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山东省潍坊市临朐县2016届高三数学上学期12月统考试题 文


高三阶段性教学质量检测数学试题(文)
第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知全集 U ? R, A ? ?y | y ? 2 x ? 1? , B ? ?x | ln x ? 0?,则 A ? B ? A. ? B. {x |

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

2. 下列命题中正确的个数是 ①若 ?p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ?q 的充分而不必要条件;
2 2 ②命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为“存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0 ”;

③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题. A. 0 个 3. 把函数 y ? sin( x ? 再将图象向右平移 A. x ? 4. 不等式 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?
8

? 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 3 ? ? B. x ? ? C. x ? 4 4

1 倍(纵坐标不变) , 2

D. x ? ?

?
2

1 1 ? 成立的充要条件是 a b
B. b ? a ? 0 C. b ? a 且 ab ? 0 D. ab(a ? b) ? 0

A. b ? a

?x ? y ? 1 ? y 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 的最大值为 ?2 x ? y ? 4 x ?
A.

3 2

B.

2 3

C.

5 2

D.

2 5

( ,?) 6. 若 ? ? , 3 cos 2? ? sin(
A.

?

?
4

2 17 ? 18

? ? ) ,则 sin 2? 的值为
C.

B.

17 18

?

1 18

D.

1 18

7. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 2n ,那么 a2016 的值是 A. 2014 ? 2015 B.2015 ? 2016 C.2014 ? 2016 D.2015 ? 2015

8. 在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin A ? 值为

2 2 , a ? 2 , S△ABC ? 2 ,则 b 的 3

1

A. 3

B.

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

9. 如图,设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等 → → 分点,已知 AB=3,AC=6,则AE·AF= A.8 B.10 C.11 D.12

10. 已知函数 f (x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f (x)=f (4-x), 且当 x≠2 时, 其导数 f ′(x)满足 xf ′(x)>2

f ′(x),若 2<a<4,则
A. f (2 a ) ? f (3) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 a ) D. f (log2 a) ? f (2 a ) ? f (3) 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已 知 a 与 b 的 夹角 为 120 ,若 (a ? b) ? (a ? b), 且 | a |? 2 , 则 b 在 a 方 向 上的正 射影 的数 量
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?




1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x

12. 若存在 x ? [1, ??) ,使不等式

. .

x y 13. 已知向量 a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为

?

?

?

?

14. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该几何体的体积为___________.

15.已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? ax 2 ? 3ax ? 1 的图像经过四个象限,则实数 a 的取值范围为 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知 m ? (2 ? sin(2 x ?

??

?

? ?? ? ? ), ? 2) , n ? (1, . sin 2 x) , f ( x) ? m ? n ,( x ? [0, ] ) 2 6

(I)求函数 f ( x) 的值域; (II)设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 f ( ) ? 1 , b ? 1 , c ? 3 , 求 a 的值.
2

B 2

17.(本题满分 12 分) 已知函数 h ? x ? ? x ? ? a ? 1? ln x ? 18.(本题满分12分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, 且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° 设 AD、PB、PC 中点分别为 E、F、G. (I)求证:PB⊥AD (II)求证:EF//平面 PCD (III)若 PB= 6 ,求四面体 G—BCD 的面积 19.(本题满分 12 分) 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 a2 ? 8 , S 4 ? 40 . 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 T n 且

a ,求函数 h( x) 的单调递减区间 x

Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N *
(I) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式

?a , n为奇数 (II)设 c n ? ? n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Pn ?bn , n为偶数
20.(本题满分 13 分) 某旅游景点预计 2016 年 1 月份起,前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满 1 * 足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N ,且 x≤12).已知第 x 个月的人均 2

?35 ? 2 x, ( x ? N ? , 且1 ? x ? 6) ? 消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)= ? 160 , ( x ? N ? , 且7 ? x ? 12) ? ? x
(I) 写出 2016 年第 x 个月的旅游人数 f (x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (II)试问 2016 年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x(a ? R)
2

(I)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在点 (1, ?2) 处的切线方程 (II)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 在其定义域内的单调性 (III)若函数 y ? g ? x ? 的图象上存在一点 P( x0 , g ( x0 )) ,使得以 P 为切点的切线 l 将其图象分割为

c1 , c2 两部分,且 c1 , c2 分别位于切线 l 的两侧(点 P 除外) ,则称 x0 为函数 y ? g ? x ? 的“转点”,问函数

3

y ? f ? x ? (a ? 0) 是否存在这样的一个“转点”,若存在,求出这个“转点”,若不存在,说明理由

4

高三数学(文科)试题答案 一、选择题 1—5 DCDDB 12. 6--10 ABABC 1 13. 6 14.

二、填空题 11. -1 三.解答题:

4 3

( - ?, - ) ? ( ,?? ) 15.

1 9

3 5

16.(I)解: f ( x) ? m ? n ? 2 ? sin(2 x ?

?? ?

?
6

) ? 2sin 2 x

? 2 ? (sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 6

?

1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 2 2 3

? ? ? 4? ? 1 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] ,??1 ? cos(2 x ? ) ? , 2 3 3 3 3 2 3 3 从而有 0 ? f ( x ) ? ,所以函数 f ( x) 的值域为 [0, ] 2 2 B ? (II)由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? ) ? 0 ,又因为 0 ? B ? ? , 2 3 ? ? 4? ? ? ? 所以 ? B ? ? ,从而 B ? = ,即 B ? 3 3 3 3 2 6
因为 b ? 1 ,c ? 3 ,由余弦定理得 cos B ?
2

a 2 ? c2 ? b2 2ac

得 a ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a 的值为 1 或 2. (经检验满足题意) 17.解: h ? x ? ? x ? ? a ? 1? ln x ?

a , x ? ? 0, ?? ? , x 2 a ? 1 a x ? ? a ? 1? x ? a ? x ? a ?? x ? 1? h? ? x ? ? 1 ? ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 a ? 0 时,由 h? ? x ? ? 0 得: 0 ? x ? 1 ,所以 h ( x) 的单调递减区间为 ? 0,1? ②当 0 ? a ? 1 时,由 h? ? x ? ? 0 得: x ? ? a,1? ,所以的单调递减区间为 ? a,1? ③当 a ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,故 h ( x) 无单调递减区间 ④当 a ? 1 时,由
h? ? x ? ? 0

h x ?1 , a ? 得 1 ? x ? a ,此时 ( ) 的单调递减区间为

18. (Ⅰ) 证明:连接 PE,BE.∵PA=PD=DA, 四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°, ∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等边三角形, 则 PE⊥AD, BE⊥AD, PE ? BE ? E ∴AD⊥平面 PBE 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD (Ⅱ) 连接 GF,因为 E、F、G 分别为中点,

所以 FG//BC//DE,FG=

1 BC=DE, 2

所以四边形 EFGD 为平行四边形,所以 EF//DG, 又 DG ? 平面 PCD,EF ? 平面 PCD, 所以 EF//平面 PCD (III)在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB =PE +BE , ∴∠PEB=90°,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD;
2 2 2

S ?BCD ? S ?ABD ?
所以 VG ? BCD

1 ? 2 ? 3 ? 3 ,又因为 G 为 PC 中点, 2 1 1 1 1 1 1 ? VP ? ABD ? ? ? S ?ABD ? PE ? ? ? 3 ? 3 ? 2 2 3 2 3 2
? a1 ? d ? 8 ?a ? 4 ,得 ? 1 , an ? 4n ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

19.(I)由题意, ?

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,当 n ? 2 时, Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,
得 bn ? 2bn?1 (n ? 2) ,所以 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ? 2
n ?1

4n, n为奇数 (II) cn ? ? , ? n?1 ?3 ? 2 , n为偶数
当 n 为偶数时, Pn ? (a1 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

?

(4 ? 4n ? 4) ? 2

n n 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2 n ?1 ? n 2 ? 2 1? 4

n 为奇数时 Pn ? (a1 ? a3 ? ? ? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn?1 ) ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1
所以 Pn ? ?

? 2n?1 ? n 2 ? 2, n为偶数 n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1, n为奇数
*

20.(I)当 2≤x≤12,且 x∈N 时,

f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x
当 x=1 时,f(1)=p(1)=37,验证 x=1 也满足此式 2 * 所以 f(x)=-3x +40x(x∈N ,且 1≤x≤12) 2 * ?(-3x +40x)(35-2x)(x∈N ,且1≤x≤6), (II)第 x 个月旅游消费总额 g(x)=? 160 2 * ?(-3x +40x)· (x∈N ,且7≤x≤12),

1 2

1 2

? ?

x

? ?6x -185x +1 400x(x∈N ,且1≤x≤6), 即 g(x)=? * ?-480x+6 400(x∈N ,且7≤x≤12). ?

3

2

*

①当 1≤x≤6,且 x∈N 时,g′(x)=18x -370x+1 400,令 g′(x)=0, 140 解得 x=5 或 x= (舍去).当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤6 时,g′(x)<0 9

*

2

∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元) * ②当 7≤x≤12,且 x∈N 时,g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元) 综上,2016 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3125 万元 21.(I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,则 f ?( x) ?
2

1 ? 2x ?1 x

由此得点 (1, ?2) 处切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?2 所以曲线 f ( x) 在点 (1, ?2) 处的切线方程为 y ? 2 ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 0 (II)对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ?

1 ?2ax 2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1 ? ( x ? 0), x x

1? x ,? f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ?? ) 上递减 x

2 ②当 a ? 0 时,设 u ? ?2ax ? x ? 1 , 因为 ? ? 1 ? 8a ,则

i)当 a ? ? 时, ? ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,于是 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 ii)当 ?

1 8

1 ?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a ? a ? 0 时, ? ? 0 ,方程的两根为 x1 ? , x2 ? 4a 4a 8
?2a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( x ? 0) x

易知 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ,则 f ?( x) ?

所以 f ( x) 在 (0, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减 综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ?? ) 上单调递减 当 a ? ? 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

1 8

1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, x1 ), ( x2 ,??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减 8 1 (III) f ?( x) ? ? 2ax ? 1 ,设 A( x0 , f ( x0 )) , ( x0 ? 0) x
当? 则在 A 点处的切线 l ? 方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 令 G( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 则 G ( x0 ) ? 0 . G '( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? ?( x ? x0 ) ?

1 ? 2ax0 x ( x ? 0) x0 x

当 a ? 0 时, 0 ? x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 ; x ? x0 ,有 G '( x) ? 0 所以 G ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ??? 上单调递减,于是 G( x) ? G( x0 ) ? 0 故 f ( x) 都在切线 l ? 的同侧,此时不存在“转点”

所以当 a ? 0 时, y ? f ( x) 不存在“转点”


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