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数学(文)全国II大联考(八)


全国大联考
2015 届高三第八次联考·数学试卷
考生注意:
1.本试卷共 150 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.

一、选择题:本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x≥-2},集合 B={x|x2≤4},则集合( RB)∩A 等于 A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2 等于 A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.为了 解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行 调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n 等于 A.9 B.10 C.12 D.13 4.“lgx,lgy,lgz 成等差数列”是“y2=xz”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若 sinα=-5,α 是第三象限的角,则 A.2 B.-2
1 1 3 cos2 +sin2 cos2-sin2
等于

第Ⅰ卷

C.2

D.-2
2 2 6 2 2 2

6.设 F1、F2 分别是双曲线 C: 2 - 2 =1 的左、右焦点,点 P( , )在此双曲线上,且

PF1⊥PF2,则双曲线 C 的离心率 e 等于
A.
2 2

B. 2

C. 3

D.

6 2

7.如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.4π+8 B.8π+8 C.2π+8 D.6π+8 8.已知函数 f(x)=
cos2-1 ,则有 sin2

A.函数 f(x)的图象关于直线 x=2对称 B.函数 f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.函数 f(x)为偶函数 D.函数 f(x)在区间(0,π)内单调递减 9.执行如图所示的程序框图,若 f(x)=3x2-1,取 g= ,则输出的值为 A.
19 32 9 1 10 π

π

B.16

C.8 D.4
3

5

10.点 Q(x,y)是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)的任意一点,若目 标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 A.3 B.6 C.5D.4 11.设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为 线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 A.±
1 2 2 1 2 1 的最大值是 -

B.±

1 3

C.±1

D.±2

12.设函数 f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2014π),则函数 f(x)的各极小值之和为 A.e2π (1-e2021π ) 1-e2π e2π (1-e1002π ) 1-e2π

B.-

e2π (1-e1002π ) 1-eπ e2π (1-e2014π ) 1-e2π

C.-

D.-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.向量 a、b 满足|a|=1,|a-b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 60°,则|b|=
3

第Ⅱ卷



.

14.某产品在某零售摊位上的零售价 x(元)与每天的销售量 y(个)统计如下表: x 16 17 18 19 y 50 41 34 31
^ ^ ^

据上表可得回归直线方程 y = b x+ a 中的 b=-4,据此模型预计零售价定为 15 元时, 销售量为 ▲

.


15.等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式2x2+(a1-2)x+c≥0 的解集为[0,22],则使数列 {an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 ▲

.

16.表面积为 60π 的球面上有四点 S,A,B,C 且△ABC 是等边三角形,球心 O 到平面 ABC 的距离为 3,若平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S-ABC 体积的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) ▲

.

如图,在△ABC 中,B= ,BC=2,点 D 在边 AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足. (1)若△BCD 的面积为 ,求 CD 的长; (2)若 ED= 2 ,求角 A 的大小.
6 3 3

π 3

18.(本小题满分 12 分) 某种零件质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等级 进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰好有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级 恰好相同的概率.

19.(本小题满分 12 分)

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA⊥底面

ABCD,PA=AD=1,E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且==λ(0<λ<1).
(1)若 λ=2,求证:EF∥平面 PAB; (2)求三棱锥 E-FCD 体积的最大值. 20.(本小题满分 12 分) 定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似 的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆 C1: 2 + 2 =1(a>b>0)的长轴长是 4,椭圆
2 2 1



C2:2+2 =1(m>n>0)短轴长是 1,点 F1,F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点.

2 2

(1)求椭圆 C1,C2 的方程; (2)过 F1 且倾斜角为 30°的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△F2MN 的面积.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax2+bx,g(x)=lnx. (1)若 2a=1-b(b>1),讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若对任意的 b∈[-2,-1],均存在 x∈(1,e)使得 f(x)<g(x),求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,☉O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交☉O 于 N,过 N 点 的切线交 CA 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PA·PC; (2)若☉O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= 14,求直线的倾斜角 α 的值. = 1 + cos, (t 是参数). = sin

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a). (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求实数 a 的取值范围.

2015 届高三第八次联考·数学试卷 参 考 答 案
1.A 因为 B={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},所以 则(
RB)∩A=(2,+∞). RB=(-∞,-2)∪(2,+∞),

2.D ∵a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则 a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 3.D 因为 n=3÷
60 =13. 120+80+60

4.A “lgx,lgy,lgz 成等差数列”?2lgy=lgx+lgz?y2=xz,但 y2=xz/?2lgy=lgx+lgz,∴选 A. 5.B ∵α 是第三象限的角,∴cosα=- ,
4 5



cos2+sin2 (cos2+sin2 )2 1+sin 1 = = cos =-2. cos2 -sin2 cos2 2-sin2 2
2 2









6.B 将点 P 代入可得 3b2-a2=2a2b2,再由 PF1⊥PF2 可得 2 × 2 =-1.
6 +c 2 6 -c 2

∴c2=2,根据 c2=a2+b2 可解得 = 2.
7.C 由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱,下面为一个长方体,所以其体积为 π×12×2+2×4×1=2π+8. 8.B ∵f(x)=
cos2-1 1-2sin2 x-1 = =-tanx, sin2 2sincos



∴函数 f(x)不是轴对称图形,∴A 不正确;∵函数 f(x)为奇函数,∴C 不正确; ∵函数在区间(0,π)不单调,∴D 不正确;∵函数 f(x)的对称中心为( ,0),k∈Z, ∴函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称,B 正确.
9.A 因为 f(0)=-1<0,f(1)=2>0,第一次执行循环体 f( )= -1=- <0,a= ,b-a=1- = > ;第二次执行循环体
1 2 3 4 1 4 1 2 1 1 1 2 2 10 π 2 π 2

f( )= -1= >0,b= ,b-a= > ;第三次执行循环体 f( )= -1= >0,b= ,b-a= > ;第四次执行循环体 f( )=9 16 + 19 13 9 1 1 <0,a= ,b-a= < ,所以输出16 8= . 256 16 16 10 2 32
9 5

3 4

27 16

11 16

3 4

1 1 4 10

5 8

75 64

11 64

5 8

1 1 8 10

10.C 由题意,最优解应在线段 AC 上取到,故 x+ay=0 应与直线 AC 平行,∵kAC= 则

2-0 1 =1,∴- =1,得 a=-1, 4-2

-0 = 表示点 P(-1,0)与可行域内的点 Q(x,y)连线的斜率,由图得,当 Q(x,y)=C(4,2)时,取得最大值, - -(-1) 2 2 = . 4-(-1) 5

最大值是

11.C 设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2). 则直线 l 为 y=k(x+1)与抛物线 C:y2=4x 联立得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 则有 x1x2=1,x1+x2= 2-2,因此可得 Q( 2-1, ),因 F(1,0),由|FQ|=2,
4 2 2

将( 2-2)2+( )2=4,解得 k2=1,所以 k=±1.


2

2

12.D 由 f'(x)=2exsinx=0?sinx=0 得,x=0,π,2π,3π,4π,…,2014π. 经检验函数 f(x)极小值点为:2π,4π,…,2014π, 所以,所求各极小值之和为-(e2π+e4π+e6π+…+e2014π)=13.
1 2 e2π (1-e2014π ) . 1-e2π

由|a-b|=

3 3 3 1 得:a2-2a·b+b2= ,1-2|b|cos60°+|b|2= ,|b|= . 2 4 4 2

14.49

由表中数据计算得=17.5,=39,

∵b=-4,∴a=-b=39+4×17.5=109, ∴回归直线方程为 y=109-4x,∴当 x=15 时,y=109-4×15=49.
15.11

∵关于 x 的不等式 x2+(a1- )x+c≥0 的解集为[0,22],
,且2<0 即 -2

2

2

∴22=

1 -2



a1=- d>0,则 a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0.

21 2

故使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 11. 16.27 由题意画出几何体的图形如图:

因为球的表面积为 60π,所以球半径为 15,由于平面 SAB⊥平面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影

D 落在 AB 上,由于 OO'⊥平面 ABC,SD⊥平面 ABC,即有 OO'∥SD,当 D 为 AB 的中点时,SD 最大,棱锥 S-ABC 的体积最大.
由于 OC= 15,OO'= 3,则 CO'=2 3,DO'= 3,则△ABC 是边长为 6 的正三角形, 故△ABC 的面积为:S=
3 2 ×6 =9 4

3.在直角梯形 SDO'O 中,作 OE⊥SD 于点

E,OE=DO'= 3,DE=OO'= 3,SD=DE+SE= 3+ 15-3=3 3,即有三棱锥 S-ABC 体积 V= Sh= ×9 3×3 3=27.
17.解:(1)由已知得 S△BCD= BC·BD·sinB= 在△BCD 中,由余弦定理得
1 2 3 3 2 1 ,又 BC=2,sinB= ,∴BD= ,cosB= . 3 2 3 2 1 3 1 3

CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=22+( )2-2×2× × = .∴CD=
(2)∵CD=AD= cosA=

2 3

2 1 28 3 2 9

2 7 . ..................................................... 6 分 3

6 2 6 = ,在△BCD 中,由正弦定理得 = ,又∠BDC=2A,得 = ,解得 sin 2sin sin∠ sin sin2 2sinsin

2 π ,所以 A= . ...................................................................................................................... 12 分 2 4

18.解:(1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1,即 m+n=0.45,由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰 有 2 个,得 n= =0.1.所以 m=0.45-0.1=0.35................................................................................... 6 分 (2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1、x2、x3,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1、y2,从 x1、x2、x3、
2 20

y1、y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果
为:(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)共计 10 种.记事件 A 为“从零件

x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”,则 A 包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共 4 个,故所
求概率为 P(A)= =0.4. ................................................................................................................ 12 分
4 10

19.解:(1)分别取 PA 和 AB 中点 M、N,连接 MN、ME、NF, 则 NF AD,ME AD,所以 NFME,∴四边形 MEFN 为平行四边形.
1 2 1 2

∴EF∥MN,又 EF?平面 PAB,MN?平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. ........................................................... 4 分 (2)在平面 PAD 内作 EH⊥AD 于 H, 因为侧棱 PA⊥底面 ABCD, 所以平面 PAD⊥底面 ABCD,且平面 PAD∩底面 ABCD=AD, 所以 EH⊥平面 ADC,所以 EH∥PA. .................................................................................................. 7 分 (或平面 PAD 中,PA⊥AD,EH⊥AD,所以 EH∥PA 亦可)
因为
=λ,(0<λ<1),所以 =λ,EH=λ·PA=λ.

△ 1- = =1-λ,S△DFC=(1-λ)S△ADC= , .......................................................................................... 10 分 △ 2

VE-DFC= ·λ·

1 3

1- -2 = (0<λ<1). 2 6 1 24

∴VE-DFC 的最大值为 . ................................................................................................................. 12 分
20.解:(1)设椭圆 C1 的半焦距为 c,椭圆 C2 的半焦距为 c'.由已知 a=2,b=m,n= .
1 2

∵椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,即 = ,
2 -2 2 2 -2 2

'



=

,即 1-( )2 = 1-(



2 ) ,

∴ = ,即 bm=b2=an=1,∴b=m=1, ∴椭圆 C1 的方程是 +y2=1,椭圆 C2 的方程是 y2+
2 4 2
1 4



=1. ................................................................. 6 分

(2)因为直线的倾斜角为 30°,故可设直线的方程为 x= 3y- 3. 联立

= 3y- 3 ,得 y2+4( 3y- 3)2-1=0,即 13y2-24y+11=0, 2 + 4 2 = 1
24 13 11 13 4 13

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 y1+y2= ,y1y2= ,∴|MN|=2|y1-y2|= .

又△F2MN 的高即为点 F2 到直线 l:x- 3y+ 3=0 的距离 h=

| 3-0· 3+ 3| = 1+3

3,

∴△F2MN 的面积 S= |MN|h= × × 3=
21.解:(1)F'(x)=(1-b)x+b- = 当 当 当

1 2

1 4 2 13

2 3 . ................................................................................. 12 分 13

1 (1-)2 +bx-1 [(-1)-1](-1) =(x>0),

1 1 1 <1,即 b>2 时,F(x)的增区间为( ,1),减区间为(0, ),(1,+∞); -1 -1 -1 1 =1,即 b=2 时,F(x)在(0,+∞)上单调递减; -1 1 1 1 >1,即 b<2 时,F(x)的增区间为(1, ),减区间为(0,1),( ,+∞). .................................................. 5 分 -1 -1 -1

(2)依题意,?b∈[-2,-1],?x∈(1,e)使得 f(x)<g(x)成立, 即?b∈[-2,-1],?x∈(1,e),F(x)<0 成立, 即?b∈[-2,-1],a< 令 G(x)=
ln- ln- 在(1,e)内有解,a<( 2 )max, 2

ln- +1-2ln ,则 G'(x)= , 2 3

∵b∈[-2,-1],x∈(1,e),∴-2x+1≤bx+1≤-x+1<0,-2lnx<0, 因此 G'(x)<0,∴G(x)在(1,e)内单调递减, 又 G(1)=-b∈[1,2], ∴a≤1,即实数 a 的取值范围是(-∞,1]............................................................................................... 12 分

22.(1)证明:连接 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形,则∠OBN=∠ONB,

∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN,∠PNM=90°-∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN,根据切割线定理,有 PN2=PA·PC, ∴PM2=PA·PC. ............................................................................................................................... 5 分
(2)解:OM=2,在 Rt△BOM 中,BM= 2 + O2 =4. 延长 BO 交☉O 于点 D,连结 DN. 由条件易知△BOM∽△BND,于是 即
= ,

2 3 4 = ,∴BN=6,∴MN=BN-BM=6-4=2. ..................................................................................... 10 分 4 3

23.解:(1)由 ρ=4cosθ 得(x-2)2+y2=4. .............................................................................................. 4 分

(2)将

= 1 + cos, 代入圆的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4, = sin 1 + 2 = 2cos, 1 2 = -3,

化简得 t2-2tcosα-3=0, 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则

∴|AB|=|t1-t2|= (1 + 2 )2 -41 2 = 4cos2 α + 12= 14, ∴4cos2α=2,cosα=± ,α= 或 . ................................................................................................... 10 分
24.解:(1)由题设知:|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得 x<-4 或 x>3,从而函数 f(x)的定义域为(-∞,4)∪(3,+∞). ...................................................................................................................................... 5 分 (2)不等式 f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,∵x∈R 时,恒有
2 2 π 4 3π 4

|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3, ........................................................................................................... 8 分 ∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8 解集是 R,∴a+8≤3,即 a≤-5. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,-5]. ....................................................................................................... 10 分


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