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吉林省实验中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 文


吉林省实验中学 2014—2015 学年度下学期期末考试 高一数学文试题
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.下列说法正确的是 A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点

2.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中 正确命题的序号是( ) ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n; ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ; ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ⊥β . A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3. 若等差数列 {an } 的前 3 项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( A. 3 B. 4 C. 5 ) D. 6

1 4. 已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? , a4 ? ?1 ,则数列 {an } 的公比 q 为( ) 8 1 1 A. 2 B. ? C. -2 D. 2 2 5. 在 ?ABC 中, A ? 60? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则 B 等于( ) A. 45 ? 或 135 ? B. 135 ? C. 45 ? D. 以上答案都不对
6. 已知 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. a ? ab ? ab C. ab ? a ? ab
2 2



B. a ? ab ? ab
2

2

D. ab ? ab ? a ) B. 一定是直角三角形 D. 可能是钝角三角形,也可能是锐角三角形

7. 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 12 : 13 ,则 ?ABC ( A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形

8.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 A. 8 ?

2? 3

B. 8 ? D.

C. 8 ? 2?

2? 3

? 3

9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 C1-AB-C 的平面角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
? 10.等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,前 n 项和为 S n n ? N .有下列命题

?

?

①若 S 3 ? S11 ,则必有 S14 ? 0 ;

②若 S 3 ? S11 ,则必有 S 7 是 S n 中最大的项;

1

③若 S7 ? S8 ,则必有 S8 ? S9 ; 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个

④若 S7 ? S8 ,则必有 S 6 ? S9 ; C. 3 个 D. 4 个

11.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结论:(1)SG⊥平面 EFG;(2)SD⊥平面 EFG;(3)GF⊥平面 SEF;(4)EF⊥平面 GSD;(5)GD⊥平面 SEF.正确的是 ( ) A.(1)和(3) B.(2)和(5) C.(1)和(4) D.(2)和(4) 12.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的 是( ) A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. 如果 log3 m ? log3 n ? 4 , 那么 m ? n 的最小值是 14.若圆锥的侧面积为 2? ,底面面积为 ? ,则该圆锥的体积为
0

. .

15. 已知△ABC 为直角三角形, 且 ?ACB ? 90 , AB=10, 点 P 是平面 ABC 外一点, 若 PA=PB=PC, 且 PO⊥平面 ABC,O为垂足,则OC= __________ ________ . 16. 已 知 数 列 {an } 、 {bn } 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为 a1 、 b1 , 且

a1 ? b1 ? 5, a1 、 b1 ? N ? 。设 cn ? abn n ? N ? ,则数列 ?cn ? 的前 10 项和等于
三、解答题: (本题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本题满分 10 分)在 ?ABC 中, A ? 120 ? , b ? 1 , S ?ABC ? 3 , 求: (1) a , c ; (2) sin( B ?

?

?



?

6

) 的值。

2

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a , f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? t} (1)求 a , t 的值; (2) c 为何值时, (c ? a) x 2 ? 2(c ? a) x ? 1 ? 0 的解集为 R。

19. (本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AB ? BC ? 2, 过A1、C1、B 三点的平面 截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且这个几何体的体积为
40 。 3

(1)求棱 A1 A 的长; (2)求经过 A1、C1、B、D 四点的球的表面积。

D1 A1

C1

D A B

C

20. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边 长为 2 的正方形,PA=AD,F 为 PD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 PDC; (2)求直线 AC 与平面 PCD 所成角的大小. A P P F

D

B

C

3

21.(本题满分 12 分)已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点, 3

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n ?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

22.(本题满分12分)如图,在四棱锥 P一 ABCD中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥ DC, △ PAD是等边三角形,已知AD=4,BD= 4 3 ,AB=2CD=8. (1)设M是PC上的一点, 证明: 平面MBD⊥平面PAD; (2)当M点位于线段PC什么位置时, PA∥平面MBD? 请证明你的结论; (3)求四棱锥P—ABCD的体积。

高一期末数学(文)答案 一、选择题: 题号 1 2 答案 C A 二、填空题: 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 11 C 12 D

4

13. 18

14.

3 ? 3

15.5

16.85

三、解答题:
1 1 3 ? 3 17.解: (1) S ? bc sin A ? ? 1 ? c ? 2 2 2 ?c ? 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 21……………5 分 ? a ? 21
(2)
a b 7 ? ? ? sin B ? , B ? (0, ) sin A sin B 14 3

? cos B ?

3 21 ? 3 7 1 3 21 21 …10 分 ,? sin(B ? ) ? ? ? ? ? 14 6 2 14 2 14 7

18.解(1)由已知得 ? 1, t 是方程 f ( x) ? 0 的两根,

? f (?1) ? 0 ? a ? ?3 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? f ( x) ? 0的解集为(? 1,3) ?t ? 3
(2)由(1)得 (c ? 3) x2 ? 2(c ? 3) x ? 1 ? 0 解集为 R , 当 c ? 3 时,不等式解集为 R 成立, 当 c ? 3 时, …………6 分

?c ? 3 ? 0 ? 2 ?? ? 4(c ? 3) ? 4(c ? 3) ? 0
19.解:(1) AA 1 ? 4 ;(2) S ? 24?

?2 ? c ? 3

由(1)(2)可得 2 ? c ? 3 .……………………………..12 分

20.解:( 1 ) ? PA ? 平面ABCD? PA ? CD

? 正方形ABCD中,CD ? AD PA ? AD ? A ? CD ? 平面PAD? CD ? AF ? PA ? AD, FP ? FD ? AF ? PD CD ? PD ? D ? AF ? 平面PDC
…………6 分 (2)连接 CF 由(1)可知 CF 是 AF 在平面 PCD 内的射影 ? ?ACF 是 AF 与平面 PCD 所成的角

? AF ? 平面PDC? AF ? FC
5

在 ?ACF 中, AC ? 2 2 , CF ?

CD2 ? DF 2 ?

? cos?ACF ?

CF 3 ? ? ?ACF ? 30? AC 2

AF 与平面 PCD 所成的角为 30? 。…………..12 分

1 1 ?1? 21.解: (1)? f (1) ? ? a ? ? f ( x) ? ? ? 3 3 ? 3?
? a1 ?

x

1 2 2 ? c, a2 ? ? , a3 ? ? 3 9 27 2 1 1 2 ? a2 ? a1a3 ? c ? 1? an ? ? ? ( ) n ?1 ? ?2 ? ( ) n 3 3 3

bn ? 0,? Sn ? 0
? ( Sn ? Sn ?1 )( Sn ? Sn ?1 ) ? Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 1
所以 数列

? S ?为等差数列,
n

S1 ? b1 ? 1

? Sn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? Sn ? n2
当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1 , n ? 1 符合? bn ? 2n ? 1 (2)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ?? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1000 1000 Tn ? ?n ? ? n 的最小正整数为 112. 2009 9 22.解: (1)平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD =AD ?Tn ?

? AD2 ? BD2 ? AB2 ? BD ? AD ? BD ? 平面ABCD? 平面MBD ? 平面ABCD
(2)当 M 为 PC 的三等分点,即 2CM=MP 时,结论成立。 证明:连 AC 交 BD 与点 O

1 CO 1 CM AB ? ? ? 2 OA 2 MP ? OM // PA, PA ? 平面MBD,OM ? 平面MBD? PA // 平面MBD ? CD // AB, CD ?

6

(3)易证 PH ? 平面 ABCD ?VP ? ABCD ?

1 S ABCD ? PH 3

? PH ? 2 3 , S ABCD ?

1 (4 ? 8)2 3 ? 12 3 2

?VP ? ABCD ? 24

7


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