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安徽省安庆市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(a卷)


安徽省安庆市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷(A 卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在面的表格内. 1. (5 分)直线 A. B. 的倾斜角为() C. D.

2. (5 分)数列 1,2,1,2,…的通项公式不可能为() A. B.

C.

D.

3. (5 分)已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列不等式成立的是() A.a <b
2 2

B.

C.

D.

4. (5 分)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=() A.33 B.72 C.84 D.189 5. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个 几何体的表面积是()

A.16π

B.14π
2 2

C.12π

D.8π

6. (5 分)直线 y=kx+1 与圆 x +y ﹣2y=0 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离

D.取决于 k 的值

7. (5 分)若点 P(x,y)的坐标 x,y 满足约束条件:

,则

的最大值

为() A. B.﹣1 C. D.11

8. (5 分)已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1 D.0 9. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 BC1 与 CD1 所成角的余弦值为() A. B. C. D.

10. (5 分)若点 ,则()



都在直线 l:x+y=1 上,又点 P

和点

A.点 P 和 Q 都不在直线 l 上 B. 点 P 和 Q 都在直线 l 上 C. 点 P 在直线 l 上且 Q 不在直线 l 上 D.点 P 不在直线 l 上且 Q 在直线 l 上 11. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 <cosA,则△ ABC 为() A.钝角三角形 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D.

12. (5 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是
*



,且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. 考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题.

分析: 直线的斜率等于﹣ θ 值,即为所求. 解答: 解:直线 tanθ=﹣ , ∴θ= ,

,设它的倾斜角等于 θ,则 0≤θ<π,且 tanθ=﹣ 的斜率等于﹣

,求得

,设它的倾斜角等于 θ,则 0≤θ<π,且

故选 C. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系, 以及倾斜角的取值范围, 已知三角函数值求 角的大小,得到 tanθ=﹣ ,是 解题的关键. 2. (5 分)数列 1,2,1,2,…的通项公式不可能为() A. B.

C.

D.

考点: 梅涅劳斯定理;数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 对 n 分为奇数偶数讨论即可判断出. 解答: 解:A.当 n 为奇数时, B.当 n 为奇数时,an= C.当 n 为奇数时,an= D.当 n 为奇数时,an= =1,当 n 为偶数时,an= =2,因此正确;

=2,因此不正确; =1,当 n 为偶数时,an= =1,当 n 为偶数时,an= =2,因此正确; =2,因此正确.

故选:B. 点评: 本题考查了数列的通项公式,考查了分类讨论与计算能力,属于基础题. 3. (5 分)已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列不等式成立的是() A.a <b
2 2

B.

C.

D.

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 给实数 a,b 在其取值范围内任取 2 个值 a=﹣3,b=1,代入各个选项进行验证,A、 B、D 都不成立. 解答: 解:∵实数 a,b 满足 a<0<b, 若 a=﹣3,b=1 ,则 A、B、D 都不成立,只有 C 成立, 故选 C.

点评: 此题是基础题.通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单 有效的方法. 4. (5 分)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=() A.33 B.72 C.84 D.189 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,可求得 q,根据等比数列的通项 公式,分别求得 a3,a4 和 a5 代入 a3+a4+a5,即可得到答案. 解答: 解:在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21 2 故 3+3q+3q =21, ∴q=2, 2 2 ∴a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q =21×2 =84 故选 C. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质. 要理解和记忆好等比数列的通项公式, 并能熟练 灵活的应用. 5. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个 几何体的表面积是()

A.16π

B.14π

C.12π

D.8π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知该几何体为一个球体的 几何体的表面积. 解答: 解:由三视图可知该几何体为一个球体的 径 R=2, 这个几何体的表面积等于球的表面积的 加上大圆的面积. S= ×4πR +πR =16π 故选 A.
2 2

,缺口部分为挖去的

,据此可得出这个

,缺口部分为挖去球体的

.球的半

点评: 本题考查三视图求几何体的表面积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几 何体是解题的关键. 6. (5 分)直线 y=kx+1 与圆 x +y ﹣2y=0 的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离
2 2

D.取决于 k 的值

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆的方程,先求出圆的圆心和半径,求出圆心到直线 y=kx+1 的距离,再和半 径作比较,可得直线与圆的位置关系. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣2y=0 即 x +(y﹣1) =1,表示以(0,1)为圆心,半径等于 1 的 圆. 圆心到直线 y=kx+1 的距离为 =0,故圆心(0,1)在直线上,故直线和圆相交,

故选 A. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程的特征, 直线和圆的位置关系, 点到直线的距离公式, 属于中档题.

7. (5 分)若点 P(x,y)的坐标 x,y 满足约束条件:

,则

的最大值

为() A. B.﹣1 C. D.11

考点: 专题: 分析: 解答: 设 z=

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值 . 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . ,得 y= x﹣ z,

平移直线 y= x﹣ z, 由图象可知当直线 y= x﹣ z, 经过 C 时,直线 y= x 此时 z 最大. 由 ,得 ,即 C(5,1) 的截距最小,

将 C 代入目标函数 z= 即 z 的最大值为 故选:C. .

得 z=

=



点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值, 利 用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 8. (5 分)已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是() A.3 B. 2 C. 1 D.0 考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 阅读型. 分析: 为了对各个选项进行甄别, 不必每个选项分别构造一个图形, 只须考查正方体中互 相垂直的两个平面:A1ABB1,ABCD 即可. 解答: 解:考察正方体中互相垂直的两个平面:A1ABB1,ABCD. 对于①:一个平面内的已知直 线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线;如图中 A1B 与 AB 不垂直; 对于②:一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;这一定是正确的,如 图中,已知直线 A1B,在平面 ABCD 中,所有与 BC 平行直线都与它垂直; 对于③:一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面;如图中:A1B; 对于④:过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线不一定垂直于另一个平面,如图中 A1D,它垂直于 AB,但不垂直于平面 ABCD. 故选 C.

点评: 本题主要考查了平面与平面垂直的性质, 线面垂直的选择题可以在一个正方体模型 中甄别,而不必每个选项分别构造一个图形,广东卷 07 文 6、08 文 7 理 5、09 文 6 理 5 等 莫不如此. 9. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 BC1 与 CD1 所成角的余弦值为() A. B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,建立空间直角坐标系.利用向量夹角公式即可得出. 解答: 解:如图所示,建立空间直角坐标系. D1(0,0,1) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,C1(0,1,1) . ∴ =(0,﹣1,1) , =(﹣1,0,1) .



=

=

= .

∴直线 A1D 与 C1E 所成角的余弦值是 . 故选:D.

点评: 本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的夹角方法, 考查了推理能力与计算 能力,属于基础题.

10. (5 分)若点 ,则()



都在直线 l:x+y=1 上,又点 P

和点

A.点 P 和 Q 都不在直线 l 上 B. 点 P 和 Q 都在直线 l 上 C. 点 P 在直线 l 上且 Q 不在直线 l 上 D.点 P 不在直线 l 上且 Q 在直线 l 上 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 点 和 都在直线 l:x+y=1 上,可得 ,b+ =1,可得

c+ =1,即可判断出点 P,Q 与 l 的位置关系. 解答: 解:∵点 ∴ ∴ ,b+ =1, =1,化为 c+ =1, 和 都在直线 l:x+y=1 上,

∴点 P

和点

都在直线 l 上.

故选:B. 点评: 本题考查了点与直线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 11. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 <cosA,则△ ABC 为() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由已知结合正弦定理可得 sinC<sinBcosA 利用三角形的内角和及诱导公式可得, sin(A+B)<sinBcosA 整理可得 sinAcosB+sinBcosA<0 从而有 sinAcosB<0 结合三角形的 性质可求 解答: 解:∵ <cosA,

由正弦定理可得,sinC<si nBcosA ∴sin(A+B)<sinBcosA ∴sinAcosB+sinBcosA<sinBcosA ∴sinAcosB<0 又 sinA>0 ∴cosB<0 即 B 为钝角 故选:A

点评: 本题主要考查了正弦定理,三角形的内角和及诱导公式,两角和的正弦公式,属于 基础试题.

12. (5 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是
*



,且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A. 14. (5 分)已知等差数列{an},满足 a3=1,a8=6,则此数列的前 10 项的和 S10=35. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件可得数列的首项和公差,代入求和公式可得. 解答: 解:由题意可得数列{an}的公差 d= 故可得 a1=a3﹣2d=1﹣2×1=﹣1, 代入求和公式可得 S10=10×(﹣1)+ =35 =1,

故答案为:35 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和, 求出数列的首项和公差是解决问题的关键, 属基础 题. 15. (5 分)直线 x+y=1 与直线 2x+2y+m +2=0 间距离的最小值为
2



考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. 解答: 解:直线 2x+2y+m +2=0 化为 x+y+
2

=0,

∴两平行线之间的距离 d=

=

=

.当 m=0 时取等号.

故最小值为: . 故答案为: . 点评: 本题考查了两平行线之间的距离公式、二次函数的单调性,属于基础题. 16. (5 分)在正四面体 ABCD 中,有如下四个命题:①AB⊥CD;②该四面体外接球的半 径与内切球半径之比为 2:1;③分别取 AB,BC,CD,DA 的中点 E,F,G,H 并顺次连 结所得四边形是正方形;④三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分.则其中为真命 题的序号为①③④. (填上你认为是真命题的所有序号) . 考点: 命题的真假判断与应用.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①利用正四面体的定义和 三垂线定理判断正误即可; ②设正四面体 ABCD 的边长为 a,其外接球的半径为 R,内切切的半径为 r,由正四面体放 到正方体中,正方体的体对角线即为外接球的直径,以及通过体积分割,运用棱锥的体积公 式可得内切球的条件,求出结果判断正误即可; ③由中位线定理和正四面体的性质:对角线互相垂直,即可判断; ④利用③的结论和正方形的对角线垂直平分,判断正误即可. 解答: 解:对于①,由正四面体的定义可得,A 在底面 BCD 的射影为底面的中心,由三 垂线定理可得 AB⊥CD, 所以①正确; 对于②,设正四面体 ABCD 的边长为 a,其外接球的半径为 R,内切切的半径为 r,则正四 面体的边长可看成是正方体的面对角线,外接球的直径即为体对角线的长,即有 2R= ? a?
2

a=

a;由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥,由体积分割可得 a ?r,解得 r=
2

a=4? ?

a,即有 R:r=3:1,

所以②不正确; 对于③,由中位线定理可得 EF∥AC,EF=AC,且 GH∥AC,GH=AC,即有四边形 EFGH 为平行四边形,又 由正四面体的性质可得 AC⊥BD,即有四边形 EFGH 为正方形,所以③ 正确; 对于④,由③可得正方形 EFGH 对角线交于一点且平分,同理对棱 AC,BD 和对棱 AB, CD 的中点连线也互相平分, 则三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分,所以④正确. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查正四面体的性质和内切球与外接球的半径的关系, 考查直线与直线的位置 关系,考查推理和判断能力,属于中档题和易错题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程. 17. (10 分)已知点 A(﹣3,﹣1)和点 B(5,5) . (Ⅰ)求过点 A 且与直线 AB 垂直的直线 l 的一般式方程; (Ⅱ)求以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ) 求出过点 A 且与直线 AB 垂直的直线 l 的斜率, 根据点斜式得直线 l 的方程, 整理得直线 l 的一般式方程; (Ⅱ)确定圆心坐标与半径,即可求以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程. 解答: 解: (Ⅰ)由条件知 根据点斜式得直线 l 的方程为 , ,则

整理得直线 l 的一般式方程为 4x+3y+15=0.…(5 分) (Ⅱ)由题意得 C(1,2) ,

故以线段 AB 为直径的圆 C 的标准方程为(x﹣1) +(y﹣2) =25.…(10 分) 点评: 本题考查直线与圆的方程,考查学生的计算能力,比较基础. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对的边分别为 a,b,c,且 c=2,C=60°. (1)求 的值;

2

2

(2)若 a+b=ab,求△ ABC 的面积 S△ ABC. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据正弦定理求出 ,然后代入所求的式子即可;

(2)由余弦定理求出 ab=4,然后根据三角形的面积公式求出答案. 解答: 解: (1)由正弦定理可设 ,

所以



所以 (2)由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC, 2 2 2 即 4=a +b ﹣ab=(a+b) ﹣3ab, 2 又 a+b=ab,所以(ab) ﹣3ab﹣4=0, 解得 ab=4 或 ab=﹣1(舍去) 所以 .
2 2 2



…(6 分)

…(14 分)

点评: 本题考查了正弦定理、余弦定理等知识.在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦 定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题,故应综合把握. 19. (12 分)已知直线 ax﹣y+5=0 与圆 C:x +y =9 相较于不同两点 A,B (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在是实数 a,使得过点 P(﹣2,1)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知得圆心 C(0,0)到直线 ax﹣y+5=0 的距离 d= = <
2 2

r=3,由此能求出 a> 或 a<﹣ . (2)AB 的垂直平分线过圆心,直线 PC 与直线 ax﹣y+5=0 垂直,由此能求 出存在 a=2,使 得过 P(﹣2,1)的直线 l 垂直平分弦 AB.

解答: 解: (1)圆 C:x +y =9 的圆心 C(0,0) ,半径 r=3, 圆心 C(0,0)到直线 a x﹣y+5=0 的距离 d=
2 2

2

2

=



∵线 ax﹣y+5=0 与圆 C:x +y =9 相较于不同两点 A,B, ∴d<r, ∴ ,

解得 a> 或 a<﹣ . (2)∵A,B 为圆上的点,∴AB 的垂直平分线过圆心, ∴直线 PC 与直线 ax﹣y+5=0 垂直, ∵kPC=﹣ ,∴﹣ ,解得 a=2,

∵a=2 符合 a> 或 a<﹣ , ∴存在 a=2,使得过 P(﹣2,1)的直线 l 垂直平分弦 AB. 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法, 解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用. 20. (12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当 DN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)设 DN 的长为 x(x>0)米,则 AN=(x+2)米,表示出矩形的面积,利用 矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,即可求得 DN 的取值范围. (Ⅱ)化简矩形的面积,利用基本不等式,即可求得结论. 解答: 解 : (Ⅰ)设 DN 的长为 x(x>0)米,则 AN=(x+2)米 ∵DN:AN=DC:AM, ∴AM= ,…(2 分)

∴SAMPN=AN?AM=



由 SAMPN>32,得
2

>32,又 x>0,

得 3x ﹣20x+12>0,解得:0<x<1 或 x>4, 即 DN 长的取值范围是(0,1)∪(4,+∞) . …(6 分) (Ⅱ)矩形花坛 AMPN 的面积为 y= 当且仅当 3x= =3x+ +12≥2 +12=24…(10 分)

,即 x=2 时,矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24.

故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.…(12 分) 点评: 本题考查根据题设关系列出函数关系式, 并求出处变量的取值范围; 考查利用基本 不等式求最值,解题的关键是确定矩形的面积. 21. (12 分) 某家居装饰设计的形状是如图所示的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1, 其中, ∠ACB=90°, BCC1B1 是边长为 2(单位:米)的正方形,AC=1,点 D 为棱 AA1 上的动点. (Ⅰ)现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理,假设每平方米的油漆费是 40 元,则需油漆 费多少元?(提示: ,结果保留到整数位) (Ⅱ)当点 D 为何位置时,CD⊥平面 B1C1D?

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位 置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 证明 AC⊥BC. AA1⊥BC. 然后证明 BC⊥平面 ACC1A1. 求出直三棱柱 ABC ﹣A1B1C1 的表面积,即可求解需油漆费. (Ⅱ)当点 D 为 AA1 的中点时,CD⊥平面 B1C1D.当 CD⊥C1D 时,有 CD⊥平面 B1C1D, 求出 AD,推出结果即可. 解答: (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 BCC1B1 是边长为 2 的正方形,所以 BC=CC1=AA1=2. 因为∠ACB=90°,所以 AC⊥BC. 又易知 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AC∩AA1=A,所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 AC=1,所以直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的表面积为 (平方米) .

则需油漆费 (元) .…(6 分) (Ⅱ)当点 D 为 AA1 的中点时,CD⊥平面 B1C1D.证明如下: 由(Ⅰ)得 BC⊥平面 ACC1A1. 又 BC∥B1C1,所以 B1C1⊥平面 ACC1A1. 所以 B1C1⊥CD. 故当 CD⊥C1D 时,有 CD⊥平面 B1C1D,且此时有△ C1A1D∽△DAC. 设 AD=x,则 ,即 ,解得 x=1.

此时

,即当点 D 为 AA1 的中点时,CD⊥平面 B1C1D.…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面垂直判断的应用,几何体的表面积的求法,考查计算能力. 22. (12 分)已知等差数列{an}的公差为 2,且 a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<6.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用已知条件建立关系式,进一步求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论,使用乘公比错位相减法求出数列的和,进一步利用放缩法求得结果 解答: 解: (1)数列{an}为等差数列, 所以:a2=a1+d=a1+2,a4=a1+3d=a1+6 a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列. 所以: 解得:a1=1 所以:an=1+2(n﹣1)=2n﹣1 证明: (2)已知





①﹣②得:

=

=

所以: 由于 n≥1 所以: <6 点评: 本题考查的知识要点:数列通项公式的应用,错位相减法的应用,放缩法的应用, 属于中等题型.


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