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天津市红桥区2011届高三第一次模拟考试(数学文)(2011天津一模)


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天津市红桥区 2011 届高三一模(数学文) 届高三一模(数学文)
本卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2. I 卷每小题选出

答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 第 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 球的表面积公式: S = 4π R :球的体积公式: V =
2

4 π R3 ,其中 R 表示球的半径。 3

锥体体积公式: V =

1 sh ;柱体体积公式: V = sh ,其中 s 是底面积, h 是几何体的高。 3

第 I 卷(共 50 分)
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M = {x | ?3 < x < 3, x ∈ Z }, N = {x | x < 1}, 则M I N = A. {x | ?3 < x < 1} C. {?3, ?2, ?1, 0,1} B. {x | 0 < x < 2} D. {?2, ?1, 0}

2.要得到函数 y = sin 2 x 的图象,只需将函数 y = sin(2 x ? A.向右平移 C.向右平移

π
3

) 的图象

π π
6

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向左平移

π π
6

个单位长度 个单位长度

3 3 2 3 . 过 抛 物 线 y = 4 x( p > 0) 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 两 点 , 若
x1 + x2 = 2 ,则 | PQ | 等于

r r r r 4.若平面向量 a = ( ?1, 2) 与 b 的夹角是 180°,且 | b |= 3 5 ,则 b 的坐标为 A. (3, ?6) B. (?6, 3) C. (6, ?3) D. (?3, 6)
5 . 如 果 不 等 式 f ( x ) = ax 2 ? x ? c > 0( a, c ∈ R ) 的 解 集 为 {x | ?2 < x < 1} , 那 么 函 数

A.4

B.5

C.6

D.8

y = f (? x) 的大致图象是

6.设 m 、 r 是两条不同的直线, α 、 β 为两个不同的平面, 则下列四个命题中不正确的是 ... A. m ⊥ α , n ⊥ β 且α ⊥ β , 则m ⊥ n C. m ⊥ α , n // β 且α // β , 则m ⊥ n B. m // α , n ⊥ β 且α ⊥ β , 则m // n D. m ⊥ α , n ⊥ β 且α // β , 则m // n

7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何题的 表面积是 A. 5π B. 6π
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C. 7π D. 8π 8.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为 A.48 B.56 C.60 D.62 9.直线 x ? y + m = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 1 = 0 有两个不同交点的一 个充分不必要条件是 A. ?3 < m < 1 B. ?4 < m < 2 C. 0 < m < 1 D. m < 1 10.函数 f ( x) 满足 f ( x + 2) = 3 f ( x) ,且 x ∈ R ,当 x ∈ [0, 2] 时,

f ( x) = x 2 ? 2 x + 2 ,则 x ∈ [?4, ?2] 时, f ( x) 的最小值为 1 1 A. ? B. ? C . ?1 9 3 1 D. 9

第Ⅱ卷

非选择题( 非选择题(共 100 分)

注意事项: 1.答第Ⅱ卷前,考生务必将密封线内的项目填写清楚。 2.第Ⅱ卷用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 填空题: (每小题 二、填空题: 每小题 4 分,共 24 分) ( 11. 如过复数 ( 2 + ai )i ( a ∈ R ) 的实部与虚部是互为相反数, a 的 则 值等于_________。 12.统计某校 1000 名学生的数学学业水平测试成绩,得到样本频率 分布直方图如右图,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为 优秀,则及格人数是_______,优秀率为________。

?x ? 2 ≤ 0 ? 13.已知 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 1 ≤ 0 ?x + 2 y ? 2 ≥ 0 ? 则 z = x ? y 的最大值为_______________。 14.如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点。过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C , PC = 2 3 ,若 ∠CAP = 30° ,则⊙ O 的直径 AB = ____________。
15.若函数 f ( x ) = x 3 ? 6bx + 3b 在( 0,1 )内有极小值,则实数 b 的取值范 围是_______。 16.观察下表: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ………… 则第__________行的各数之和等于 2009 。 解答题: ~20 题,每小题 12 分,第 21、22 题 14 分,共计 76 分) (17~ 三、解答题: ( 、 17. (本题满分 12 分) 已知在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 对边分别为 a, b, c 且 tan B =
2

3ac a + c2 ? b2
2

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(1)求 ∠B ; (2)求函数 f ( x ) = sin 2 x + 2sin B cos 2 x( x ∈ [0,

π
2

]) 的最小正周期及单调递减区间;

18. (本题满分 12 分) 如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD = PA = 2 , CD = 2 2 , E 、 F 分别 是 AB 、 PD 的中点。 (I)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ)求证:平面 PCE ⊥ 平面 PCD ; (Ⅲ)求四面体 PEFC 的体积

19. (本题满分 12 分) 现有编号分别为 1,2,3 的三个不同的政治基本题和一道政治附加题:另有编号分别为 4,5 的两个不同的历史基本题和一道历史附加题。甲同学从这五个基本题中一次随即抽取两 道题,每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的。 (1)用符号( x, y )表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x < y ”共有多少个基
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本事件?请列举出来: (2)求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于 8 但不小于 4 的概率。 (3)甲同学在抽完两道基本题之后又抽取一道附加题,做对基本题每题加 5 分,做对政 治附加题加 10 分,做对历史附加题加 15 分,求甲同学得分不低于 20 分的概率。

20. (本题满分 12 分)

2 + a ln x( x > 0) , x (1)令 a = 1 ,求函数 f ( x ) 在 x = 2 处的切线方程; (2)若 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调递增,求 a 的取值范围。
已知函数 f ( x ) = x +
2

21. (本题满分 14 分) 设 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 bn = 2 ? 2 S n ; 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 且

a5 = 14, a7 = 20 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式;
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(2)若 cn = an ? bn ( n = 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: Tn <

7 。 2

22. (本题满分 14 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆
2

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,右焦点 F2 (c, 0) 到上顶点 a2 b2

的距离为 2,若 a = 6c (1)求此椭圆的方程; (2)点 A 是椭圆的右顶点,直线 y = x 与椭圆交于 M 、 N 两点( N 在第一象限内) ,又

uuu r uuur r uuu uuuu r r ? NP NQ ? uuuu r P 、 Q 是此椭圆上两点,并且满足 ? uuu + uuur ? ? F1 F2 = 0 ,求证:向量 PQ 与 AM 共线 ? | NP | | NQ | ?

高三数学( 高三数学(文)参考答案及评分标准
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 D B A A C B C B C D 答案 填空题: (每小题 二、填空题: 每小题 4 分,共 24 分) ( 11. 2 12.800,20% 13.2 14.4 15. (0, )

1 2

16.1005

三、解答题: (17~20 题,每小题 12 分,第 21、22 题 14 分,共计 76 分) 17. (本题满分 12 分) 解: (1)在 ?ABC 中,利用余弦定理, b = a + c ? 2ac cos B ,
2 2 2

代入 tan B =

3ac 3 得, sin B = 2 2 a + c ?b 2
2

而 ?ABC 是锐角三角形,所以角 B =

π

3

································· 5 分

(2) f ( x ) = sin 2 x + 2sin B cos 2 x = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2sin(2 x + 周期 T = π 因为

π
3

)

π

2

+ 2 kπ ≤ 2 x +

π
3



3π + 2 kπ 2

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所以

7π + 2kπ , k ∈ Z ··································· 8 分 6 6 π 7π π ≤x≤ ,又0 ≤ x ≤ ; 当 k = 0 时, 12 12 2 + 2k π ≤ 2 x ≤

π

所以, f ( x ) 在 x ∈ [0,

π

] 上的单调减区间为 [ , ] ············ 12 分 2 12 2

π π

18. (本题满分 12 分) 解(I)设 G 为 PC 的中点,连结 FG , EG ,

Q F 为 PD 的中点, E 为 AB 的中点, // 1 // 1 ∴ FG == CD, AE == CD 2 2
∴ FG == AE ,∴ AF // GE ∴ GE ? 平面PEC, ∴ AF // 平面PCE; ······································································ 4 分 (Ⅱ)Q PA = AD = 2,∴ AF ⊥ PD ∴ PA ⊥ 平面ABCD,CD ? 平面ABCD ∴ PA ⊥ CD
//

Q AD ⊥ CD,PA I AD = A,∴ CD ⊥ 平面PAD, Q AF ? 平面PAD, AF ⊥ CD ∴ Q PD I CD = D, AF ⊥ 平面PCD, ∴ ∴ GE ⊥ 平面PCD, Q GE ? 平面PEC, 平面PCE ⊥ 平面PCD; ∴ (Ⅲ)由(Ⅱ)知 GE ⊥ 平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高 , 又GF // CD,所以GF ⊥ PD

1 EG = AF = 2,GF = CD = 2 2 1 S ?PCF = PD ? GF = 2 2 1 2 2 得四面体PEFC的体积V = S ?PCF ? EG = 3 3
19. (本题满分 12 分) 解: (1)共有 10 个等可能性的基本事件,列举如下: (1,2)(1,3)(1,4)(1,5) , , , , (2,3)(2,4)(2,5) , , (3,4)(3,5)(4,5) , , 。 (2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于 8 但不小于 4”为事件 A 由(1)可知事件共含有 7 个基本事件,列举如下: (1,3)(1,4)(1,5)(2,3) , , , , (2,4)(2,5)(3,4)∴ P ( A) = , ,

7 10

(3)记事件 B“做对政治附加题同时还需做对两道基本题” 记事件 C“做对历史附加题同时还需至少做对一道基本题” 记事件 D“甲同学得分不低于 20 分” P ( D ) = P ( B ) + P (C )

P( B) =

1 1 3 3 1 3 1 = P(C ) = = P( D) = + = 2× 2× 2 8 2× 2× 2 8 8 8 2

20. (本题满分 12 分)

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(1)与由 f ( x ) = x +
2

2 2 a + a ln x, 得f ′( x) = 2 x ? 2 + x x x 切线的斜率 k = f ′(2) = 4 切点坐标 (2,5 + ln 2) 所求切线方程 y ? (5 + ln 2) = 4( x ? 2) ·········································· 5 分 (2)若函数为 [1, +∞ ) 上单调增函数, 2 a 则 f ( x) ≥ 0在[1,+∞)上恒成立,即不等式 2 x ? 2 + ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立。 x x 2 2 也即 a ≥ ? 2 x 在 [1, +∞ ) 上恒成立 x 2 2 令 ? ( x) = ? 2 x ,上述问题等价于 a ≥ ? ( x) max x 2 2 而 ? ( x) = ? 2 x 为在 [1, +∞ ) 上的减函数, x 则 ? ( x) max = ? (1) = 0 ,于是 a ≥ 0 为所求 ···································· 12 分
2 3

21. (本题满分 14 分) 解(1)由 bn = 2 ? 2 S n , 令n = 1, 则b1 = 2 ? 2 S1 , 又S1 = b1 , 所以b1 =

2 9 当n ≥ 2时,由bn = 2 ? 2 S n , 可得bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn b2 = 2 ? 2(b1 + b2 ), 则b2 = 即 bn 1 = bn ?1 3

2 1 1 所以{bn } 是以b1 = 为首项, 为公比的等比数列,于是bn = 2 ? n 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = ( a7 ? a5 ) = 3, 可得an = 3n ? 1 2 1 从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ? n 3 1 1 1 1 ∴Tn = 2[2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + … + (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 ? 2 + 5 ? 3 + … + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ] Tn = 2[ 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 d 1 ∴ Tn = 2[3 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + … + 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n +1 ] 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn = ? ? n ? n ?1 < 2 2 3 3 2
22. (本题满分 14 分)

? a 2 = 6c ?a 2 = 4 ? x2 3 y2 ? 解: (1)由题知: ?a = 2 ? ? 2 4 ; 所以; + = 1 ······· 4 分 4 4 b = ? 2 ? 2 2 3 ? ?a = b + c

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uuu r uuur uuu r uuur r ? NP NP NQ NQ ? uuuu r r (2)因为: ? uuu + uuur ? ? F1 F2 = 0 ,从而 uuu + uuur 与 ∠PNQ 的平分线平行, | NP | | NQ | ? | NP | | NQ | ? 所以 ∠PNQ 的平分线垂直于 x 轴; ?y = x ? 由 ? x2 3 y 2 ; 得M (?1, ?1); N (1,1); =1 ? + ?4 4 不妨设 PN 的斜率为 k ,则 QN 的斜率 ? k ;因此 PN 和 QN 的方程分别为: y = k ( x ? 1) + 1 、 y = ? k ( x ? 1) + 1 ;其中 k ≠ 0 ; ··············· 8 分 ? y = k ( x ? 1) + 1 ? 2 2 2 由 ? x2 3 y 2 得; (1 + 3k ) x ? 6k ( k ? 1) x + 3k ? 6k ? 1 = 0(*) =1 ? + ?4 4 因为 N (1,1) 在椭圆上;所以 x = 1 是方程 (*) 的一个根;
从而; x p =

3k 2 ? 6k ? 1 ; ··························································· 10 分 1 + 3k 2 y p ? yQ 1 3k 2 + 6k ? 1 ;从而直线 PQ 的斜率 k PQ = = ; 同理: xQ = 2 1 + 3k xP ? xQ 3 uuu uuuu r r 1 又 A(2, 0) 、M ( ?1, ?1) ; 所以 k AM = ; 所以 k PQ = k AM ; 所以向量 PQ 与 AM 共线。 3
······································································································ 14 分

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