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2016辽宁铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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2016 辽宁铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解 析)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的. 1.(文)已知命题甲为 x>0;命题乙为 A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不

是乙的必要条件 (理)已知两条直线 ∶ax+by+c=0,直线 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 的奇函数是( ) ∶mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 ,那么( )

2.(文)下列函数中,周期为 A. C. B. D.

(理)方程

(t 是参数,

)表示的曲线的对称轴的方程是( )

A.

B.

C.

D.

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3.在复平面中,已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下 面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; ② ③ ④ ; ; .

其中正确结论的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.(文)在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比 为 1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A.1∶ B.1∶9 C.1∶ D.1∶

(理)已知数列

的通项公式是

,其中 a、b 均为正常数,那么



的大小关系是( ) A. C. B. D.与 n 的取值相关

5.(文)将 4 张互不相同的彩色照片与 3 张互不相同的黑白照片排成一排,任何两 张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是( ) A. B. C. D.

(理)某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减 少,具体调查结果如下表: 表 1 市场供给量

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单价 2 (元/kg) 供给量 50 (1000kg) 表 2 市场需求量 单价 4 (元/kg) 需求量 50 (1000kg) 根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间 ( ) A.(2.3,2.6)内 C.(2.6,2.8)内 6.椭圆 B.(2.4,2.6)内 D.(2.8,2.9)内 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) 60 65 70 75 80 3.4 2.9 2.6 2.3 2 60 70 75 80 90 2.4 2.8 3.2 3.6 4

A. 7.若曲线 ( )

B.

C.2

D.4

在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为

A.(1,3) C.(1,0) 8.已知函数 ,

B.(-1,3) D.(-1,0) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 上是减函数,若

则实数 a 的取值范围是( )

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A.a≤2 C.a≥-2 B.a≤-2 或 a≥2 D.-2≤a≤2

9.如图,E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,PC=10,AB=6,EF=7, 则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( )

A.60°

B.45°

C.0°

D.120° 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方

10.圆心在抛物线 程是( )

A.

B.

C.

D.

11.双曲线的虚轴长为 4,离心率 于( ) A. B. C.



、 是

分别是它的左、右焦点,若过 的等差中项,则 等

的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点,且

D.8.

12.如图,在正方形 ABCD 中,E、F、G、H 是各边中点,O 是正方形中心,在 A、

E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中,以其中三个点为顶点作三角形,在这些三角形
中,互不全等的三角形共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个

二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上

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13.若 是数列 的前 n 项的和, ,则 ________.

14.若 x、y 满足



的最大值为________.

15.有 A、B、C、D、E 五名学生参加网页设计竞赛,决出了第一到第五的名次,A、

B 两位同学去问成绩,教师对 A 说:“你没能得第一名”.又对 B 说:“你得了第三
名”.从这个问题分析,这五人的名次排列共有________种可能(用数字作答). 16.若对 n 个向量 得 此规定,能说明 , , ,…, 存在 n 个不全为零的实数 , ,…, , ,…, ,使

成立,则称向量 (1,2),

为“线性相关”.依

(1,-1),

(2,2)“线性相关”的实数

依次可以取________(写出一组数值即中,不必考虑所有情况).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.

17.(12 分)已知

,求

的值.

18.(12 分)已知等比数列 成等差数列. (1)求 的值; , ,

的公比为 q,前 n 项的和为

,且





(2)求证:

成等差数列.

19.(12 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;

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(2)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.

注意:考生在(20 甲)、(20 乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19 甲)计分. 20 甲.(12 分)如图,正三棱柱 △ 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形. 的底面边长为 a,点 M 在边 BC 上,

(1)求证点 M 为边 BC 的中点; (2)求点 C 到平面 (3)求二面角 的距离; 的大小. 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直

20 乙.(12 分)如图,直三棱柱 角 三角形,AC=2a, =3a,D 为

的中点,E 为

的中点.

(1)求直线 BE 与 (2)在线段 存在,说明理由.

所成的角; ,若存在,求出 ;若不

上是否存在点 F,使 CF⊥平面

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21.(12 分)已知双曲线 C: 点,点 A 在 x 轴正半轴上,且满足 、 (a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦 、 成等比数列,过 F 作双曲线

C 在第一、第三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P.

(1)求证:



(2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D、E,求双曲线 C 的离心率 e 的 取值范围.

22.(14 分)设函数 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 的一个实根,判断



,且方程

的正负并加以证明.

参考答案
1.(文)A(理)C 2.(文)A(理)B 3.C 4.(文)D(理)B 5.(文)D (理)C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 13.33 14.7 15.18 16.只要写出-4c,2c,c(c≠0)中一组即可,如-4,2,1 等

17.解析:

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. 18.解析:(1)由 若 q=1,则 由 ≠0 得 , , , 成等差数列,得 , ,

,与题意不符,所以 q≠1.



,得



整理,得

,由 q≠0,1,得



(2)由(1)知: ,所以 , ,

, 成等差数列.

19.解析:(1)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为 A,摸出两个球共有方法 种, 其中,两球一白一黑有 种.





(2)法一:记摸出一球,放回后再摸出一个球“两球恰好颜色不同”为 B,摸出一 球得白球的概率为 ,摸出一球得黑球的概率为 ,

∴ P(B)=0.4×0.6+0.6+×0.4=0.48 法二:“有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”.

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∴ ∴ “有放回摸两次,颜色不同”的概率为 20.解析:(甲)(1)∵ △ 且 ∵ 正三棱柱 ∴ . , ∴ 底面 ABC. .

为以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形,∴

在底面内的射影为 CM,AM⊥CM.

∵ 底面 ABC 为边长为 a 的正三角形, ∴ 点 M 为 BC 边的中点.

(2)过点 C 作 CH⊥ ∴ AM⊥平面

,由(1)知 AM⊥ ∵ CH 在平面

且 AM⊥CM,

内, ∴ CH⊥AM,

∴ CH⊥平面

,由(1)知,









. ∴



∴ 点 C 到平面 (3)过点 C 作 CI⊥

的距离为底面边长为

. ,

于 I,连 HI, ∵ CH⊥平面

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∴ HI 为 CI 在平面 ∴ HI⊥ 内的射影, 的平面角.

,∠CIH 是二面角

在直角三角形

中,



, ∴ ∠CIH=45°, ∴ 二面角 的大小为 45°

(乙)解:(1)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵ AC=2a,∠ABC=90°, ∴ . ,0),A( (0, ,3a), ,0,0), (0,0,3a).

∴ B(0,0,0),C(0, ( ,0,3a),





























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∴ , , ∴ ,



. 故 BE 与

所成的角为 且 , , ,

. . ,

(2)假设存在点 F,要使 CF⊥平面 不妨设 AF=b,则 F( 0, , ,0,b),

,只要





, ∵ 或 , .

, ∴

恒成立.

故当

或 2a 时,

平面

21.解析:(1)法一:l:



解得



. ∵





成等比数列,

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∴ , ∴ , , , , ,





. ∴

法二:同上得 ∴ PA⊥x 轴.



. . ∴ .

(2)





即 ∴ ,即 ,

, ∵ . ∴ ,即 .



22.解析:(1)

. 又 c<b<1,

故 即 即

方程 f(x)+1=0 有实根, 有实根,故△= 或

又 c<b<1,得-3<c≤-1,由 (2) ∴ c<m<1 ∴ .



. , .

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∴ . ∴ 的符号为正.


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