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集合的基本运算(1)


1.1.3集合的基本运算

第一课时

并集与交集

学习目标:
1. 理解交集与并集的概念,掌握交集 与并集的区别与联系; 2. 会求两个已知集合的交集和并集, 并能正确应用它们解决一些简单问题; 3. 能使用Venn图表达集合的运算,体会 直观图示对理解抽象概念的作用.

问题1:什

么是两个集合的并集? 一般地,由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合,称为集合A与 B的并集 如何表示呢? A∪B={x|x∈A,或x∈B}(读作“A并 B”)

思考1:集合A∪B就是由集合A和集合B
所有元素构成的吗?
对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B 的所有元素所组成的集合.A与B中的公共 元素只能出现一次,不可重复出现在A∪B 中.

如何理解两个集合的并集?

[例1] (1)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6}, 则A∪B=________. {1,2,4,6}

(2)已知A={x|a<x≤a+8},B={x|x<-1或x>5}. 若A∪B=R,求a的取值范围.
[解析] 在数轴上标出集合 A,B,如图. 要使
? ?a+8≥5, A∪B=R,则? ? ?a<-1,

解得-3≤a<-1. 综上可知,a 的取值范围为 a -3≤a<-1 ? ?.
? ? ? ? ? ? ?

[练习 1]若集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则 M∪N=________.

答案: {x|x<-5 或 x>-3} 解析: 将-3<x≤5, x<-5 或 x>5 在数轴上表示出来,

∴M∪N={x|x<-5 或 x>-3}.

问题2:什么是两个集合的交集?
一般地,由属于集合A且属于集合B的所 有元素组成的集合,称为A与B的交集

如何表示呢?
A∩B={x|x∈A,且x∈B} (读作“A交 B”)

思考2:当集合A与B没有共同元素时,
能说它没有交集吗?
答案:两集合 A 与 B 没有公共元素时,不能说集合 A 与 B 没有交集,而是 A∩B=?.

如何理解两个集合的交集?

例2.(1)已知集合A={x|x2-2x=0}, B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}

(1)[答案] C

[解析] 运用集合的运算求解.

(2) 若 2≤x≤3},B={x|x>a}, AA ∩ B ∵ A= {A={x|x|x2-2x= 0}={0,2},B={0,1,2}求 ,∴ ∩ B={0,2}

(2)[解析] 在数轴上标出集合 A,如图. 当 a<-2 时,A∩B=A{x|-2≤x≤3}; 当-2≤a<3 时,A∩B={x|a<x≤3}; 当 a≥3 时,A∩B=?.

练习:(1)已知M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1}, 则M∩N= 。

{x|-1<x<1}

(2)已知集合M={(x, y)|x+y=2}, N={(x, y)|x-y=4},那么集合M∩N为( ). A. x=3, y=-1 B. (3,-1)? D C.{3,-1} D.{(3,-1)}

问题3:交集与并集的性质
(1)A∪A=A, (2)A∪?=A,(3)A∪B=B∪A, (4)A?A∪B,B?A∪B,(5)若 A∪B=A,则 B?A;

(6)A∩A=A,(7)A∩?=?,(8)A∩B=B∩A, (9)A∩B?A,A∩B?B, (10)A∩B=A?A?B, A∩B=B?B?A,A∩B?(A∪B).

例3.(1)若集合A={1,3,x},B={1,x2}, A∪B={1,3,x},则满足条件的实数x的个数是



3个
(2)已知集合A={x|2a≤x≤a+1},B={x|-2≤x≤3},若 A∩B=A,求实数a的取值范围。

变式:若将上题中“A∩B=A”,改为 “A∩B=B”,则a的取值范围又是多少?

谢谢观看!

[练习 3]若 A={x|x2-2x-3=0}, B={x|ax-2=0}, 且 A∩B =B,求由实数 a 组成的集合 C.

解:由 A={x|x2-2x-3=0},得 A={-1,3}. ∵A∩B=B ,∴B?A, 从而 B=?或 B={-1}或 B={3}. 当 B=?时,由 ax-2=0 无实数根,得 a=0. 当 B={-1}时,由 a×(-1)-2=0,得 a=-2; 2 当 B={3}时,由 a×3-2=0,得 a=3. 故由实数 a 组成的集合
? 2? ? ? ? C= -2,0,3?. ? ? ? ?


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