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多面体与球切、接的问题(讲)


纵观近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考 命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺 利解答.从实际教学来看,这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊,看到就头疼的题目. 分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以 至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几

年高考题对球与几何体的切接问题作深 入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从 近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见. 首先明确定义 1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内 接多面体,这个球是这个多面体的外接球。 定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面 体,这个球是这个多面体的内切球.

1 球与柱体的切接
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形 态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题. 1.1 球与正方体

如图所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,设正方体的棱长为 a , E , F , H , G 为棱的中点, O 为 球的球心.常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形 EFGH 和其内 切圆,则 OJ ? r ? 则 GO ? R ?

a ;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFGH 和其外接圆, 2

2 a ;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACA1C1 和其外接圆,则 2 3 a .通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面 2

A1O ? R? ?

图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方 体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.

-1-

(1)正方体的内切球,如图 1. 位置关系:正方体的六个面都与一个球都相切,正方体中心 与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ? a .

(2)正方体的外接球,如图 2. 位置关系:正方体的八个顶点在同一个球面上;正方体中心 与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ?

3a .

(3)正方体的棱切球,如图 3. 位置关系:正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球

-2-

心重合; 数据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ?

2a .

例 1 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别是棱

AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为(
A.



2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

思路分析:由题意推出,球为正方体的外接球.平面 AA1 DD1 截面所得圆面的半径

R?

AD1 2

?

2 , 得知直线 EF 被球 O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 2

1.2 球与长方体 例 2 自半径为 R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC ,求

MA 2 ? MB 2 ? MC 2 的值.
思路分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导 学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.

-3-

例 3(全国卷 I 高考题)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个 球的表面积为( A. 16? ). B. 20? C. 24? D. 32?

思路分析:正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2, 可得长方体的长、宽、高分别为 2,2,4,长方体内接于球,它的体对角线正好为球的直径.

2

球与锥体的切接

规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和 内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题. 2.1 正四面体与球的切接问题 (1) 正四面体的内切球,如图 4. 位置关系:正四面体的四个面都与一个球相切,正四面体 的中心与球心重合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有 4 R ? h ? 利用体积桥证明)

6 (可以 a; 3

-4-

(2) 正四面体的外接球,如图 5. 位置关系:正四面体的四个顶点都在一个球面上,正四面 体的中心与球心重合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有

4 R ? 3h ? 6a ; (可用正四面体高 h 减去内切球的半径得到)

(3) 正四面体的棱切球,如图 6. 位置关系:正四面体的六条棱与球面相切,正四面体的中 心与球心重合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有

4 R ? 3h ? 2a, h ?

6 a. 3

-5-

例 4 设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积 之比及体积之比. 思路分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两 个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的.

2.2 其它棱锥与球的切接问题 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球
-6-

面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正 三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径 R .这 样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥 的体积和为正三棱锥的体积. 球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等 进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧 定球心位置. 例 5 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表 面积与体积. 思路分析:此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积法 可得: VP ? ABC ? VO ? PAB ? VO ? PAC ? VO ? PBC ? VO ? ABC ,得到 R ?

2 3 ? 6 ?2. 2 3 ?3

-7-

例 6(福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积 是 .

思路分析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球 的半径.而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直,使我们很快联想 到长方体的一个角,马上构造长方体,由侧棱长均相等,所以可构造正方体模型.

点评:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题,这 是解决几何体与球切接问题常用的方法. 例 7【2012 年新课标高考卷】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是 边长为 1 的正三角形, SC 是球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( A. )

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

思路分析:?ABC 的外接圆是球面的一个小圆,由已知可得其半径,从而得到点 O 到面 ABC 的距离.由 SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离即可求得棱锥的体积.

-8-

3

球与球相切问题

对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题,要根据丰富的空间想象力,通过准确确定各个 小球的球心的位置,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解. 例 8 已知有半径分别为 2、3 的球各两个,且这四个球彼此相外切,现有一个球与此四个球都相 外切,则此球的半径为 .

思路分析:结合图形,分析四个球的球心 A、B、C、D 的位置,知 AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4. 设 AB 中点为 E、 CD 中点为 F, 连结 EF.在△ABF 中可得 BF ?

21 , 在△EBF 中可得 EF ? 2 3 .

由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上, 连结 OA、 OD.设第五个球的半径为 r, 根据 OE+OF=EF 建立 r 的方程.

-9-

例 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四 个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离. 思路分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2.

4

球与几何体的各条棱相切问题

球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为 目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对 棱的一半: r ? ?

2 a. 4

例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使 皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为( A.l0 3 cm B.10 cm )

- 10 -

C.10 2 cm

D.30cm

思路分析:根据题意球心 O 在图中 AP 上,过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N,ON=R,OM=R, 由各个棱都为 20,得到 AM=10,BP=20,BM=10,AB= 10 2 ,设 ?BPA ? ? ,在 Rt ? BPM 中, 由 BP ? BM ? PM ,得 PM ? 10 3 .在 Rt ? PAM 中, 由 PM ? AM ? AP ,得
2 2 2 2 2 2

PA ? 10 2 .在 Rt ? ABP 中得, sin ? ?

AB 10 2 2 ,在 Rt ? ONP 中得, ? ? BP 20 2

sin ? ?

R 2 ON R ,从而 , OP ? 2 R .在 Rt ? OAM 中, 由 OM 2 ? AO 2 ? AM 2 , ? ? OP 2 OP OP

建立方程 R 2 ? (10 2 ? 2 R) 2 ? 100 即可得解.

- 11 -

5

球与旋转体切接问题

首先画出球及其它旋转体的公共轴截面,然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系. 例 11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 思路分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系.

例 12 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和; (2)球的半径为多少时,两球体积之和最小. 思路分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球 的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面,得如图的截面图,在图 中,观察 R 与 r 和棱长间的关系即可.
- 12 -

综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要 找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对 角面来作;把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是 抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于 数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以 借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合,题目的难易不一, 在复习中切忌好高骛远,应重视各种题型的备考演练,重视高考信息的搜集,不断充实题目 的类型,升华解题的境界.

- 13 -


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