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2012届高考数学(理)一轮复习课件:定积分与微积分基本定理(人教A版)


1.下列值等于 1 的积分是
1 A.∫0xdx 1 C.∫01dx

( B.∫1(x+1)dx 0 1 ∫1 dx D. 0 2

)

1 1 1 3 1 ∫1xdx= x2|1= ;∫1(x+1)dx=( x2+x)|0= ;∫11dx 解析: 0 0 0 2 0 2 2 2 1 1 1 1 11

=x|0=1;∫0 dx= x|0= . 2 2 2

答案:C

2.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2-t+2,质点作 直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为 17 A. 6 C. 13 6
2
2

(

)

14 B. 3 D. 11 6

2 17 13 12 解析:s= ? (t -t+2)dt=( t - t +2t) = . 3 2 1 1 6

答案:A

3.设

?x2?x≥0? ? f(x)=? x ?2 ?x<0? ?

,则∫1 1f(x)dx 等于 -
1 B.∫-12xdx 0 D.∫-12xdx+∫1x2dx 0

(

)

1 A.∫-1x2dx 0 C.∫-1x2dx+∫12xdx 0

?x2,x≥0, ? 解析:∵f(x)=? x ?2 ,x<0, ?
0 ∴∫1 1f(x)dx=∫-12xdx+∫1x2dx. - 0

答案:D

2 4.∫0 4-x2dx=________.

解析:∫2 4-x2dx 表示圆 x2+y2=4 在第一象限内部分的面 0 积,所以∫2 4-x2dx=π. 0

答案:π

5.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1 相交形成一个闭合图 形(图中的阴 影部分),则该闭合图形的面积是_______.
解析:函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1), 所以闭合图形的面积等于
?2 ? ? ?0

4 (-x +2x+1-1)dx= (-x2+2x)dx= . 3
2

?2 ? ? ?0

4 答案: 3

1.定积分 (1)定积分的相关概念 在∫bf(x)dx 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区 a 间[a,b]叫做积分区间, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积分 变量, f(x)dx 叫做被积式.

(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫bf(x)dx 的 a 几何意义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

②一般情况下,定积分∫bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲 a 线 f(x)以及直线 x=a、 x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(如 图中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

(3)定积分的基本性质
b k∫a f(x)dx . b b ∫a f1(x)dx± b f2(x)dx . ∫a ②∫a[f1(x)± 2(x)]dx= f

①∫bkf(x)dx= a

③∫bf(x)dx= a

∫c f(x)dx+∫b f(x)dx . a c

2.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x), 那么∫
b af(x)dx=

F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做

牛顿—莱布尼兹公式. 为了方便, 常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|a , ∫bf(x)dx=F(x)|a = 即 a F(b)-F(a).
b
b

考点一

利用微积分基本定理计算定积分
求下列定积分: (1)∫2(x2+2x+1)dx; 1 (2)∫π(sinx-cosx)dx; 0
? (3) 2 1-sin2xdx. ? 0

2 [自主解答] (1)∫1(x2+2x+1)dx 2 =∫2x2dx+∫22xdx+∫11dx 1 1

x3 2 19 2 = |1+x2|2+x|1= . 1 3 3 (2)∫π(sinx-cosx)dx 0 =∫πsinxdx-∫πcosxdx 0 0 =(-cosx)|π-sinx|π=2. 0 0

(3)

? = 2 |sinx-cosx|dx ? 0
? = ?4 0

? ?2 0

1-sin2xdx

? ? =(sinx+cosx) 4 -(sinx+cosx) 2 ? ?? 0
4

? (cosx-sinx)dx+ 2 ?? 4

(sinx-cosx)dx

= 2-1-(1- 2)=2 2-2.

计算以下定积分. 1 ∫2(2x2- )dx; (1) 1 x

? (2) ? 3 (sinx-sin2x)dx; 0
(3)∫2|3-2x|dx. 1

1 2 解:(1)∵y=2x2-x的一个原函数是y= x3-lnx, 3 1 2 2 2 ∫2(2x2- )dx=( x3-lnx)|2=( ×23-ln2)-( ×13-ln1)= ∴ 1 1 x 3 3 3 16 2 14 -ln2- = -ln2. 3 3 3

1 (2)∵函数y=sinx-sin2x的一个原函数是y=-cosx+ cos2x, 2

? ? 1 ∴ ? 3 (sinx-sin2x)dx=( cos2x-cosx) 3 2 0 0
1 2π π 1 =( cos -cos )-( cos0-cos0) 2 3 3 2 1 1 1 1 =[ ×(- )- ]-( -1) 2 2 2 2 1 1 1 1 =- - + =- . 4 2 2 4

3 ? ?3-2x?1≤x<2?, (3)∵y=|3-2x|=? ?2x-3?3≤x<2?, 2 ?

3 2 ? 2 |3-2x|dx+ ? 3 |3-2x|dx 1 2 3 2 = ? 2 (3-2x)dx+ ? 3 (2x-3)dx 1 2
∴∫2|3-2x|dx= 1

3 2 3 3 2 =(3x-x ) 2 +(x -3x) 3 =[3× -( )2]-(3×1-12)+(22- 2 2 1 2 32 3 9 9 9 9 1 3×2)-[( ) -3× ]= - -2+(-2)- + = . 2 2 2 4 4 2 2
2

考点二

利用定积分的几何意义求定积分

利用定积分的几何意义求∫a a a2-x2dx(a>0)的值. -

[自主解答]

∫a a a2-x2dx表示y= a2-x2的图象与x=-a,x -

=a,y=0所围成的图形的面积,

由y= a2-x2得x2+y2=a2(y≥0), ∴y= a2-x2表示以原点为圆心,a为半径的上半圆, 1 2 πa2 其面积为 ·πa = , 2 2 ∴∫a a - πa2 a2-x2dx= . 2

解:∫1 -x2+2xdx表示y= -x2+2x与x=0,x=1及y=0 0 所围成的图形的面积. 由y= -x2+2x得(x-1)2 +y2=1(y≥0), 又∵0≤x≤1, ∴y= -x2+2x与x=0,x=1及 1 π y=0所围成的图形为 个圆,其面积为 , 4 4 ∴∫1 0 π -x +2xdx= . 4
2

为何值?

求定积分∫3 2 16+6x-x2dx. -

解:设 y= 16+6x-x2, 即(x-3)2+y2=25(y≥0). 因为方程(x-3)2+y2=25 表示以(3,0)为圆心、5 为半径的圆, 如图所示,

1 所以∫3 2 16+6x-x2dx 表示此圆面积的 . - 4 1 25 ∫3 2 16+6x-x2dx= ·π·52= π. 故 - 4 4

考点三

利用定积分求曲边梯形的面积

求曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积.

[自主解答] 作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求面积为 下图中阴影部分的面积.

?y=x2, ? 解方程组? ?y=x, ?

得交点(1,1)、(0,0).

?y=x2, ? 解方程组? ?y=3x, ?

得交点(3,9)、(0,0),

因此,所求图形的面积为
1 S=∫0(3x-x)dx+∫3(3x-x2)dx 1 3 =∫12xdx+∫1(3x-x2)dx 0

3 1 21 |0+( x2- x3)|3 =x 1 2 3 3 2 1 3 3 2 1 3 13 =1+( · - · )-( · - · )= . 3 3 1 1 2 3 2 3 3

求曲线y=x3-2x与y=x2围成的图形的面积.
解:由x3-2x=x2, 得x=-1,0,2. 37 2 ∴S=∫0 1(x3-2x-x2)dx+∫0(x2-x3+2x)dx= . - 12

考点四

定积分在物理中的应用

列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加 速度a=-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离 车站多远处开始制动?

[自主解答] a=-0.4 m/s2,v0=72 km/h=20 m/s. 设t s后的速度为v,则v=20-0.4t. 令v=0,即20-0.4t=0得t=50(s). 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s,则s= ∫ 50 vdt= ∫ 50 0 0 (20-0.4t)dt =(20t-0.2t2)|50 0 =20×50-0.2×502=500 (m), 即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动.

设一个物体从初速度为1时开始做直线运动,已知在任意时 刻t时的加速度为2+1,试将位移s表示为时间t的函数式.

解:取物体运动的起点为原点,在t时刻的位移为s=s(t),速度 为v=v(t),加速度为a=a(t),则有 s′(t)=v(t),v′(t)=a(t)=2 t+1,s(0)=0,v(0)=1. 在区间[0,t]上有v(t)-v(0) 4 3 4 3 =∫t0a(t)dt=∫t0(2 t+1)dt=( t 2 +t)|t0= t 2 +t. 3 3 4 3 ∴v(t)=v(0)+ t 2 +t 3

4 3 = t 2 +t+1. 3 s(t)-s(0)=∫t0v(t)dt 4 3 =∫t0( t 2 +t+1)dt 3 4 2 5 12 8 5 12 t =( × t 2 + t +t)|0= t 2 + t +t. 3 5 2 15 2 ∵s(0)=0, 8 5 12 ∴s(t)= t 2 + t +t,t∈[0,+∞). 15 2

利用微积分基本定理求已知函数在某一区间上的定积 分或求曲边梯形的面积是高考对本节内容的常规考法,曲

边梯形的面积与几何概型、随机模拟等问题结合能很好地
考查知识间的联系以及考生分析问题、解决问题的能力, 是高考的一种重要考向.

[考题印证] (2010· 陕西高考)从如图所示的长方形区域内任
取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为________.

[规范解答] 根据题意得:
1 1 S阴=∫03x2dx=x3|0=1,

则点M取自阴影部分的概 S阴 1 1 率为 = = . S矩 3×1 3

1 [答案] 3

1.求定积分的一些技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求定积分.

(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,
分段求定积分再求和. (3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才 能求定积分.

(4)若函数 f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则 dx=2
?a ? ? ?

?a ? ? ?

-a

f(x)

0

f(x)dx;若 f(x)是奇函数,且在区间[-a,a]上
?a ? ? ?

连续,则

-a

f(x)dx=0.

2.几种典型的曲边梯形面积的计算方法 (1)由三条直线x=a、x=b(a<b)、x轴, 一条曲线y=f(x)[f(x)≥0]围成的曲边梯形 的面积(如图1): S= f(x)dx.
?b ? ? ?a

(2)由三条直线 x=a、x=b(a<b)、x 轴、 一条曲线 y=f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯 形的面积(如图 2): S=|
?b ? ? ?

a

f(x)dx|=-

?b ? ? ?

a

f(x)dx.

(3)由两条直线 x=a、x=b(a<b)、两条曲线 y=f(x)、y= g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3):

图3 S= [f(x)-g(x)]dx.
a
?b ? ? ?

1 ∫4 dx等于 1.(2010· 湖南高考) 2 x A.-2ln2 C.-ln2 B.2ln2 D.ln2

(

)

1 4 ∫4 dx=lnx|2=ln4-ln2=ln2. 解析: 2 x

答案:D

2 2.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则∫1f(-

x)dx的值等于 5 A. 6 2 C. 3 1 B. 2 1 D. 6

(

)

解析:由于f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1, 所以f(x)=x2+x,于是 1 3 1 2 2 5 2 2 2 ∫1f(-x)dx=∫1(x -x)dx=( x - x )|1= . 3 2 6

答案:A

3.(2010· 山东高考)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 ( 1 A. 12 1 C. 3 1 B. 4 7 D. 12 )

解析:由题可知 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积为 1 3 1 4 1 1 1 1 2 3 ∫0(x -x )dx=( x - x )|0= - = 3 4 3 4 1 . 12

答案:A

4.一物体以v=(9.8t+6.5)m/s的速度自由下落,则下落
后第二个4 s内经过的路程是________.
8 解析:∫8(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)|4=4.9×64+6.5 4

×8-4.9×16-6.5×4=313.6+52-78.4-26=261.2.

答案:261.2 m

xk 5.设k是一个正整数,(1+k) 的展开式中 1 3 x 的系数为 ,则函数y=x2与y=kx 16 -3的图象所围成的阴影部分(如图)的 面积为________.

1 r x 31 解析:Tr+1=C k ( k )r,令r=3,得x3的系数为C k 3 = ,解 k 16
?y=x2 ? 得k=4.由 ? ?y=4x-3 ?

,得函数y=x2与y=4x-3的图象的交

点的横坐标分别为1,3.∴阴影部分的面积为 1 3 3 4 3 2 2 S=∫1(4x-3-x )dx=(2x -3x- x )|1= . 3 3
4 答案: 3

6.如图所示,已知曲线C1:y=x2与曲线
C2:y=-x2+2ax(a>1)交于点O、A, 直线x=t(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相 交于点D、B,连接OD、DA、AB. (1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关 系式S=f(t); (2)求函数S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

?y=x2 ? 解:(1)由? ?y=-x2+2ax ? ?x=0 ? 解得? ?y=0 ? ?x=a ? 或? ?y=a2 ?



∴O(0,0),A(a,a2). 又由已知得B(t,-t2+2at),D(t,t2),

1 1 ∫t0(-x2+2ax)dx- t×t2+ (-t2+2at-t2)×(a-t)= ∴S= 2 2 1 3 1 2 t |0- t3+(-t2+at)×(a-t). (- x +ax ) 3 2 13 13 3 13 2 2 2 =- t +at - t +t -2at +a t= t -at2+a2t. 3 2 6 13 ∴S=f(t)= t -at2+a2t(0<t≤1). 6

12 (2)f′(t)= t -2at+a2, 2 12 令f′(t)=0,即 t -2at+a2=0. 2 解得t=(2- 2)a或t=(2+ 2)a. ∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a应舍去. 2+ 2 1 若(2- 2)a≥1,即a≥ = 时, 2 2- 2 ∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.

∴f(t)在区间(0,1]上单调递增, S的最大值是 1 f(1)=a -a+ . 6
2

若(2- 2)a<1, 2+ 2 即1<a< 时, 2 当0<t<(2- 2)a时,f′(t)>0. 当(2- 2)a<t≤1时,f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0,(2- 2)a]上单调递增,

在区间[(2- 2)a,1]上单调递减. ∴f(t)的最大值是f((2- 2)a) 1 = [(2- 2)a]3-a[(2- 2)a]2+a2(2- 2)a 6 2 2-2 3 = a. 3 ? 2 ?a -a+1 ? 6 综上所述f(t)max=? ?2 2-2 3 ? 3 a ? 2+ 2 ?a≥ ? 2 2+ 2 ?1<a< ? 2

.


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