﹣2(cosx+sinx)=3﹣2 满足条件. x ③y=e +1 为增函数,满足条件. ④f(x)= .当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不 sin(x+ )>0,函数单调递增,

满足条件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的 关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知 m∈R,设命题 P:?x∈{x|﹣2<x<2},使等式 x ﹣2x﹣m=0 成立;命题 Q: 函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.“P∨Q”为真命题,“P∧Q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题先对命题 p、q 进行化简转化,再将条件“P∨Q”为真命题,“P∧Q”为假命题,转 化为命题 p、q 中一个命题为真,另一个命题为假,得到关于 m 的不等式,解不等式,得到本 题结论. 2 解答: 解:命题 p 等价于方程 x ﹣2x﹣m=0 在区间(﹣2,2)上有解. 2 记 g(x)=x ﹣2x﹣m, 则 ,
2 2

∴ ∴﹣1≤m<8.



命题 q:由方程 △=
2

的根的判别式 =4m ﹣12m﹣16>0,

得 m<﹣1 或 m>4. ∵“P∨Q”为真命题,“P∧Q”为假命题, ∴命题 p、q 中,一个为真,另一个为假. ∴当命题 p 真 q 假时,m<﹣1 或 m≥8, 当命题 p 假 q 真时,﹣1≤m≤4. ∴m≤4 或 m≥8. 实数 m 的取值范围是(﹣∞,4]∪[8,+∞) . 点评: 本题考查了一元二次方程的根的存在性、“或”命题和“且”命题的真假判断,本题计算 量较大,属于中档题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sin(π﹣x)?cosx+sin x﹣cos x,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)在[0,π]上的单调区间. (Ⅱ)若函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位后,得到的图象关于原点对称,求实 数 m 的最小值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数公式化简解析式, (Ⅰ)根据正弦函数的单调减区间得: ,求出 x 的范围,
2 2

结合定义域求出 f(x)在[0,π]上的单调区间; (Ⅱ)根据平移法则求出平移后的函数 g(x)的解析式,再由图象关于原点对称得到 g(0) =0,列出 m 的方程并化简,根据 m 的范围求出 m 的最小值. 解答: 解:由题意得,f(x)=2sin(π﹣x)?cosx+sin x﹣cos x =sin2x﹣cos2x= (Ⅰ)令 (k∈Z) , 又 x∈[0,π],所以 x∈ , ; 的图象向右平移 m(m>0)个单位后, = 的图象, , 得,
2 2

则函数 f(x)在[0,π]上的单调区间是 (Ⅱ)将函数 f(x)= 得到函数 g(x)= 又其函数图象关于原点对称,则 g(0)=0,

即 因为 m>0,令 k=﹣1 得 m= 所以实数 m 的最小值是

,解得 m= ,

(k∈Z) ,



点评: 本题考查了诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数公式,以及正弦函数的性质, 三角函数的图象平移变换,属于中档题. 18. (12 分)设函数 f(x)=log2(ax ﹣2x+2)定义域为 A. (Ⅰ)若 A=R,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ是否存在实数 a,使 f(x)的最大值为 2?若存在求出 a 的值,若不存在,说明理由. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)函数 f(x)=log2(ax ﹣2x+2)定义域为 R 则,ax ﹣2x+2>0 在 x∈R 上恒成立, 根据二次函数性值判断条件. (2)存在实数 a,使 f(x)的最大值为 2,根据复合函数单调性,可判断即 a<0,g(x)max=g ( )=4,即 +2=4,即可求出 a 的值.
2 2

解答: 解: (1)因为 A=R 所以 ax ﹣2x+2>0 在 x∈R 上恒成立. ①当 a=0 时,由﹣2x+2>0,得 x<1,不成了,舍去. ②当 a≠0 时,由 ,a ,

为综上所述,实数 a 的取值范围: ( ,+∞) (2)令 g(x)=ax ﹣2x+2,有题意知,要使 f(x)取最大值为 2,则函数 g(x)需取得最大 值 4, 抛物线开口向下,即 a<0, g(x)max=g( )=4, 即 ∴a= +2=4, 满足条件.
2

点评: 本题考查了对数函数,二次函数的性质,特别是单调性,最值问题,综合考察要求 对函数理解很深刻,应用灵活.
2

19. (12 分)已知函数 f(x)=2cos <φ<

(ωx+φ)﹣2

sin (ωx+φ)cos (ωx+φ) (ω>0.0 ,2) .

)其图象的两个相邻对称中心的距离为

,且过点(﹣

(Ⅰ)函数 f(x)的达式;

(Ⅱ)若 f(



)= ,α 是第三象限角,求 cosα 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据二倍角公式、两角和的余弦函数公式化简解析式,再由条件求出函数的 周期,由周期公式求出 ω 的值,再把点代入结合条件和特殊角的余弦值求出 φ 的值,代入解 析式化简即可; (Ⅱ)根据题意把 限和平方关系求出 sin( cosα=cos[( )﹣ 代入解析式化简可得 ,再根据角的所在的象

)的值,根据两角差的余弦函数公式求出 ]的值.
2

解答: 解: (Ⅰ)由题意得,f(x)=2cos =cos(ωx+φ)﹣ = sin(ωx+φ)+1 ,

(ωx+φ)﹣2

sin (ωx+φ)cos (ωx+φ)

由图象的两个相邻对称中心的距离为 所以 又过点(﹣ ,得 ω=2, ,2) ,则

得,函数的周期 T=π,

=2,

化简得,cosφ= , 由 0<φ< 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, 化简得, 因为 α 是第三象限角,且 则角 所以 sin( 所以 cosα=cos[( 是第三象限, )=﹣ )﹣ ]=cos( =﹣ )cos , +sin( )sin , <0 , 得,φ= , ; = ,

=

=



点评: 本题考查了二倍角公式、两角和差的余弦函数公式,以及余弦函数的性质,考查变 角在求三角函数值中的应用. 20. (13 分)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权 向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t(吨)满足函数关系 .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元 (以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量; (2)甲方每年受乙生产影响的经济损失金额 y=0.002t (元) ,在乙方按照获得最大利润的产 量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由已知中赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 .我 们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量 2 (2)由已知得,若甲方净收入为 v 元,则 v=st﹣0.002t .再由 .我们可以得到甲 方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式,利用导数法,我们易求出答案. 解答: 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 由 令 w'=0,得 , . .
2

当 t<t0 时,w'>0;当 t>t0 时,w'<0, 所以 t=t0 时,w 取得最大值. 因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 为 (2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st﹣0.002t . 将 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式
2

(吨) ;







令 v'=0,得 s=20. 当 s<20 时,v'>0;当 s>20 时,v'<0, 所以 s=20 时,v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获最大净收入.

点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意 实际情况对自变量 x 取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化 问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)设函数 h(x)=x ﹣mx+4,当 a=2 时,若?x1∈(0,1) ,?x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h (x2)成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 ,当 a≥0 时,f′(x)>0,f

(x)在(x,+∞)上单调递增;当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 x>﹣a;由 f′(x)<0,得 x <﹣a.由此能够判断 f(x)的单调性. (Ⅱ)由 g(x)=ax﹣ ,定义域为(0,+∞) ,知 ﹣ = ,

因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞) ,g′(x)≥0,由此能够求出正实数 a 的取值范围. (Ⅲ)当 a=2 时,g(x)=2x﹣ , ,由 g′(x)=0,得 x= 或 时,g′(x)<0.所以在(0,1)上,

x=2.当

时,g′(x)≥0 当 x

,由此能求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 ,

①当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>﹣a;由 f′(x)<0,得 x<﹣a; 故 f(x)在(0,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)g(x)=ax﹣ ,g(x)的定义域为(0,+∞) ,

﹣ =



因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞) ,g′(x)≥0, 2 ∴ax ﹣5x+a≥0, 2 ∴a(x +1)≥5x, 即 ,







,当且仅当 x=1 时取等号,

所以 a



(Ⅲ)当 a=2 时,g(x)=2x﹣





由 g′(x)=0,得 x= 或 x=2. 当 时,g′(x)≥0;当 x 时,g′(x)<0. ,

所以在(0,1)上,

而“?x1∈(0,1) ,?x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h(x2)成立”等价于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于 h(x)在[1,2]上的最大值” 而 h(x)在[1,2]上的最大值为 max{h(1) ,h(2)},

所以有











解得 m≥8﹣5ln2, 所以实数 m 的取值范围是[8﹣5ln2,+∞) . 点评: 本题考查在闭区间上求函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查 函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要 求较高,是 2015 届高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.


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