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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(81)


加试模拟训练题(81) (附详细答案) 1 在直线 l 的一侧画一个半圆 T,C,D 是 T 上的两点,T 上 过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A,半圆的圆心在 线段 BA 上, E 是线段 AC 和 BD 的交点, F 是 l 上的 点,EF 垂直 l。 求证:EF 平分∠CFD。 P D A E O F(H) C B l 2.设{xn} 、 {yn}为如下定义的两个整数列: x0=1,x1=1,xn+1=xn+2xn-1 y0=1,y1=7,yn+1=2yn+3yn-1 于是这两个数列的前几项是: (n=1,2,3,?) (n=1,2,3,?) x:1,1,3,5,11,21,? y:1,7,17,55,161,487,? 证明:除了“1”以外,两个数列中不再有其他相同的数. 3.证明:对 n≥4,每一个有外接圆的四边形,总可以划分成 n 个都有外接圆的四边形. 4.设[x]表示不超过 x 的最大整数.试对任意正整数 n 计算和 加试模拟训练题(81) P 1 在直线 l 的一侧画一个半圆 T,C,D 是 T 上的两点, T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A,半圆 的圆心在线段 BA 上,E 是线段 AC 和 BD 的交 D 点,F 是 l 上的点,EF 垂直 l。 E 求证:EF 平分∠CFD。 证 如图, 设 AD 与 BC 相交于点 P, 用 O 表示半圆 T O F(H) A 的圆心。过 P 作 PH 丄 l 于 H,连 OD,OC, OP。 由题意知 Rt△OAD∽Rt△PAH, AH HP 于是有 . ? AD DO 类似地,Rt△OCB∽Rt△PHB, BH HP 则有 . ? BC CO AH BH AH BC PD 由 CO=DO,有 ,从而 ? ? ? ? 1. AD BC HB CP DA 由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC,BD,PH 相交于一点,即 E 在 PH 上,点 H 与 F 重合。 因∠ODP=∠OCP=90°,所以 O,D,C,P 四点共圆,直径为 OP. 又∠ PFC=90°,从而推得点 F 也在这个圆上,因此 ∠DFP=∠DOP=∠COP=∠CFP, 所以 EF 平分∠CFD。 2.设{xn} 、 {yn}为如下定义的两个整数列: x0=1,x1=1,xn+1=xn+2xn-1 y0=1,y1=7,yn+1=2yn+3yn-1 于是这两个数列的前几项是: (n=1,2,3,?) (n=1,2,3,?) C B l x:1,1,3,5,11,21,? y:1,7,17,55,161,487,? 证明:除了“1”以外,两个数列中不再有其他相同的数. 【题说】第二届(1973 年)美国数学奥林匹克题 2. 【证】用数学归纳法证明. {xn}从第 3 项起,奇数项被 8 除余 3,偶 数项被 8 除余 5. 当 n=2,3 时,xn=3,5,结论成立. 假设 n≤k(k>3)时结论成立,则当 n=k+1 时, xk+1=xk+2xk-1=(xk+xk-1)+xk-1 因(xk+xk-1)被 8 除余数恰为 0,故 xk+1 与 xk-1 被 8 除后,余数相同; 而(k+1)与(k-1)奇偶相同. 同法可证{yn}从第 2 项起,奇数项被 8 除余 1,偶数项被 8 除余 7. 综上所述,除“1”外,二数列中没有别的数相同. 3.证明:对 n≥4,每一个有外接圆的四边形,总可以划分成 n 个都有外接圆的四边形. 【题说】 第十四届(1972 年

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